第6章積分の応用

The Washer Method円環法

Some solids of revolution have cavities in the middle; they are not solid all the way to the axis of revolution. Sometimes, this is just a result of the way the region of revolution is shaped with respect to the axis of revolution. In other cases, cavities arise when the region of revolution is defined as the region between the graphs of two functions. A third way this can happen is when an axis of revolution other than the

x -axis

y -axis

is selected.

英語のヒント

回転体には、中央に空洞があり、回転軸まで中身が詰まっていないものもある。元の領域と回転軸との位置関係によって、こうなる場合がある。二つの関数のグラフの間の領域を回す場合や、

x 軸

、

y 軸

以外を回転軸に選ぶ場合にも、空洞が生まれることがある。

When the solid of revolution has a cavity in the middle, the slices used to approximate the volume are not disks, but washers (disks with holes in the center). For example, consider the region bounded above by the graph of the function

f (x) = \sqrt{x}

and below by the graph of the function

g (x) = 1

over the interval

[1, 4] .

When this region is revolved around the

x -axis,

the result is a solid with a cavity in the middle, and the slices are washers. The graph of the function and a representative washer are shown in Figure 6.22(a) and (b). The region of revolution and the resulting solid are shown in Figure 6.22(c) and (d).

英語のヒント

中央に空洞がある場合、近似に使う切片は円板ではなく、中央に穴の開いた円板、つまり円環になる。例えば区間

[1, 4]

で、

f (x) = \sqrt{x}

のグラフを上側、

g (x) = 1

のグラフを下側とする領域を、

x 軸、

のまわりに回すと、中央が空洞の立体ができる。図6.22(a)、(b)に関数と一つの円環を、(c)、(d)に元の領域と回転体を示す。図6.22(c)、(d)は、回転させる領域と、できあがる立体を示している。

(a) y=√x と y=1 の間に細い長方形を置く。(b) x 軸のまわりに回すと、中心に穴の開いた円環になる。(c) 交点(1,1)から x=4までの二曲線間を塗る。(d) 全体を回した立体。内側の半径は1で、空洞の縁を破線で示す。 — Figure 6.22図 6.22
(a) A thin rectangle in the region between two curves. (b) A representative washer formed by revolving the rectangle about the $x -axis .$ (c) The region between the curves over the given interval. (d) The resulting solid of revolution.
(a) 二曲線間の細い長方形。(b) $x 軸$ のまわりに回してできる円環。(c) 指定区間での二曲線間の領域。(d) できあがった回転体。

The cross-sectional area, then, is the area of the outer circle less the area of the inner circle. In this case,

断面積は、外側の円の面積から内側の円の面積を引けばよい。この場合は、

A (x) = π {(\sqrt{x})}^{2} - π {(1)}^{2} = π (x - 1) .

A (x) = π {(\sqrt{x})}^{2} - π {(1)}^{2} = π (x - 1)

Then the volume of the solid is

したがって、立体の体積は、

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} A (x) d x \\ = \int_{1}^{4} π (x - 1) d x = {π [\frac{x^{2}}{2} - x] |}_{1}^{4} = \frac{9}{2} π {units}^{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} A (x) d x \\ = \int_{1}^{4} π (x - 1) d x = {π [\frac{x^{2}}{2} - x] |}_{1}^{4} = \frac{9}{2} π {単位}^{3} . \end{matrix}

Generalizing this process gives the washer method.

この手順を一般化したものが円環法である。

Example 6.10例題 6.10

Using the Washer Method円環法を使う

Find the volume of a solid of revolution formed by revolving the region bounded above by the graph of

f (x) = x

and below by the graph of

g (x) = 1 / x

over the interval

[1, 4]

around the

x -axis .

区間

[1, 4]

で、

f (x) = x

のグラフを上側、

g (x) = 1 / x

のグラフを下側とする領域を、

x 軸 .

のまわりに回す。回転体の体積を求めよ。

Solution解き方

The graphs of the functions and the solid of revolution are shown in the following figure.

関数のグラフと回転体を、次の図に示す。

(a) 第1象限の直線 y=x と曲線 y=1/x。交点(1,1)から x=4までの領域を塗る。(b) その領域を x 軸のまわりに回した、中央に空洞のある立体。 — Figure 6.23図 6.23
(a) The region between the graphs of the functions $f (x) = x$ and $g (x) = 1 / x$ over the interval $[1, 4] .$ (b) Revolving the region about the $x -axis$ generates a solid of revolution with a cavity in the middle.
(a) 区間 $[1, 4]$ 上の関数 $f (x) = x$ と $g (x) = 1 / x$ のグラフの間の領域。(b) $x 軸$ のまわりに回すと、中央に空洞のある回転体ができる。

We have

次の式が得られる。

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} π [{(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2}] d x \\ = π \int_{1}^{4} [x^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}] d x = {π [\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x}] |}_{1}^{4} = \frac{81 π}{4} {units}^{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} π [{(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2}] d x \\ = π \int_{1}^{4} [x^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}] d x = {π [\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x}] |}_{1}^{4} = \frac{81 π}{4} {単位}^{3} . \end{matrix}

As with the disk method, we can also apply the washer method to solids of revolution that result from revolving a region around the y-axis. In this case, the following rule applies.

