第6章積分の応用

Key Concepts重要な概念

• Just as definite integrals can be used to find the area under a curve, they can also be used to find the area between two curves.

  定積分は、曲線の下の面積だけでなく、二つの曲線の間の面積も求められる。
• To find the area between two curves defined by functions, integrate the difference of the functions.

  二つの曲線の間の面積は、上側の関数から下側の関数を引いた差を積分して求める。
• If the graphs of the functions cross, or if the region is complex, use the absolute value of the difference of the functions. In this case, it may be necessary to evaluate two or more integrals and add the results to find the area of the region.

  グラフが交差する場合や複雑な領域では、関数の差の絶対値を使う。二つ以上の積分に分けて計算し、その結果を足す必要があることもある。
• Sometimes it can be easier to integrate with respect to y to find the area. The principles are the same regardless of which variable is used as the variable of integration.

  y について積分するほうが簡単な場合もある。どちらの変数を積分変数にしても、基本原理は同じである。

Key Equations重要な式

Exercises 1–2練習問題 1–2

For the following exercises, determine the area of the region between the two curves in the given figure by integrating over the $x\text{-axis}\text{.}$

次の各問では、図の二つの曲線の間の面積を、$x\text{軸}\text{.}$ に沿って積分して求めよ。

Exercise 1問題 1

$y=x^2-3\text{and}y=1$

$y=x^2-3\text{および}y=1$

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Solution解き方

$\frac{32}{3}$

$\frac{32}{3}$

Exercise 2問題 2

$y=x^2\text{and}y=3x+4$

$y=x^2\text{および}y=3x+4$

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Exercises 3–4練習問題 3–4

For the following exercises, split the region between the two curves into two smaller regions, then determine the area by integrating over the $x\text{-axis}.$ Note that you will have two integrals to solve.

次の各問では、二つの曲線の間の領域を二つの小領域に分け、$x\text{軸}$ に沿って積分して面積を求めよ。二つの積分を計算する必要がある。

Exercise 3問題 3

$y=x^3$ and $y=x^2+x$

$y=x^3$ および $y=x^2+x$。

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Solution解き方

$\frac{13}{12}$

$\frac{13}{12}$

Exercise 4問題 4

$y=\text{cos}\theta$ and $y=0.5,$ for $0\le \theta \le \pi$

$0\le \theta \le \pi$ における $y=\text{cos}\theta$ と $y=0.5$。

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Exercises 5–6練習問題 5–6

For the following exercises, determine the area of the region between the two curves by integrating over the $y\text{-axis}.$

次の各問では、二つの曲線の間の面積を、$y\text{軸}$ に沿って積分して求めよ。

Exercise 5問題 5

$x=y^2\text{and}x=9$

$x=y^2\text{および}x=9$

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Solution解き方

$36$

$36$

Exercise 6問題 6

$y=x\text{and}x=y^2$

$y=x\text{および}x=y^2$

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Exercises 7–13練習問題 7–13

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the $x\text{-axis}.$

次の各問では、方程式のグラフを描き、曲線の間の領域を塗れ。$x\text{軸}$ に沿って積分し、その面積を求めよ。

Exercise 7問題 7

$y=x^2\text{and}y=\text{−}{x}^2+18x$

$y=x^2\text{および}y=\text{−}{x}^2+18x$

Solution解き方

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243 square units

243平方単位

Exercise 8問題 8

$y=\frac{1}{x},y=\frac{1}{x^2},\text{and}x=3$

$y=\frac{1}{x},y=\frac{1}{x^2},\text{および}x=3$

Exercise 9問題 9

$y=\text{cos}x$ and $y={\text{cos}}^{2}x$ on $x=\left[\text{−}\pi ,\pi \right]$

$x=\left[\text{−}\pi ,\pi \right]$ における $y=\text{cos}x$ と $y={\text{cos}}^{2}x$。

Solution解き方

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4

4

Exercise 10問題 10

$y=e^x,y=e^{2x-1},\text{and}x=0$

$y=e^x,y=e^{2x-1},\text{および}x=0$

Exercise 11問題 11

$y=e^x,y=e^{\text{−}x},x=\mathrm{-1}\text{and}x=1$

$y=e^x,y=e^{\text{−}x},x=\mathrm{-1}\text{および}x=1$

Solution解き方

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$\frac{2{\left(e-1\right)}^2}{e}$

$\frac{2{\left(e-1\right)}^2}{e}$

Exercise 12問題 12

$y=e,y=e^x,\text{and}y=e^{\text{−}x}$

$y=e,y=e^x,\text{および}y=e^{\text{−}x}$

Exercise 13問題 13

$y=\left|x\right|\text{and}y=x^2$

$y=\left|x\right|\text{および}y=x^2$

Solution解き方

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$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

Exercises 14–19練習問題 14–19

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. If necessary, break the region into sub-regions to determine its entire area.

