第6章積分の応用

Theorem of Pappusパップスの定理

This section ends with a discussion of the theorem of Pappus for volume, which allows us to find the volume of particular kinds of solids by using the centroid. (There is also a theorem of Pappus for surface area, but it is much less useful than the theorem for volume.)

この節の最後に、図心から回転体の体積を求めるパップスの定理を扱う。表面積に関するパップスの定理もあるが、ここでは体積の定理を用いる。

Proof証明

We can prove the case when the region is bounded above by the graph of a function

f (x)

and below by the graph of a function

g (x)

over an interval

[a, b],

and for which the axis of revolution is the y-axis. In this case, the area of the region is

A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .

Since the axis of rotation is the y-axis, the distance traveled by the centroid of the region depends only on the x-coordinate of the centroid,

\bar{x},

which is

領域が y 軸の右側にある場合を考える。区間

[a, b]

で上を関数

f (x)

のグラフ、下を関数

g (x)

のグラフで囲まれた領域を、y 軸の周りに回転させる場合を証明しよう。この領域の面積は

A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x

である。回転軸が y 軸なので、図心の移動距離は、その x 座標

\bar{x}

だけで決まる。この座標は次式で与えられる。

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m},

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m}

where

ここで、次式が成り立つ。

m = ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x and M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

m = ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x および M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x

Then,

すると、

d = 2 π \frac{ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x}{ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x}

and thus

したがって、次のようになる。

d \cdot A = 2 π \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

d \cdot A = 2 π \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x

However, using the method of cylindrical shells, we have

一方、円筒殻法を使うと、体積は次式となる。

V = 2 π \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

V = 2 π \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x

So,

よって、次式を得る。

V = d \cdot A

and the proof is complete.

これで証明が完了する。

□

Example 6.34例題 6.34

Using the Theorem of Pappus for Volume体積に関するパップスの定理を使う

Let R be a circle of radius 2 centered at

(4, 0) .

Use the theorem of Pappus for volume to find the volume of the torus generated by revolving R around the y-axis.

英語のヒント

点

(4, 0)

を中心とする半径2の円板を R とする。R を y 軸の周りに回転させてできるトーラスの体積を、パップスの定理で求めよ。

Solution解き方

The region and torus are depicted in the following figure.

領域とトーラスを次の図に示す。

(a) 中心 (4,0)、半径2の円板。(b) その円板を y 軸の周りに回転させてできる、ドーナツ形のトーラス。 — Figure 6.74図 6.74
Determining the volume of a torus by using the theorem of Pappus. (a) A circular region R in the plane; (b) the torus generated by revolving R about the y-axis.
パップスの定理でトーラスの体積を求める。(a) 平面内の円板 R。(b) R を y 軸の周りに回転させてできるトーラス。

The region R is a circle of radius 2, so the area of R is

A = 4 π

units². By the symmetry principle, the centroid of R is the center of the circle. The centroid travels around the y-axis in a circular path of radius 4, so the centroid travels

d = 8 π

units. Then, the volume of the torus is

A \cdot d = 32 π^{2}

units³.

