第6章積分の応用

Areas of Compound Regionsいくつかの部分に分かれる領域の面積

So far, we have required

f (x) \geq g (x)

over the entire interval of interest, but what if we want to look at regions bounded by the graphs of functions that cross one another? In that case, we modify the process we just developed by using the absolute value function.

英語のヒント

ここまでは、対象区間の全体で

f (x) \geq g (x)

を要求した。では、グラフ同士が交差する場合はどうすればよいだろうか。その場合は、絶対値を使ってこれまでの方法を調整する。

In practice, applying this theorem requires us to break up the interval

[a, b]

and evaluate several integrals, depending on which of the function values is greater over a given part of the interval. We study this process in the following example.

英語のヒント

実際の計算では、区間

[a, b]

を、どちらの関数値が大きいかに応じて分け、いくつかの積分を求める。次の例題で、その手順を見よう。

Example 6.3例題 6.3

Finding the Area of a Region Bounded by Functions That Cross交差する関数に挟まれた面積を求める

If R is the region between the graphs of the functions

f (x) = sin x

and

g (x) = cos x

over the interval

[0, π],

find the area of region

R .

区間

[0, π]

上で関数

f (x) = sin x

と

g (x) = cos x

のグラフの間にある領域を R とする。領域

R

の面積を求めよ。

Solution解き方

The region is depicted in the following figure.

この領域を次の図に示す。

f(x)=sin x と g(x)=cos x のグラフ。x=0から最初の交点まででは g が f より上で、その間を R₁ として塗る。交点から x=π までは f が g より上で、その間を R₂ として塗っている。 — Figure 6.6図 6.6
The region between two curves can be broken into two sub-regions.
二つの曲線の間の領域を、二つの小領域に分けられる。

The graphs of the functions intersect at

x = π / 4 .

For

x \in [0, π / 4],

cos x \geq sin x,

グラフは

x = π / 4

で交わる。

x \in [0, π / 4]

では

cos x \geq sin x

なので、

| f (x) - g (x) | = | sin x - cos x | = cos x - sin x .

| f (x) - g (x) | = | sin x - cos x | = cos x - sin x

On the other hand, for

x \in [π / 4, π],

sin x \geq cos x,

一方、

x \in [π / 4, π]

では

sin x \geq cos x

なので、

| f (x) - g (x) | = | sin x - cos x | = sin x - cos x .

| f (x) - g (x) | = | sin x - cos x | = sin x - cos x

Then

すると、

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x \\ = \int_{0}^{π} | sin x - cos x | d x = \int_{0}^{π / 4} (cos x - sin x) d x + \int_{π / 4}^{π} (sin x - cos x) d x \\ = {[sin x + cos x] |}_{0}^{π / 4} + {[− cos x - sin x] |}_{π / 4}^{π} \\ = (\sqrt{2} - 1) + (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} . \end{matrix}

The area of the region is

2 \sqrt{2}

units².

この領域の面積は

2 \sqrt{2}

単位²である。

Example 6.4例題 6.4

Finding the Area of a Complex Region複雑な領域の面積を求める

Consider the region depicted in Figure 6.7. Find the area of

R .

図6.7の領域を考える。

R

の面積を求めよ。

第1象限で、放物線 f(x)=x²、直線 g(x)=2−x、x 軸で囲まれた領域 R。左側の上端は放物線、右側の上端は直線で、全体は x=0から2までにある。 — Figure 6.7図 6.7
Two integrals are required to calculate the area of this region.
この領域の面積を x について計算するには、二つの積分が必要になる。

Solution解き方

As with Example 6.3, we need to divide the interval into two pieces. The graphs of the functions intersect at

x = 1

(set

f (x) = g (x)

and solve for x), so we evaluate two separate integrals: one over the interval

[0, 1]

and one over the interval

[1, 2] .

例題6.3と同様、区間を二つに分ける。

f (x) = g (x)

とおいて x を求めると、交点は

x = 1

である。そこで、区間

[0, 1]

と

[1, 2]

の積分を別々に計算する。

Over the interval

[0, 1],

the region is bounded above by

f (x) = x^{2}

and below by the x-axis, so we have

区間

[0, 1]

では、上側が

f (x) = x^{2}

、下側が x 軸なので、

A_{1} = \int_{0}^{1} x^{2} d x = {\frac{x^{3}}{3} |}_{0}^{1} = \frac{1}{3} .

