第6章積分の応用

The Symmetry Principle対称性の原理

We stated the symmetry principle earlier, when we were looking at the centroid of a rectangle. The symmetry principle can be a great help when finding centroids of regions that are symmetric. Consider the following example.

長方形の図心を考えた際に、対称性の原理を述べた。対称な領域の図心を求めるとき、この原理は大いに役立つ。次の例を見よう。

Example 6.33例題 6.33

Finding the Centroid of a Symmetric Region対称な領域の図心を求める

Let R be the region bounded above by the graph of the function

f (x) = 4 - x^{2}

and below by the x-axis. Find the centroid of the region.

上を関数

f (x) = 4 - x^{2}

のグラフ、下を x 軸で囲まれた領域を R とする。この領域の図心を求めよ。

Solution解き方

The region is depicted in the following figure.

この領域を次の図に示す。

下向きに開く放物線 f(x)=4−x² と x 軸に囲まれた領域。x 軸との交点は x=−2、2 である。 — Figure 6.71図 6.71
We can use the symmetry principle to help find the centroid of a symmetric region.
対称性の原理を使うと、対称な領域の図心を求めやすくなる。

The region is symmetric with respect to the y-axis. Therefore, the x-coordinate of the centroid is zero. We need only calculate

\bar{y} .

Once again, for the sake of convenience, assume

ρ = 1 .

この領域は y 軸に関して対称なので、図心の x 座標は0である。計算すべきなのは

\bar{y}

だけでよい。今回も、計算を簡単にするため

ρ = 1

とする。

First, we calculate the total mass:

まず、全質量を計算する。

\begin{matrix} m & = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = \int_{−2}^{2} (4 - x^{2}) d x \\ = {[4 x - \frac{x^{3}}{3}] |}_{−2}^{2} = \frac{32}{3} . \end{matrix}

Next, we calculate the moments. We only need

M_{x} :

次にモーメントを計算する。必要なのは

M_{x} :

だけである。

\begin{matrix} M_{x} & = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{−2}^{2} {[4 - x^{2}]}^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{−2}^{2} (16 - 8 x^{2} + x^{4}) d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{8 x^{3}}{3} + 16 x] |}_{−2}^{2} = \frac{256}{15} . \end{matrix}

Then we have

すると、次の式が得られる。

\bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{256}{15} \cdot \frac{3}{32} = \frac{8}{5} .

\bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{256}{15} \cdot \frac{3}{32} = \frac{8}{5}

The centroid of the region is

(0, 8 / 5) .

この領域の図心は

(0, 8 / 5)

である。

Project探究課題

The Grand Canyon Skywalkグランドキャニオン・スカイウォーク

The Grand Canyon Skywalk opened to the public on March 28, 2007. This engineering marvel is a horseshoe-shaped observation platform suspended 4000 ft above the Colorado River on the West Rim of the Grand Canyon. Its crystal-clear glass floor allows stunning views of the canyon below (see the following figure).

グランドキャニオン・スカイウォークは、2007年3月28日に一般公開された。グランドキャニオン西縁にある、馬蹄形の展望デッキである。下を流れるコロラド川から約4000フィートの高さにあり、透明なガラスの床越しに峡谷を見下ろせる。次の図を見よう。

Image omitted because its reuse rights could not be verified.権利の確認ができないため画像を割愛。

Figure 6.72図 6.72

The Grand Canyon Skywalk offers magnificent views of the canyon. (credit: 10da_ralta, Wikimedia Commons)

グランドキャニオン・スカイウォークからは、峡谷を見渡せる。（写真：10da_ralta、Wikimedia Commons）

The Skywalk is a cantilever design, meaning that the observation platform extends over the rim of the canyon, with no visible means of support below it. Despite the lack of visible support posts or struts, cantilever structures are engineered to be very stable and the Skywalk is no exception. The observation platform is attached firmly to support posts that extend 46 ft down into bedrock. The structure was built to withstand 100-mph winds and an 8.0-magnitude earthquake within 50 mi, and is capable of supporting more than 70,000,000 lb.

英語のヒント

スカイウォークは片持ち構造で、展望デッキの下に支柱を立てず、峡谷の縁から張り出している。下からの支えが見えなくても、片持ち構造は十分な安定性をもつように設計できる。この展望デッキも、岩盤内へ46フィート伸びる支持部材にしっかり固定されている。時速100マイルの風や、50マイル以内で起こるマグニチュード8.0の地震に耐えるように設計され、7000万ポンドを超える荷重を支えられるとされる。

One factor affecting the stability of the Skywalk is the center of gravity of the structure. We are going to calculate the center of gravity of the Skywalk, and examine how the center of gravity changes when tourists walk out onto the observation platform.