R は半径2の円板なので、面積は

A = 4 π

単位長さ²である。対称性の原理から、図心は円の中心にある。図心は y 軸の周りに半径4の円を描くため、移動距離は

d = 8 π

単位長さとなる。したがって、トーラスの体積は

A \cdot d = 32 π^{2}

単位長さ³である。

Key Concepts重要な概念

Mathematically, the center of mass of a system is the point at which the total mass of the system could be concentrated without changing the moment. Loosely speaking, the center of mass can be thought of as the balancing point of the system.
数学的には、重心とは、系の全質量をそこに集めてもモーメントが変わらない点である。直観的には、そこで支えると全体が釣り合う点と考えられる。
For point masses distributed along a number line, the moment of the system with respect to the origin is $M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i} .$ For point masses distributed in a plane, the moments of the system with respect to the x- and y-axes, respectively, are $M_{x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}$ and $M_{y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i},$ respectively.
数直線上の質点系の原点に関するモーメントは、 $M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}$ である。平面上の質点系では、x 軸に関するモーメントは $M_{x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}$ 、y 軸に関するモーメントは $M_{y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}$ である。
For a lamina bounded above by a function $f (x),$ the moments of the system with respect to the x- and y-axes, respectively, are $M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x$ and $M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .$
上を関数 $f (x)$ のグラフ、下を x 軸で囲まれた一様な薄板では、x 軸・y 軸に関するモーメントは、それぞれ $M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x$ 、 $M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x$ である。
The x- and y-coordinates of the center of mass can be found by dividing the moments around the y-axis and around the x-axis, respectively, by the total mass. The symmetry principle says that if a region is symmetric with respect to a line, then the centroid of the region lies on the line.
重心の x 座標は y 軸に関するモーメントを、y 座標は x 軸に関するモーメントを、それぞれ全質量で割って求める。領域が直線に関して対称なら、その図心はその直線上にある。これが対称性の原理である。
The theorem of Pappus for volume says that if a region is revolved around an external axis, the volume of the resulting solid is equal to the area of the region multiplied by the distance traveled by the centroid of the region.
体積に関するパップスの定理によれば、領域をその外部にある軸の周りに回転させたとき、回転体の体積は、領域の面積と図心の移動距離の積に等しい。

Key Equations重要な式

Mass of a lamina 薄板の質量	$m = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x$
Moments of a lamina 薄板のモーメント	$M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x and M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x$ $M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x および M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x$
Center of mass of a lamina 薄板の重心	$\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} and \bar{y} = \frac{M_{x}}{m}$ $\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} および \bar{y} = \frac{M_{x}}{m}$

Exercises 254–259練習問題 254–259

For the following exercises, calculate the center of mass for the collection of masses given.

次の各問では、与えられた質点系の重心を求めよ。

Exercise 254問題 254

m_{1} = 2

x_{1} = 1

and

m_{2} = 4

x_{2} = 2

位置

x_{1} = 1

に

m_{1} = 2

、位置

x_{2} = 2

に

m_{2} = 4

。

Exercise 255問題 255

m_{1} = 1

x_{1} = −1

and

m_{2} = 3

x_{2} = 2

位置

x_{1} = −1

に

m_{1} = 1

、位置

x_{2} = 2

に

m_{2} = 3

。

Solution解き方

\frac{5}{4}

\frac{5}{4}

Exercise 256問題 256

m = 3

x = 0, 1, 2, 6

x = 0, 1, 2, 6

の各位置に、質量

m = 3

の質点がある。

Exercise 257問題 257

Unit masses at

(x, y) = (1, 0), (0, 1), (1, 1)

(x, y) = (1, 0), (0, 1), (1, 1)

の各位置に、質量1の質点がある。

Solution解き方

(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})

(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})

Exercise 258問題 258

m_{1} = 1

(1, 0)

and

m_{2} = 4

(0, 1)

位置

(1, 0)

に

m_{1} = 1

、位置

(0, 1)

に

m_{2} = 4

。

Exercise 259問題 259

m_{1} = 1

(1, 0)

and

m_{2} = 3

(2, 2)

位置

(1, 0)

に

m_{1} = 1

、位置

(2, 2)

に

m_{2} = 3

。

Solution解き方

(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})

(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})

Exercises 260–269練習問題 260–269

For the following exercises, compute the center of mass

\bar{x} .

次の各問では、重心

\bar{x}

を求めよ。

Exercise 260問題 260

ρ = 1

for

x \in (−1, 3)

x \in (−1, 3)

のときの

ρ = 1

。

Exercise 261問題 261

ρ = x^{2}

for

x \in (0, L)

x \in (0, L)

のときの

ρ = x^{2}

。

Solution解き方

\frac{3 L}{4}

\frac{3 L}{4}

Exercise 262問題 262

ρ = 1

for

x \in (0, 1)

and

ρ = 2

for

x \in (1, 2)

x \in (0, 1)

では

ρ = 1

、

x \in (1, 2)

では

ρ = 2

。

Exercise 263問題 263

ρ = sin x

for

x \in (0, π)

x \in (0, π)

のときの

ρ = sin x

。

Solution解き方

\frac{π}{2}

\frac{π}{2}

Exercise 264問題 264

ρ = cos x

for

x \in (0, \frac{π}{2})

x \in (0, \frac{π}{2})

のときの

ρ = cos x

。

Exercise 265問題 265

ρ = e^{x}

for

x \in (0, 2)

x \in (0, 2)