A_{1} = \int_{0}^{1} x^{2} d x = {\frac{x^{3}}{3} |}_{0}^{1} = \frac{1}{3}

Over the interval

[1, 2],

the region is bounded above by

g (x) = 2 - x

and below by the

x -axis,

so we have

区間

[1, 2]

では、上側が

g (x) = 2 - x

、下側が

x 軸、

なので、

A_{2} = \int_{1}^{2} (2 - x) d x = {[2 x - \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{1}{2} .

A_{2} = \int_{1}^{2} (2 - x) d x = {[2 x - \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{1}{2}

Adding these areas together, we obtain

この二つの面積を足すと、

A = A_{1} + A_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} .

A = A_{1} + A_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

The area of the region is

5 / 6

units².

この領域の面積は

5 / 6

単位²である。

Regions Defined with Respect to yy を使って表す領域

In Example 6.4, we had to evaluate two separate integrals to calculate the area of the region. However, there is another approach that requires only one integral. What if we treat the curves as functions of

y,

instead of as functions of

x ?

Review Figure 6.7. Note that the left graph, shown in red, is represented by the function

y = f (x) = x^{2} .

We could just as easily solve this for

x

and represent the curve by the function

x = v (y) = \sqrt{y} .

(Note that

x = − \sqrt{y}

is also a valid representation of the function

y = f (x) = x^{2}

as a function of

y .

However, based on the graph, it is clear we are interested in the positive square root.) Similarly, the right graph is represented by the function

y = g (x) = 2 - x,

but could just as easily be represented by the function

x = u (y) = 2 - y .

When the graphs are represented as functions of

y,

we see the region is bounded on the left by the graph of one function and on the right by the graph of the other function. Therefore, if we integrate with respect to

y,

we need to evaluate one integral only. Let’s develop a formula for this type of integration.

英語のヒント

例題6.4では、面積を求めるために二つの積分が必要だった。しかし、一つの積分で済む別の方法がある。曲線を

x

の関数ではなく、

y

の関数として扱ってみよう。図6.7の赤い左側の曲線は

y = f (x) = x^{2}

である。これを

x

について解けば、

x = v (y) = \sqrt{y}

と表せる。

y = f (x) = x^{2}

を

y

の関数にすると

x = − \sqrt{y}

という枝もあるが、図から必要なのは正の平方根だとわかる。同様に、右側の曲線は

y = g (x) = 2 - x

だが、

x = u (y) = 2 - y

とも書ける。

y

の関数として見ると、領域の左端と右端が、それぞれ一つの関数のグラフで決まっている。したがって、

y

について積分すれば一つで済む。この方法の公式を導こう。

Let

u (y)

and

v (y)

be continuous functions over an interval

[c, d]

such that

u (y) \geq v (y)

for all

y \in [c, d] .

We want to find the area between the graphs of the functions, as shown in the following figure.

u (y)

と

v (y)

を区間

[c, d]

上の連続関数とし、すべての

y \in [c, d]

に対して

u (y) \geq v (y)

とする。次の図のような、二つのグラフの間の面積を求める。

左側の曲線 v(y)、右側の曲線 u(y)、下側の直線 y=c、上側の直線 y=d で囲まれた第1象限の領域 R を塗った図。 — Figure 6.8図 6.8
We can find the area between the graphs of two functions, $u (y)$ and $v (y) .$
二つの関数 $u (y)$ と $v (y)$ のグラフの間の面積を求める。

This time, we are going to partition the interval on the

y -axis

and use horizontal rectangles to approximate the area between the functions. So, for

i = 0, 1, 2,…, n,

let

Q = {y_{i}}

be a regular partition of

[c, d] .

Then, for

i = 1, 2,…, n,

choose a point

y_{i}^{*} \in [y_{i - 1}, y_{i}],

then over each interval

[y_{i - 1}, y_{i}]

construct a rectangle that extends horizontally from

v (y_{i}^{*})

u (y_{i}^{*}) .