次の各問では、グラフを描き、曲線の間の領域を塗れ。必要なら小領域に分け、全体の面積を求めよ。

Exercise 14問題 14

$y=\text{sin}\left(\pi x\right),y=2x,\text{and}x>0$

$y=\text{sin}\left(\pi x\right),y=2x,\text{および}x>0$

Exercise 15問題 15

$y=12-x,y=\sqrt{x},\text{and}y=1$

$y=12-x,y=\sqrt{x},\text{および}y=1$

Solution解き方

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$\frac{34}{3}$

$\frac{34}{3}$

Exercise 16問題 16

$y=\text{sin}x$ and $y=\text{cos}x$ over $x=\left[\text{−}\pi ,\pi \right]$

$x=\left[\text{−}\pi ,\pi \right]$ における $y=\text{sin}x$ と $y=\text{cos}x$。

Exercise 17問題 17

$y=x^3\text{and}y=x^2-2x$ over $x=\left[\mathrm{-1},1\right]$

区間 $x=\left[\mathrm{-1},1\right]$ における $y=x^3\text{および}y=x^2-2x$。

Solution解き方

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$\frac{5}{2}$

$\frac{5}{2}$

Exercise 18問題 18

$y=x^2+9\text{and}y=10+2x$ over $x=\left[\mathrm{-1},3\right]$

区間 $x=\left[\mathrm{-1},3\right]$ における $y=x^2+9\text{および}y=10+2x$。

Exercise 19問題 19

$y=x^3+3x$ and $y=4x$

$y=x^3+3x$ および $y=4x$。

Solution解き方

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$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

Exercises 20–25練習問題 20–25

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the $y\text{-axis}.$

次の各問では、方程式のグラフを描き、曲線の間の領域を塗れ。$y\text{軸}$ に沿って積分し、その面積を求めよ。

Exercise 20問題 20

$x=y^3\text{and}x=3y-2$

$x=y^3\text{および}x=3y-2$

Exercise 21問題 21

$x=2y\text{and}x=y^3-y$

$x=2y\text{および}x=y^3-y$

Solution解き方

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$\frac{9}{2}$

$\frac{9}{2}$

Exercise 22問題 22

$x=\mathrm{-3}+y^2\text{and}x=y-y^2$

$x=\mathrm{-3}+y^2\text{および}x=y-y^2$

Exercise 23問題 23

$y^2=x\text{and}x=y+2$

$y^2=x\text{および}x=y+2$

Solution解き方

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$\frac{9}{2}$

$\frac{9}{2}$

Exercise 24問題 24

$x=\left|y\right|\text{and}2x=\text{−}{y}^2+2$

$x=\left|y\right|\text{および}2x=\text{−}{y}^2+2$

Exercise 25問題 25

$x=\text{sin}y,x=\text{cos}(2y),y=\pi \text{/}2,\text{and}y=\text{−}\pi \text{/}2$

$x=\text{sin}y,x=\text{cos}(2y),y=\pi \text{/}2,\text{および}y=\text{−}\pi \text{/}2$

Solution解き方

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$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Exercises 26–37練習問題 26–37

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

次の各問では、グラフを描いて曲線の間を塗れ。x 軸方向と y 軸方向のうち、都合のよいほうで積分して面積を求めよ。

Exercise 26問題 26

$x=y^4\text{and}x=y^5$

$x=y^4\text{および}x=y^5$

Exercise 27問題 27

$y=x{e}^x,y=e^x,x=0,\text{and}x=1$

$y=x{e}^x,y=e^x,x=0,\text{および}x=1$

Solution解き方

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$e\mathrm{-2}$

$e\mathrm{-2}$

Exercise 28問題 28

$y=x^6\text{and}y=x^4$

$y=x^6\text{および}y=x^4$

Exercise 29問題 29

$x=y^3+2y^2+1\text{and}x=\text{−}{y}^2+1$

$x=y^3+2y^2+1\text{および}x=\text{−}{y}^2+1$

Solution解き方

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$\frac{27}{4}$

$\frac{27}{4}$

Exercise 30問題 30

$y=\left|x\right|\text{and}y=x^2-1$

$y=\left|x\right|\text{および}y=x^2-1$

Exercise 31問題 31

$y=4-3x\text{and}y=\frac{1}{x}$

$y=4-3x\text{および}y=\frac{1}{x}$

Solution解き方

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$\frac{4}{3}-\text{ln}(3)$

$\frac{4}{3}-\text{ln}(3)$

Exercise 32問題 32

$y=\text{sin}x,x=\text{−}\pi \text{/}6,x=\pi \text{/}6,\text{and}y={\text{cos}}^{3}x$

