第1章関数とグラフ

Finding a Function’s Inverse逆関数を求める

We can now consider one-to-one functions and show how to find their inverses. Recall that a function maps elements in the domain of

f

to elements in the range of

f .

The inverse function maps each element from the range of

f

back to its corresponding element from the domain of

f .

Therefore, to find the inverse function of a one-to-one function

f,

given any

y

in the range of

f,

we need to determine which

x

in the domain of

f

satisfies

f (x) = y .

Since

f

is one-to-one, there is exactly one such value

x .

We can find that value

x

by solving the equation

f (x) = y

for

x .

Doing so, we are able to write

x

as a function of

y

where the domain of this function is the range of

f

and the range of this new function is the domain of

f .

Consequently, this function is the inverse of

f,

and we write

x = f^{−1} (y) .

Since we typically use the variable

x

to denote the independent variable and

y

to denote the dependent variable, we often interchange the roles of

x

and

y,

and write

y = f^{−1} (x) .

Representing the inverse function in this way is also helpful later when we graph a function

f

and its inverse

f^{−1}

on the same axes.

英語のヒント

ここからは一対一の関数を扱い、その逆関数の求め方を示す。関数は

f

の定義域の要素を

f

の値域の要素へ対応させる。逆関数は、

f

の値域の各要素を、

f

の定義域の対応する要素へ戻す。したがって、一対一の関数

f

の逆関数を求めるには、

f

の値域から任意の

y

をとり、

f

の定義域のどの

x

が

f (x) = y

を満たすかを調べる。

f

は一対一なので、そのような

x

はちょうど1つ存在する。方程式

f (x) = y

を

x

について解けば、その値

x

が求まる。これにより、

y

の関数として

x

を表せる。この新しい関数の定義域は

f

の値域、値域は

f

の定義域である。したがって、この関数は

f

の逆関数であり、

x = f^{−1} (y)

と書く。通常は独立変数に

x

、従属変数に

y

を使うため、

x

と

y

の役割を入れ替えて

y = f^{−1} (x)

と書くことが多い。この表し方は、後で関数

f

とその逆関数

f^{−1}

を同じ座標軸に描くときにも便利である。

Example 1.29例題 1.29

Finding an Inverse Function逆関数を求める

Find the inverse for the function

f (x) = 3 x - 4 .

State the domain and range of the inverse function. Verify that

f^{−1} (f (x)) = x .

関数

f (x) = 3 x - 4

の逆関数を求め、その定義域と値域を述べよ。また、

f^{−1} (f (x)) = x

を確かめよ。

Solution解き方

Follow the steps outlined in the strategy.

先ほどの手順に従う。

Step 1. If

y = 3 x - 4,

then

3 x = y + 4

and

x = \frac{1}{3} y + \frac{4}{3} .

手順1。

y = 3 x - 4

なら、

3 x = y + 4

、したがって

x = \frac{1}{3} y + \frac{4}{3}

である。

Step 2. Rewrite as

y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}

and let

y = f^{−1} (x) .

手順2。

y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}

と書き換え、

y = f^{−1} (x)

とおく。

Therefore,

f^{−1} (x) = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} .

したがって、

f^{−1} (x) = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}

である。

Since the domain of

f

(− \infty, \infty),

the range of

f^{−1}

(− \infty, \infty) .

Since the range of

f

(− \infty, \infty),

the domain of

f^{−1}

(− \infty, \infty) .

f

の定義域が

(− \infty, \infty)

なので、

f^{−1}

の値域は

(− \infty, \infty)

である。また、

f

の値域が

(− \infty, \infty)

なので、

f^{−1}

の定義域は

(− \infty, \infty)

である。

You can verify that

f^{−1} (f (x)) = x

by writing

次の計算によって、

f^{−1} (f (x)) = x

を確かめられる。

f^{−1} (f (x)) = f^{−1} (3 x - 4) = \frac{1}{3} (3 x - 4) + \frac{4}{3} = x - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = x .

f^{−1} (f (x)) = f^{−1} (3 x - 4) = \frac{1}{3} (3 x - 4) + \frac{4}{3} = x - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = x

Note that for

f^{−1} (x)

to be the inverse of

f (x),

both

f^{−1} (f (x)) = x

and

f (f^{−1} (x)) = x

for all x in the domain of the inside function.

f^{−1} (x)

が

f (x)

の逆関数であるためには、

f^{−1} (f (x)) = x

と

f (f^{−1} (x)) = x

の両方が、それぞれ内側の関数の定義域内のすべてのxで成り立つ必要がある。

Graphing Inverse Functions逆関数のグラフを描く

Let’s consider the relationship between the graph of a function

f

and the graph of its inverse. Consider the graph of

f

shown in Figure 1.39 and a point

(a, b)

on the graph. Since

b = f (a),

then

f^{−1} (b) = a .

