第1章関数とグラフ

1.5 Exponential and Logarithmic Functions1.5　指数関数と対数関数

Learning Objectives学習目標

Identify the form of an exponential function.
指数関数の形を見分ける。
Explain the difference between the graphs of $x^{b}$ and $b^{x} .$
$x^{b}$ と $b^{x}$ のグラフの違いを説明する。
Recognize the significance of the number $e .$
数 $e$ の意味と重要性を理解する。
Identify the form of a logarithmic function.
対数関数の形を見分ける。
Explain the relationship between exponential and logarithmic functions.
指数関数と対数関数の関係を説明する。
Describe how to calculate a logarithm to a different base.
異なる底の対数を計算する方法を説明する。
Identify the hyperbolic functions, their graphs, and basic identities.
双曲線関数、そのグラフ、基本的な恒等式を理解する。

In this section we examine exponential and logarithmic functions. We use the properties of these functions to solve equations involving exponential or logarithmic terms, and we study the meaning and importance of the number

e .

We also define hyperbolic and inverse hyperbolic functions, which involve combinations of exponential and logarithmic functions. (Note that we present alternative definitions of exponential and logarithmic functions in the chapter Applications of Integrations, and prove that the functions have the same properties with either definition.)

英語のヒント

この節では指数関数と対数関数を調べる。それらの性質を使って、指数や対数を含む方程式を解き、数

e

の意味と重要性を学ぶ。また、指数関数と対数関数の組合せからなる双曲線関数と逆双曲線関数も定義する。「積分の応用」の章では、指数関数と対数関数の別の定義を示し、どちらの定義からも同じ性質が得られることを証明する。

Exponential Functions指数関数

Exponential functions arise in many applications. One common example is population growth.

指数関数は多くの応用に現れる。よくある例の1つが人口の増加である。

For example, if a population starts with

P_{0}

individuals and then grows at an annual rate of

2 %,

its population after 1 year is

たとえば、初めの人口が

P_{0}

人で、年に

2 %

の割合で増えるなら、1年後の人口は次のようになる。

P (1) = P_{0} + 0.02 P_{0} = P_{0} (1 + 0.02) = P_{0} (1.02) .

P (1) = P_{0} + 0.02 P_{0} = P_{0} (1 + 0.02) = P_{0} (1.02)

Its population after 2 years is

2年後の人口は、次のようになる。

P (2) = P (1) + 0.02 P (1) = P (1) (1.02) = P_{0} {(1.02)}^{2} .

P (2) = P (1) + 0.02 P (1) = P (1) (1.02) = P_{0} {(1.02)}^{2}

In general, its population after

t

years is

一般に、

t

年後の人口は次のようになる。

P (t) = P_{0} {(1.02)}^{t},

P (t) = P_{0} {(1.02)}^{t}

which is an exponential function. More generally, any function of the form

f (x) = b^{x},

where

b > 0, b \neq 1,

is an exponential function with base

b

and exponent x. Exponential functions have constant bases and variable exponents. Note that a function of the form

f (x) = x^{b}

for some constant

b

is not an exponential function but a power function.

英語のヒント

これは指数関数である。より一般に、

b > 0, b \neq 1

を満たす

f (x) = b^{x}

という形の関数を、底が

b

、指数がxの指数関数という。指数関数では、底は定数で、指数が変数となる。定数

b

に対する

f (x) = x^{b}

という形の関数は、指数関数ではなくべき関数であることに注意しよう。

To see the difference between an exponential function and a power function, we compare the functions

y = x^{2}

and

y = 2^{x} .

In Table 1.10, we see that both

2^{x}

and

x^{2}

approach infinity as

x \to \infty .

Eventually, however,

2^{x}

becomes larger than

x^{2}

and grows more rapidly as

x \to \infty .

In the opposite direction, as

x \to − \infty, x^{2} \to \infty,

whereas

2^{x} \to 0 .

The line

y = 0

is a horizontal asymptote for

y = 2^{x} .

英語のヒント

指数関数とべき関数の違いを見るため、

y = x^{2}

と

y = 2^{x}

を比較しよう。表1.10から、

x \to \infty

のとき、

2^{x}

も

x^{2}

も無限大に近づくことがわかる。しかし、十分先では

2^{x}

が

x^{2}

を上回り、

x \to \infty

に向かうにつれてより速く増える。逆の向きでは、

x \to − \infty

x^{2} \to \infty

となる一方、

2^{x} \to 0

となる。直線

y = 0

は

y = 2^{x}

の水平漸近線である。

Values of $x^{2}$ and $2^{x}$ $x^{2}$ と $2^{x}$ の値

Table 1.10表 1.10
$x$	$−3$	$−2$	$−1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$
$2^{x}$	$1 / 8$	$1 / 4$	$1 / 2$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$

In Figure 1.43, we graph both

y = x^{2}

and

y = 2^{x}

to show how the graphs differ.

図1.43では、

y = x^{2}

と

y = 2^{x}

を同じ座標上に描き、その違いを示す。

x軸は−10から10、y軸は0から50。y = x²は原点まで減少し、その後増加する放物線。y = 2ˣはx軸の少し上から増加し、右へ十分進むとx²より急速に大きくなる曲線である。 — Figure 1.43図 1.43
Both $2^{x}$ and $x^{2}$ approach infinity as $x \to \infty,$ but $2^{x}$ grows more rapidly than $x^{2} .$ As $x \to − \infty, x^{2} \to \infty,$ whereas $2^{x} \to 0 .$
$x \to \infty$ のとき、 $2^{x}$ も $x^{2}$ も無限大に近づくが、 $2^{x}$ のほうが $x^{2}$ より速く増える。逆に、 $x \to − \infty$ $x^{2} \to \infty$ となる一方、 $2^{x} \to 0$ となる。

Evaluating Exponential Functions指数関数の値を求める

Recall the properties of exponents: If

x

is a positive integer, then we define

b^{x} = b \cdot b \dots b

(with

x

factors of

b) .

x

is a negative integer, then

x = − y

for some positive integer

y,

and we define

b^{x} = b^{− y} = 1 / b^{y} .