Figure 6.9(a) shows the rectangles when

y_{i}^{*}

is selected to be the lower endpoint of the interval and

n = 10 .

Figure 6.9(b) shows a representative rectangle in detail.

今度は

y 軸

上の区間を分割し、横長の長方形で面積を近似する。

i = 0, 1, 2,…, n

に対し、

Q = {y_{i}}

を区間

[c, d]

の等分割とする。各

i = 1, 2,…, n

について点

y_{i}^{*} \in [y_{i - 1}, y_{i}]

を選び、小区間

[y_{i - 1}, y_{i}]

に、

v (y_{i}^{*})

から

u (y_{i}^{*})

まで横に伸びる長方形を作る。図6.9(a)は

y_{i}^{*}

を下端に選び、

n = 10

とした場合である。図6.9(b)に一つの長方形を詳しく示す。

左の v(y*) と右の u(y*) を結ぶ横長の長方形を示した図。(a)では y=c から y=d までの領域を横長の長方形で分割し、(b)では一つを拡大して、縦幅 Δy と左右の長さの差を示している。 — Figure 6.9図 6.9
(a) Approximating the area between the graphs of two functions, $u (y)$ and $v (y),$ with rectangles. (b) The area of a typical rectangle.
(a) 関数 $u (y)$ と $v (y)$ の間の面積を長方形で近似する。(b) 一つの長方形の面積。

The height of each individual rectangle is

Δ y

and the width of each rectangle is

u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*}) .

Therefore, the area between the curves is approximately

長方形の高さは

Δ y

、横幅は

u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})

である。したがって、曲線の間の面積はおよそ、

A \approx \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y .

A \approx \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y

This is a Riemann sum, so we take the limit as

n \to \infty,

obtaining

これはリーマン和なので、

n \to \infty

の極限をとると、

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y .

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y

These findings are summarized in the following theorem.

以上の結果は、次の定理にまとめられる。

Example 6.5例題 6.5

Integrating with Respect to yy に関して積分する

Let’s revisit Example 6.4, only this time let’s integrate with respect to

y .

Let

R

be the region depicted in Figure 6.10. Find the area of

R

by integrating with respect to

y .

例題6.4に戻り、今度は

y

について積分しよう。図6.10の領域を

R

とし、

y

について積分して

R

の面積を求めよ。

第1象限で、y=x²、y=2−x、x 軸で囲まれた領域 R。y を基準に見ると、左端は x=√y、右端は x=2−y である。 — Figure 6.10図 6.10
The area of region $R$ can be calculated using one integral only when the curves are treated as functions of $y .$
曲線を $y$ の関数として扱うと、領域 $R$ の面積を一つの積分で求められる。

Solution解き方

We must first express the graphs as functions of

y .

As we saw at the beginning of this section, the curve on the left can be represented by the function

x = v (y) = \sqrt{y},

and the curve on the right can be represented by the function

x = u (y) = 2 - y .

まずグラフを

y

の関数として表す。この節の冒頭で見たように、左側の曲線は

x = v (y) = \sqrt{y}

、右側の曲線は

x = u (y) = 2 - y

で表せる。

Now we have to determine the limits of integration. The region is bounded below by the x-axis, so the lower limit of integration is

y = 0 .

The upper limit of integration is determined by the point where the two graphs intersect, which is the point

(1, 1),

so the upper limit of integration is

y = 1 .

Thus, we have

[c, d] = [0, 1] .

次に積分区間を決める。領域の下端は x 軸なので、積分の下端は

y = 0

である。上端は二つの曲線の交点

(1, 1)

によって決まり、

y = 1

となる。したがって、

[c, d] = [0, 1]

である。

Calculating the area of the region, we get

面積を計算すると、

\begin{matrix} A & = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y \\ = \int_{0}^{1} [(2 - y) - \sqrt{y}] d y = {[2 y - \frac{y^{2}}{2} - \frac{2}{3} y^{3 / 2}] |}_{0}^{1} \\ = \frac{5}{6} . \end{matrix}

The area of the region is

5 / 6

units².

この領域の面積は

5 / 6

単位²である。