Therefore, when we graph

f^{−1},

the point

(b, a)

is on the graph. As a result, the graph of

f^{−1}

is a reflection of the graph of

f

about the line

y = x .

関数

f

のグラフと逆関数のグラフとの関係を考えよう。図1.39の

f

のグラフ上に点

(a, b)

をとる。

b = f (a)

なので、

f^{−1} (b) = a

である。したがって、

f^{−1}

のグラフには点

(b, a)

がある。この結果、

f^{−1}

のグラフは

f

のグラフを直線

y = x

について反転したものになる。

2つの図。第1の図にはy = f(x)が描かれ、xが増すほど急に増加する曲線の第1象限上に点(a, b)がある。第2の図には同じfのグラフに加え、逆関数y = f⁻¹(x)のグラフが描かれる。逆関数はxが増すにつれて緩やかに増える曲線で、点(b, a)を通る。点線の直線y = xが引かれ、2つの関数がこの直線について鏡映の関係にあることを示している。 — Figure 1.39図 1.39
(a) The graph of this function $f$ shows point $(a, b)$ on the graph of $f .$ (b) Since $(a, b)$ is on the graph of $f,$ the point $(b, a)$ is on the graph of $f^{−1} .$ The graph of $f^{−1}$ is a reflection of the graph of $f$ about the line $y = x .$
(a) 関数 $f$ の図で、点 $(a, b)$ は $f$ のグラフ上にある。(b) $(a, b)$ が $f$ のグラフ上にあるので、点 $(b, a)$ は $f^{−1}$ のグラフ上にある。 $f^{−1}$ のグラフは $f$ のグラフを直線 $y = x$ について反転したものである。

Example 1.30例題 1.30

Sketching Graphs of Inverse Functions逆関数のグラフを対称性から描く

For the graph of

f

in the following image, sketch a graph of

f^{−1}

by sketching the line

y = x

and using symmetry. Identify the domain and range of

f^{−1} .

f

のグラフに対し、直線

y = x

を引いて対称性を利用し、

f^{−1}

のグラフを描け。

f^{−1}

の定義域と値域も求めよ。

x軸は−2から2、y軸は0から2。f(x) = √(x + 2)は点(−2, 0)から始まり増加する曲線。x軸との交点は(−2, 0)、y軸との交点は約(0, 1.4)。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

Reflect the graph about the line

y = x .

The domain of

f^{−1}

[0, \infty) .

The range of

f^{−1}

[−2, \infty) .

By using the preceding strategy for finding inverse functions, we can verify that the inverse function is

f^{−1} (x) = x^{2} - 2,

as shown in the graph.

グラフを直線

y = x

について反転する。

f^{−1}

の定義域は

[0, \infty)

、

f^{−1}

の値域は

[−2, \infty)

である。先ほどの逆関数を求める手順を使うと、図の逆関数は

f^{−1} (x) = x^{2} - 2

と確かめられる。

x軸、y軸ともに−2から2。f(x) = √(x + 2)は点(−2, 0)から増加する曲線で、x軸との交点は(−2, 0)、y軸との交点は約(0, 1.4)。逆関数f⁻¹(x) = x² − 2はx ≥ 0の部分だけが描かれ、点(0, −2)から増加する。x軸との交点は約(1.4, 0)、y軸との交点は(0, −2)。点線の直線y = xを挟んで、2つのグラフは対称である。

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Restricting Domains定義域を制限する

As we have seen,

f (x) = x^{2}

does not have an inverse function because it is not one-to-one. However, we can choose a subset of the domain of

f

such that the function is one-to-one. This subset is called a restricted domain. By restricting the domain of

f,

we can define a new function

g

such that the domain of

g

is the restricted domain of

f

and

g (x) = f (x)

for all

x

in the domain of

g .

Then we can define an inverse function for

g

on that domain. For example, since

f (x) = x^{2}

is one-to-one on the interval

[0, \infty),

we can define a new function

g

such that the domain of

g

[0, \infty)

and

g (x) = x^{2}

for all

x

in its domain. Since

g

is a one-to-one function, it has an inverse function, given by the formula

g^{−1} (x) = \sqrt{x} .