円板法と同様に、y 軸のまわりの回転体にも円環法を使える。この場合には、次の公式が成り立つ。

Rule: The Washer Method for Solids of Revolution around the y-axis公式：y 軸のまわりの回転体の円環法

Suppose

u (y)

and

v (y)

are continuous, nonnegative functions such that

v (y) \leq u (y)

for

y \in [c, d] .

Let

Q

denote the region bounded on the right by the graph of

u (y),

on the left by the graph of

v (y),

below by the line

y = c,

and above by the line

y = d .

Then, the volume of the solid of revolution formed by revolving

Q

around the

y -axis

is given by

u (y)

と

v (y)

を連続かつ非負の関数とし、

y \in [c, d]

で

v (y) \leq u (y)

とする。右を

u (y)

、左を

v (y)

のグラフ、下を

y = c

、上を

y = d

に囲まれた領域を

Q

とする。

Q

を

y 軸

のまわりに回した回転体の体積は、次式で与えられる。

V = \int_{c}^{d} π [{(u (y))}^{2} - {(v (y))}^{2}] d y .

V = \int_{c}^{d} π [{(u (y))}^{2} - {(v (y))}^{2}] d y

Rather than looking at an example of the washer method with the

y -axis

as the axis of revolution, we now consider an example in which the axis of revolution is a line other than one of the two coordinate axes. The same general method applies, but you may have to visualize just how to describe the cross-sectional area of the volume.

英語のヒント

y 軸

を回転軸とする例の代わりに、ここでは座標軸以外の直線を回転軸にする例を考える。基本的な方法は同じだが、断面積をどう表すか、図を思い描いて判断する必要がある。

Example 6.11例題 6.11

The Washer Method with a Different Axis of Revolution別の直線を回転軸にする円環法

Find the volume of a solid of revolution formed by revolving the region bounded above by

f (x) = 4 - x

and below by the

x -axis

over the interval

[0, 4]

around the line

y = −2 .

区間

[0, 4]

で、上を

f (x) = 4 - x

、下を

x 軸

に囲まれた領域を、直線

y = −2

のまわりに回す。回転体の体積を求めよ。

Solution解き方

The graph of the region and the solid of revolution are shown in the following figure.

元の領域と回転体を、次の図に示す。

(a) y=4−x と両座標軸に囲まれた三角形、および回転軸 y=−2。(b) この三角形を y=−2 のまわりに回した立体。中央には半径2の円柱状の穴があり、その上下の縁は y=0 と y=−4 にある。 — Figure 6.24図 6.24
(a) The region between the graph of the function $f (x) = 4 - x$ and the $x -axis$ over the interval $[0, 4] .$ (b) Revolving the region about the line $y = −2$ generates a solid of revolution with a cylindrical hole through its middle.
(a) 区間 $[0, 4]$ において、 $f (x) = 4 - x$ のグラフと $x 軸$ の間にある領域。(b) 直線 $y = −2$ のまわりに回すと、中央に円柱状の穴がある立体ができる。

We can’t apply the volume formula to this problem directly because the axis of revolution is not one of the coordinate axes. However, we still know that the area of the cross-section is the area of the outer circle less the area of the inner circle. Looking at the graph of the function, we see the radius of the outer circle is given by

f (x) + 2,

which simplifies to

回転軸が座標軸ではないため、先ほどの公式に関数をそのまま代入することはできない。しかし、断面積が外側の円の面積から内側の円の面積を引いたものだという原理は同じである。グラフを見ると、外側の半径は

f (x) + 2

であり、整理すると、

f (x) + 2 = (4 - x) + 2 = 6 - x .

f (x) + 2 = (4 - x) + 2 = 6 - x

The radius of the inner circle is

g (x) = 2 .

Therefore, we have

内側の半径は

g (x) = 2

なので、

\begin{matrix} V & = \int_{0}^{4} π [{(6 - x)}^{2} - {(2)}^{2}] d x \\ = π \int_{0}^{4} (x^{2} - 12 x + 32) d x = {π [\frac{x^{3}}{3} - 6 x^{2} + 32 x] |}_{0}^{4} = \frac{160 π}{3} {units}^{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} V & = \int_{0}^{4} π [{(6 - x)}^{2} - {(2)}^{2}] d x \\ = π \int_{0}^{4} (x^{2} - 12 x + 32) d x = {π [\frac{x^{3}}{3} - 6 x^{2} + 32 x] |}_{0}^{4} = \frac{160 π}{3} {単位}^{3} . \end{matrix}