のときの

ρ = e^{x}

。

Solution解き方

\frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1}

\frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1}

Exercise 266問題 266

ρ = x^{3} + x e^{− x}

for

x \in (0, 1)

x \in (0, 1)

のときの

ρ = x^{3} + x e^{− x}

。

Exercise 267問題 267

ρ = x sin x

for

x \in (0, π)

x \in (0, π)

のときの

ρ = x sin x

。

Solution解き方

\frac{π^{2} - 4}{π}

\frac{π^{2} - 4}{π}

Exercise 268問題 268

ρ = \sqrt{x}

for

x \in (1, 4)

x \in (1, 4)

のときの

ρ = \sqrt{x}

。

Exercise 269問題 269

ρ = ln x

for

x \in (1, e)

x \in (1, e)

のときの

ρ = ln x

。

Solution解き方

\frac{1}{4} (1 + e^{2})

\frac{1}{4} (1 + e^{2})

Exercises 270–272練習問題 270–272

For the following exercises, compute the center of mass

(\bar{x}, \bar{y}) .

Use symmetry to help locate the center of mass whenever possible.

次の各問では、重心

(\bar{x}, \bar{y})

を求めよ。使える場合は対称性を利用すること。

Exercise 270問題 270

ρ = 7

in the square

0 \leq x \leq 1,

0 \leq y \leq 1

正方形

0 \leq x \leq 1

、

0 \leq y \leq 1

で、密度は

ρ = 7

。

Exercise 271問題 271

ρ = 3

in the triangle with vertices

(0, 0),

(a, 0),

and

(0, b)

頂点が

(0, 0)

、

(a, 0)

、

(0, b)

の三角形で、密度は

ρ = 3

。

Solution解き方

(\frac{a}{3}, \frac{b}{3})

(\frac{a}{3}, \frac{b}{3})

Exercise 272問題 272

ρ = 2

for the region bounded by

y = cos (x),

y = − cos (x),

x = - \frac{π}{2},

and

x = \frac{π}{2}

y = cos (x)

、

y = − cos (x)

、

x = - \frac{π}{2}

、

x = \frac{π}{2}

で囲まれた領域で、密度は

ρ = 2

。

Exercises 273–279練習問題 273–279

For the following exercises, use a calculator to draw the region, then compute the center of mass

(\bar{x}, \bar{y}) .

Use symmetry to help locate the center of mass whenever possible.

次の各問では、計算機で領域を描き、重心

(\bar{x}, \bar{y})

を求めよ。使える場合は対称性を利用すること。

Exercise 273問題 273

[T] The region bounded by

y = cos (2 x),

x = - \frac{π}{4},

and

x = \frac{π}{4}

[T]

y = cos (2 x)

、

x = - \frac{π}{4}

、

x = \frac{π}{4}

で囲まれた領域。

Solution解き方

(0, \frac{π}{8})

(0, \frac{π}{8})

Exercise 274問題 274

[T] The region between

y = 2 x^{2},

y = 0,

x = 0,

and

x = 1

[T]

y = 2 x^{2}

、

y = 0

、

x = 0

、

x = 1

で囲まれた領域。

Exercise 275問題 275

[T] The region between

y = \frac{5}{4} x^{2}

and

y = 5

[T]

y = \frac{5}{4} x^{2}

と

y = 5

の間の領域。

Solution解き方

(0, 3)

(0, 3)

Exercise 276問題 276

[T] Region between

y = \sqrt{x},

y = ln (x),

x = 1,

and

x = 4

[T]

y = \sqrt{x}

、

y = ln (x)

、

x = 1

、

x = 4

で囲まれた領域。

Exercise 277問題 277

[T] The region bounded by

y = 0,

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

[T]

y = 0

、

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

で囲まれた領域。

Solution解き方

(0, \frac{4}{π})

(0, \frac{4}{π})

Exercise 278問題 278

[T] The region bounded by

y = 0,

x = 0,

and

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

[T]

y = 0

、

x = 0

、

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

で囲まれた領域。

Exercise 279問題 279

[T] The region bounded by

y = x^{2}

and

y = x^{4}

in the first quadrant

[T] 第1象限で

y = x^{2}

と

y = x^{4}

に囲まれた領域。

Solution解き方

(\frac{5}{8}, \frac{1}{3})

(\frac{5}{8}, \frac{1}{3})

Exercises 280–284練習問題 280–284

For the following exercises, use the theorem of Pappus to determine the volume of the shape.