Also,

b^{0}

is defined to be

1 .

x

is a rational number, then

x = p / q,

where

p

and

q

are integers and

b^{x} = b^{p / q} = \sqrt[q]{b^{p}} .

For example,

9^{3 / 2} = \sqrt{9^{3}} = 27 .

However, how is

b^{x}

defined if

x

is an irrational number? For example, what do we mean by

2^{\sqrt{2}} ?

This is too complex a question for us to answer fully right now; however, we can make an approximation. In Table 1.11, we list some rational numbers approaching

\sqrt{2},

and the values of

2^{x}

for each rational number

x

are presented as well. We claim that if we choose rational numbers

x

getting closer and closer to

\sqrt{2},

the values of

2^{x}

get closer and closer to some number

L .

We define that number

L

to be

2^{\sqrt{2}} .

英語のヒント

指数の性質を思い出そう。

x

が正の整数なら、

b^{x} = b \cdot b \dots b

と定義する。つまり、

b)

を

x

個掛け合わせる。

x

が負の整数なら、正の整数

y

を使って

x = − y

と書き、

b^{x} = b^{− y} = 1 / b^{y}

と定義する。また、

b^{0}

は

1 .

と定義する。

x

が有理数なら、整数

p

、

q

を使って

x = p / q

と書き、

b^{x} = b^{p / q} = \sqrt[q]{b^{p}}

と定める。たとえば

9^{3 / 2} = \sqrt{9^{3}} = 27

である。では、

x

が無理数のとき、

b^{x}

はどう定義するのだろうか。たとえば、

2^{\sqrt{2}}

にはどのような意味があるのだろうか。今の段階で完全に答えるには複雑すぎるが、近似はできる。表1.11には、

\sqrt{2}

に近づく有理数を並べ、各有理数

x

に対する

2^{x}

の値を示した。

\sqrt{2}

にますます近い有理数

x

を選ぶと、

2^{x}

の値はある数

L

に近づく。この数

L

を、

2^{\sqrt{2}} .

と定義する。

Values of $2^{x}$ for a List of Rational Numbers Approximating $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ を近似する有理数に対する $2^{x}$ の値

Table 1.11表 1.11
$x$	$1.4$	$1.41$	$1.414$	$1.4142$	$1.41421$	$1.414213$
$2^{x}$	$2.639$	$2.65737$	$2.66475$	$2.665119$	$2.665138$	$2.665143$

Example 1.33例題 1.33

Bacterial Growth細菌の増殖

Suppose a particular population of bacteria is known to double in size every

4

hours. If a culture starts with

1000

bacteria, the number of bacteria after

4

hours is

n (4) = 1000 \cdot 2 .

The number of bacteria after

8

hours is

n (8) = n (4) \cdot 2 = 1000 \cdot 2^{2} .

In general, the number of bacteria after

4 m

hours is

n (4 m) = 1000 \cdot 2^{m} .

Letting

t = 4 m,

we see that the number of bacteria after

t

hours is

n (t) = 1000 \cdot 2^{t / 4} .

Find the number of bacteria after

6

hours,

10

hours, and

24

hours.

英語のヒント

ある細菌の集団は、

4

時間ごとに個数が2倍になることがわかっているとする。

1000

個から培養を始めると、

4

時間後の個数は

n (4) = 1000 \cdot 2

となる。

8

時間後は

n (8) = n (4) \cdot 2 = 1000 \cdot 2^{2}

である。一般に、

4 m

時間後の個数は

n (4 m) = 1000 \cdot 2^{m}

となる。

t = 4 m

とおけば、

t

時間後の個数は

n (t) = 1000 \cdot 2^{t / 4}

とわかる。

6

時間後、

10

時間後、

24

時間後の細菌の個数を求めよ。

Solution解き方

The number of bacteria after 6 hours is given by

n (6) = 1000 \cdot 2^{6 / 4} \approx 2828

bacteria. The number of bacteria after

10

hours is given by

n (10) = 1000 \cdot 2^{10 / 4} \approx 5657

bacteria. The number of bacteria after

24

hours is given by

n (24) = 1000 \cdot 2^{6} = 64,000

bacteria.

6時間後は

n (6) = 1000 \cdot 2^{6 / 4} \approx 2828

個、

10

時間後は

n (10) = 1000 \cdot 2^{10 / 4} \approx 5657

個、

24

時間後は

n (24) = 1000 \cdot 2^{6} = 64,000

個となる。

第1章関数とグラフ

1.5 Exponential and Logarithmic Functions1.5 指数関数と対数関数

Learning Objectives学習目標

Exponential Functions指数関数

Values of x2 and 2xx2と2xの値

Evaluating Exponential Functions指数関数の値を求める

Values of 2x for a List of Rational Numbers Approximating 22を近似する有理数に対する2xの値

Bacterial Growth細菌の増殖

1.5 Exponential and Logarithmic Functions1.5　指数関数と対数関数

Values of $x^{2}$ and $2^{x}$ $x^{2}$ と $2^{x}$ の値

Values of $2^{x}$ for a List of Rational Numbers Approximating $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ を近似する有理数に対する $2^{x}$ の値