スカイウォークの安定性に関わる要因の1つが、構造全体の重心である。ここではスカイウォークの重心を求め、観光客が展望デッキに出たときに、重心がどう変わるか調べる。

The observation platform is U-shaped. The legs of the U are 10 ft wide and begin on land, under the visitors’ center, 48 ft from the edge of the canyon. The platform extends 70 ft over the edge of the canyon.

展望デッキは U 字形である。U 字の2本の脚は幅10フィートで、峡谷の縁から48フィート内側の、ビジターセンターの下まで伸びている。峡谷側へは、縁から70フィート張り出している。

To calculate the center of mass of the structure, we treat it as a lamina and use a two-dimensional region in the xy-plane to represent the platform. We begin by dividing the region into three subregions so we can consider each subregion separately. The first region, denoted

R_{1},

consists of the curved part of the U. We model

R_{1}

as a semicircular annulus, with inner radius 25 ft and outer radius 35 ft, centered at the origin (see the following figure).

重心を求めるために、デッキを薄板として扱い、xy 平面上の領域で表す。この領域を3つに分け、それぞれを別々に考える。最初の領域

R_{1}

は U 字の曲がった部分である。

R_{1}

を、原点中心、内半径25フィート、外半径35フィートの半円環で近似する。次の図を見よう。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 6.73図 6.73

We model the Skywalk with three sub-regions.

スカイウォークを3つの領域でモデル化する。

The legs of the platform, extending 35 ft between

R_{1}

and the canyon wall, comprise the second sub-region,

R_{2} .

Last, the ends of the legs, which extend 48 ft under the visitor center, comprise the third sub-region,

R_{3} .

Assume the density of the lamina is constant and assume the total weight of the platform is 1,200,000 lb (not including the weight of the visitor center; we will consider that later). Use

g = 32 {ft/sec}^{2} .

英語のヒント

R_{1}

から峡谷の縁まで35フィート伸びる2本の脚の部分を、領域

R_{2}

とする。ビジターセンターの下へ48フィート伸びる部分を、領域

R_{3}

とする。薄板の面密度は一定で、デッキ全体の重さは1,200,000ポンドと仮定する。ビジターセンターの重さは、ここでは含めず後で考える。重力加速度には

g = 32 {ft/sec}^{2}

を使う。

Compute the area of each of the three sub-regions. Note that the areas of regions $R_{2}$ and $R_{3}$ should include the areas of the legs only, not the open space between them. Round answers to the nearest square foot.
3つの領域それぞれの面積を求め、最も近い整数の平方フィートに丸めよ。 $R_{2}$ と $R_{3}$ では、2本の脚の部分だけを数え、その間の空間は含めないこと。
Determine the mass associated with each of the three sub-regions.
3つの領域それぞれに対応する質量を求めよ。
Calculate the center of mass of each of the three sub-regions.
3つの領域それぞれの重心を求めよ。
Now, treat each of the three sub-regions as a point mass located at the center of mass of the corresponding sub-region. Using this representation, calculate the center of mass of the entire platform.
各領域を、その重心に質量を集中させた質点として扱い、デッキ全体の重心を求めよ。
Assume the visitor center weighs 2,200,000 lb, with a center of mass corresponding to the center of mass of $R_{3} .$ Treating the visitor center as a point mass, recalculate the center of mass of the system. How does the center of mass change?
ビジターセンターの重さを2,200,000ポンド、その重心を $R_{3}$ の重心と同じ位置と仮定する。ビジターセンターを質点として加え、系全体の重心を求め直せ。重心はどう変わるか。
Although the Skywalk was built to limit the number of people on the observation platform to 120, the platform is capable of supporting up to 800 people weighing 200 lb each. If all 800 people were allowed on the platform, and all of them went to the farthest end of the platform, how would the center of gravity of the system be affected? (Include the visitor center in the calculations and represent the people by a point mass located at the farthest edge of the platform, 70 ft from the canyon wall.)
スカイウォークの展望デッキの定員は120人だが、1人200ポンドの人を800人まで支えられるとする。もし800人全員が入場し、最も遠い先端へ移動したら、系の重心はどう変わるか。ビジターセンターも計算に含め、観光客は峡谷の縁から70フィート先にある1つの質点として扱うこと。