次の各問では、パップスの定理を使って立体の体積を求めよ。

Exercise 280問題 280

Rotating

y = m x

around the

x

-axis between

x = 0

and

x = 1

x = 0

から

x = 1

までの

y = m x

を

x

軸のまわりに回転させる。

Exercise 281問題 281

Rotating

y = m x

around the

y

-axis between

x = 0

and

x = 1

x = 0

から

x = 1

までの

y = m x

を

y

軸のまわりに回転させる。

Solution解き方

\frac{2 m π}{3}

\frac{2 m π}{3}

Exercise 282問題 282

A general cone created by rotating a triangle with vertices

(0, 0),

(a, 0),

and

(0, b)

around the

y

-axis. Does your answer agree with the volume of a cone?

頂点が

(0, 0)

、

(a, 0)

、

(0, b)

の三角形を、

y

軸の周りに回転させた円錐。結果は円錐の体積の公式と一致するか。

Exercise 283問題 283

A general cylinder created by rotating a rectangle with vertices

(0, 0),

(a, 0), (0, b),

and

(a, b)

around the

y

-axis. Does your answer agree with the volume of a cylinder?

頂点が

(0, 0)

、

(a, 0), (0, b)

、

(a, b)

の長方形を、

y

軸の周りに回転させた円柱。結果は円柱の体積の公式と一致するか。

Solution解き方

π a^{2} b

π a^{2} b

Exercise 284問題 284

A sphere created by rotating a semicircle with radius

a

around the

y

-axis. Does your answer agree with the volume of a sphere?

半径

a

の半円を、直径のある

y

軸の周りに回転させた球。結果は球の体積の公式と一致するか。

Exercises 285–294練習問題 285–294

For the following exercises, use a calculator to draw the region enclosed by the curve. Find the area

M

and the centroid

(\bar{x}, \bar{y})

for the given shapes. Use symmetry to help locate the center of mass whenever possible.

次の各問では、計算機で曲線に囲まれた領域を描き、面積

M

と図心

(\bar{x}, \bar{y})

を求めよ。使える場合は対称性を利用すること。

Exercise 285問題 285

[T] Quarter-circle:

y = \sqrt{1 - x^{2}},

y = 0,

and

x = 0

[T] 4分の1円：

y = \sqrt{1 - x^{2}}

、

y = 0

、

x = 0

で囲まれた領域。

Solution解き方

(\frac{4}{3 π}, \frac{4}{3 π})

(\frac{4}{3 π}, \frac{4}{3 π})

Exercise 286問題 286

[T] Triangle:

y = x,

y = 2 - x,

and

y = 0

[T] 三角形：

y = x

、

y = 2 - x

、

y = 0

で囲まれた領域。

Exercise 287問題 287

[T] Lens:

y = x^{2}

and

y = x

[T] レンズ形：

y = x^{2}

と

y = x

で囲まれた領域。

Solution解き方

(\frac{1}{2}, \frac{2}{5})

(\frac{1}{2}, \frac{2}{5})

Exercise 288問題 288

[T] Ring:

y^{2} + x^{2} = 1

and

y^{2} + x^{2} = 4

[T] 円環：

y^{2} + x^{2} = 1

と

y^{2} + x^{2} = 4

の間の領域。

Exercise 289問題 289

[T] Half-ring:

y^{2} + x^{2} = 1,

y^{2} + x^{2} = 4,

and

y = 0

[T] 半円環：

y^{2} + x^{2} = 1

、

y^{2} + x^{2} = 4

、

y = 0

で囲まれた領域。

Solution解き方

(0, \frac{28}{9 π})

(0, \frac{28}{9 π})

Exercise 290問題 290

Find the generalized center of mass in the sliver between

y = x^{a}

and

y = x^{b}

with

a > b .

Then, use the Pappus theorem to find the volume of the solid generated when revolving around the y-axis.

a > b

として、

y = x^{a}

と

y = x^{b}

の間にある細長い領域の重心を一般式で求めよ。さらに、パップスの定理を使い、この領域を y 軸の周りに回転させた立体の体積を求めよ。

Exercise 291問題 291

Find the generalized center of mass between

y = a^{2} - x^{2},

x = 0,

and

y = 0 .