$y=\text{sin}x,x=\text{−}\pi \text{/}6,x=\pi \text{/}6,\text{および}y={\text{cos}}^{3}x$

Exercise 33問題 33

$y=x^2-3x+2\text{and}y=x^3-2x^2-x+2$

$y=x^2-3x+2\text{および}y=x^3-2x^2-x+2$

Solution解き方

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$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

Exercise 34問題 34

$y=2{\text{cos}}^3\left(3x\right),y=\mathrm{-1},x=\frac{\pi }{4},\text{and}x=-\frac{\pi }{4}$

$y=2{\text{cos}}^3\left(3x\right),y=\mathrm{-1},x=\frac{\pi }{4},\text{および}x=-\frac{\pi }{4}$

Exercise 35問題 35

$y+y^3=x\text{and}2y=x$

$y+y^3=x\text{および}2y=x$

Solution解き方

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$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

Exercise 36問題 36

$y=\sqrt{1-x^2}\text{and}y=x^2-1$

$y=\sqrt{1-x^2}\text{および}y=x^2-1$

Exercise 37問題 37

$y={\text{cos}}^{\mathrm{-1}}x,y={\text{sin}}^{\mathrm{-1}}x,x=\mathrm{-1},\text{and}x=1$

$y={\text{cos}}^{\mathrm{-1}}x,y={\text{sin}}^{\mathrm{-1}}x,x=\mathrm{-1},\text{および}x=1$

Solution解き方

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$\mathrm{-2}\left(\sqrt{2}-\pi \right)$

$\mathrm{-2}\left(\sqrt{2}-\pi \right)$

Exercises 38–52練習問題 38–52

For the following exercises, find the exact area of the region bounded by the given equations if possible. If you are unable to determine the intersection points analytically, use a calculator to approximate the intersection points with three decimal places and determine the approximate area of the region.

次の各問では、指定された式で囲まれた領域の正確な面積を、可能なら求めよ。交点を式で求められない場合は、電卓で交点を小数第3位まで近似し、面積の近似値を求めよ。

Exercise 38問題 38

[T] $x=e^y\text{and}y=x-2$

[T] $x=e^y\text{および}y=x-2$

Exercise 39問題 39

[T] $y=x^2\text{and}y=\sqrt{1-x^2}$

[T] $y=x^2\text{および}y=\sqrt{1-x^2}$

Solution解き方

$1.067$

$1.067$

Exercise 40問題 40

[T] $y=3x^2+8x+9\text{and}3y=x+24$

[T] $y=3x^2+8x+9\text{および}3y=x+24$

Exercise 41問題 41

[T] $x=\sqrt{4-y^2}\text{and}{y}^2=1+x^2$

[T] $x=\sqrt{4-y^2}\text{および}{y}^2=1+x^2$

Solution解き方

$0.852$

$0.852$

Exercise 42問題 42

[T] $x^2=y^3\text{and}x=3y$

[T] $x^2=y^3\text{および}x=3y$

Exercise 43問題 43

[T] $y={\text{sin}}^{3}x+2,y=\text{tan}x,x=\mathrm{-1.5},\text{and}x=1.5$

[T] $y={\text{sin}}^{3}x+2,y=\text{tan}x,x=\mathrm{-1.5},\text{および}x=1.5$

Solution解き方

$7.523$

$7.523$

Exercise 44問題 44

[T] $y=\sqrt{1-x^2}\text{and}{y}^2=x^2$

[T] $y=\sqrt{1-x^2}\text{および}{y}^2=x^2$

Exercise 45問題 45

[T] $y=\sqrt{1-x^2}\text{and}y=x^2+2x+1$

[T] $y=\sqrt{1-x^2}\text{および}y=x^2+2x+1$

Solution解き方

$\frac{3\pi -4}{12}$

$\frac{3\pi -4}{12}$

Exercise 46問題 46

[T] $x=4-y^2\text{and}x=1+3y+y^2$

[T] $x=4-y^2\text{および}x=1+3y+y^2$

Exercise 47問題 47

[T] $y=\text{cos}x,y=e^x,x=\text{−}\pi ,\text{and}x=0$

[T] $y=\text{cos}x,y=e^x,x=\text{−}\pi ,\text{および}x=0$

Solution解き方

$1.429$

$1.429$

Exercise 48問題 48

The largest triangle with a base on the $x\text{-axis}$ that fits inside the upper half of the unit circle $y^2+x^2=1$ is given by $y=1+x$ and $y=1-x.$ See the following figure. What is the area inside the semicircle but outside the triangle?

$x\text{軸}$ 上に底辺を持ち、単位円 $y^2+x^2=1$ の上半分に入る最大の三角形は、$y=1+x$ と $y=1-x$ で与えられる。次の図を参照。半円の内側で三角形の外側にある面積はいくらか。

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Exercise 49問題 49

A factory selling cell phones has a marginal cost function $C(x)=0.01x^2-3x+229,$ where $x$ represents the number of cell phones, and a marginal revenue function given by $R(x)=429-2x.$ Find the area between the graphs of these curves and $x=0.$ What does this area represent?

携帯電話を売る工場の限界費用関数を $C(x)=0.01x^2-3x+229$、限界収入関数を $R(x)=429-2x$ とする。$x$ は携帯電話の台数を表す。二つのグラフと $x=0$ で囲まれた面積を求めよ。この面積は何を表すか。

Solution解き方

$\text{\$}\mathrm{33,333.33}$ total profit for $200$ cell phones sold

$\text{\$}\mathrm{33,333.33}$。携帯電話を $200$ 台売ることで生じる総利益を表す。

Exercise 50問題 50

An amusement park has a marginal cost function $C(x)=1000e^{\text{−}x}+5,$ where $x$ represents the number of tickets sold, and a marginal revenue function given by $R(x)=60-0.1x.$ Find the total profit generated when selling $550$ tickets. Use a calculator to determine intersection points, if necessary, to two decimal places.

遊園地の限界費用関数を $C(x)=1000e^{\text{−}x}+5$、限界収入関数を $R(x)=60-0.1x$ とする。$x$ は販売した入場券の枚数を表す。$550$ 枚売ったときの総利益を求めよ。必要なら、電卓で交点を小数第2位まで求めること。

Exercise 51問題 51

The tortoise versus the hare: The speed of the hare is given by the sinusoidal function $H(t)=1-\text{cos}\left(\left(\pi t\right)\text{/}2\right)$ whereas the speed of the tortoise is $T(t)=\left(1\text{/}2\right){\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(t\text{/}4\right),$ where $t$ is time measured in hours and the speed is measured in miles per hour. Find the area between the curves from time $t=0$ to the first time after one hour when the tortoise and hare are traveling at the same speed. What does it represent? Use a calculator to determine the intersection points, if necessary, accurate to three decimal places.

ウサギとカメの競走を考える。ウサギの速さは $H(t)=1-\text{cos}\left(\left(\pi t\right)\text{/}2\right)$、カメの速さは $T(t)=\left(1\text{/}2\right){\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(t\text{/}4\right)$ で与えられる。$t$ は時間単位の時刻、速さの単位はマイル毎時である。$t=0$ から、1時間経過後に初めて二者の速さが等しくなる時刻まで、二曲線の間の面積を求めよ。この面積は何を表すか。必要なら、交点を電卓で小数第3位まで求めよ。

Solution解き方

$3.263$ mi represents how far ahead the hare is from the tortoise

$3.263$ マイル。ウサギがカメにどれだけ先行しているかを表す。

Exercise 52問題 52

The tortoise versus the hare: The speed of the hare is given by the sinusoidal function $H(t)=\left(1\text{/}2\right)-\left(1\text{/}2\right)\text{cos}\left(2\pi t\right)$ whereas the speed of the tortoise is $T(t)=\sqrt{t},$ where $t$ is time measured in hours and speed is measured in kilometers per hour. If the race is over in $1$ hour, who won the race and by how much? Use a calculator to determine the intersection points, if necessary, accurate to three decimal places.

ウサギとカメの速さを、それぞれ $H(t)=\left(1\text{/}2\right)-\left(1\text{/}2\right)\text{cos}\left(2\pi t\right)$、$T(t)=\sqrt{t}$ とする。$t$ は時間単位の時刻で、速さの単位はキロメートル毎時である。$1$ 時間で競走を終えるなら、どちらがどれだけの差で勝つか。必要なら、交点を電卓で小数第3位まで求めよ。

Exercises 56–57練習問題 56–57

For the following exercises, solve using calculus, then check your answer with geometry.

次の各問では、微積分で解いた後、幾何学で答えを確かめよ。

Exercise 56問題 56

Determine the equations for the sides of the square that touches the unit circle on all four sides, as seen in the following figure. Find the area between the perimeter of this square and the unit circle. Is there another way to solve this without using calculus?

次の図のように、四辺すべてが単位円に接する正方形の辺の方程式を求めよ。正方形の内側で単位円の外側にある面積を求めよ。微積分を使わずに解く方法もあるか。

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Exercise 57問題 57

Find the area between the perimeter of the unit circle and the triangle created from $y=2x+1,y=1-2x$ and $y=-\frac{3}{5},$ as seen in the following figure. Is there a way to solve this without using calculus?

次の図のように、$y=2x+1,y=1-2x$ と $y=-\frac{3}{5}$ で作る三角形と、単位円の間にある面積を求めよ。微積分を使わずに解く方法はあるか。

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Solution解き方

$\pi -\frac{32}{25}$

$\pi -\frac{32}{25}$