Then, use the Pappus theorem to find the volume of the solid generated when revolving around the y-axis.

y = a^{2} - x^{2}

、

x = 0

、

y = 0

の間の領域について、重心を一般の式で求めよ。次に、パップスの定理を使い、その領域を y 軸のまわりに回転させた立体の体積を求めよ。

Solution解き方

Center of mass:

(\frac{a}{6}, \frac{4 a^{2}}{5}),

volume:

\frac{2 π a^{4}}{9}

重心：

(\frac{a}{6}, \frac{4 a^{2}}{5})

。体積：

\frac{2 π a^{4}}{9}

。

Exercise 292問題 292

Find the generalized center of mass between

y = b sin (a x),

x = 0,

and

x = \frac{π}{a} .

Then, use the Pappus theorem to find the volume of the solid generated when revolving around the y-axis.

y = b sin (a x)

、

x = 0

、

x = \frac{π}{a}

の間の領域について、重心を一般の式で求めよ。次に、パップスの定理を使い、その領域を y 軸のまわりに回転させた立体の体積を求めよ。

Exercise 293問題 293

Use the theorem of Pappus to find the volume of a torus (pictured here). Assume that a disk of radius

a

is positioned with the left end of the circle at

x = b,

b > 0,

and is rotated around the y-axis.

図のトーラスの体積を、パップスの定理で求めよ。半径

a

の円板を、その左端が

x = b

に来るように置き、y 軸の周りに回転させる。ただし

b > 0

とする。

中央の穴の半径が b のトーラス。内部に描かれた円形の断面の半径は a である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

Volume:

2 π^{2} a^{2} (b + a)

体積：

2 π^{2} a^{2} (b + a)

。

Exercise 294問題 294

Find the center of mass

(\bar{x}, \bar{y})

for a thin wire along the semicircle

y = \sqrt{1 - x^{2}}

with unit mass. (Hint: Use the theorem of Pappus.)

半円

y = \sqrt{1 - x^{2}}

に沿う、一様な細い針金の重心

(\bar{x}, \bar{y})

を求めよ。針金全体の質量は1とする。ヒント：パップスの定理を使う。

center of mass

重心

the point at which the total mass of the system could be concentrated without changing the moment

系の全質量をそこに集めても、モーメントが変わらない点。

centroid

図心

the centroid of a region is the geometric center of the region; laminas are often represented by regions in the plane; if the lamina has a constant density, the center of mass of the lamina depends only on the shape of the corresponding planar region; in this case, the center of mass of the lamina corresponds to the centroid of the representative region

領域の幾何学的な中心。薄板を平面領域で表したとき、面密度が一定なら、その重心は領域の形だけで決まる。この場合、板の重心は領域の図心に一致する。

lamina

薄板

a thin sheet of material; laminas are thin enough that, for mathematical purposes, they can be treated as if they are two-dimensional

数学的に2次元の物体として扱えるほど、十分に薄い板。

moment

モーメント

if n masses are arranged on a number line, the moment of the system with respect to the origin is given by

M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i};

if, instead, we consider a region in the plane, bounded above by a function

f (x)

over an interval

[a, b],

then the moments of the region with respect to the x- and y-axes are given by

M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x

and

M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x,

respectively

数直線上に n 個の質点があるとき、原点に関するモーメントは

M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}

である。また、区間

[a, b]

で上を関数

f (x)

のグラフ、下を x 軸で囲まれた、面密度が一定の薄板では、x 軸・y 軸に関するモーメントは、それぞれ

M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x

、

M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x

で与えられる。

symmetry principle

対称性の原理

the symmetry principle states that if a region R is symmetric about a line l, then the centroid of R lies on l

領域 R が直線 l に関して対称なら、R の図心は l 上にあるという原理。

theorem of Pappus for volume

体積に関するパップスの定理

this theorem states that the volume of a solid of revolution formed by revolving a region around an external axis is equal to the area of the region multiplied by the distance traveled by the centroid of the region

領域をその外部にある軸の周りに回転させると、回転体の体積は、領域の面積と、その図心が移動する距離との積に等しいという定理。