On the other hand, the function

f (x) = x^{2}

is also one-to-one on the domain

(− \infty, 0] .

Therefore, we could also define a new function

h

such that the domain of

h

(− \infty, 0]

and

h (x) = x^{2}

for all

x

in the domain of

h .

Then

h

is a one-to-one function and must also have an inverse. Its inverse is given by the formula

h^{−1} (x) = − \sqrt{x}

(Figure 1.40).

英語のヒント

これまで見たように、

f (x) = x^{2}

は一対一ではないため逆関数を持たない。しかし、

f

の定義域の一部を選び、その範囲で一対一になるようにできる。この部分集合を、制限された定義域という。

f

の定義域を制限して、新しい関数

g

を定義する。

g

の定義域を、

f

の制限された定義域とし、

g

の定義域内のすべての

x

で

g (x) = f (x)

となるようにする。すると、その範囲で

g

の逆関数を定義できる。たとえば、

f (x) = x^{2}

は区間

[0, \infty)

で一対一なので、新しい関数

g

を定義できる。

g

の定義域を

[0, \infty)

とし、その中のすべての

x

で

g (x) = x^{2}

とする。

g

は一対一なので逆関数をもち、式は

g^{−1} (x) = \sqrt{x}

となる。別の取り方として、

f (x) = x^{2}

は定義域

(− \infty, 0]

でも一対一である。そこで、新しい関数

h

を定義し、

h

の定義域を

(− \infty, 0]

、

h

の定義域内のすべての

x

で

h (x) = x^{2}

とすることもできる。この

h

も一対一なので逆関数をもち、その式は

h^{−1} (x) = − \sqrt{x}

となる（図1.40）。

2つの図。座標軸の表示範囲はx、yともに−2から5。(a)のg(x) = x²はx ≥ 0に制限され、原点から増加し、xが大きいほど急になる。逆関数g⁻¹(x) = √xも原点から増加するが、増え方は次第に緩やかになる。(b)のh(x) = x²はx ≤ 0に制限され、原点へ向かって減少する。逆関数h⁻¹(x) = −√xは原点から右へ減少し、その下がり方は次第に緩やかになる。どちらの図でも、もとの関数と逆関数は点線の直線y = xについて対称である。 — Figure 1.40図 1.40
(a) For $g (x) = x^{2}$ restricted to $[0, \infty), g^{−1} (x) = \sqrt{x} .$ (b) For $h (x) = x^{2}$ restricted to $(− \infty, 0], h^{−1} (x) = − \sqrt{x} .$
(a) $g (x) = x^{2}$ の定義域を $[0, \infty)$ $g^{−1} (x) = \sqrt{x}$ となる。(b) $h (x) = x^{2}$ の定義域を $(− \infty, 0]$ $h^{−1} (x) = − \sqrt{x}$ となる。

Example 1.31例題 1.31

Restricting the Domain定義域を制限して逆関数を求める

Consider the function

f (x) = {(x + 1)}^{2} .

関数

f (x) = {(x + 1)}^{2}

を考えよ。

Sketch the graph of $f$ and use the horizontal line test to show that $f$ is not one-to-one.
$f$ のグラフを描き、水平線テストを使って $f$ が一対一でないことを示せ。
Show that $f$ is one-to-one on the restricted domain $[−1, \infty) .$ Determine the domain and range for the inverse of $f$ on this restricted domain and find a formula for $f^{−1} .$
$f$ が制限された定義域 $[−1, \infty)$ で一対一であることを示せ。この範囲に制限した $f$ の逆関数の定義域と値域を求め、 $f^{−1}$ の式を求めよ。

Solution解き方

The graph of $f$ is the graph of $y = x^{2}$ shifted left 1 unit. Since there exists a horizontal line intersecting the graph more than once, $f$ is not one-to-one.
$f$ のグラフは $y = x^{2}$ のグラフを左へ1移したものである。グラフと2回以上交わる水平線が存在するので、 $f$ は一対一ではない。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0
On the interval $[−1, \infty), f$ is one-to-one.
区間 $[−1, \infty)$ $f$ は一対一である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

The domain and range of $f^{−1}$ are given by the range and domain of $f,$ respectively. Therefore, the domain of $f^{−1}$ is $[0, \infty)$ and the range of $f^{−1}$ is $[−1, \infty) .$ To find a formula for $f^{−1},$ solve the equation $y = {(x + 1)}^{2}$ for $x .$ If $y = {(x + 1)}^{2},$ then $x = −1 \pm \sqrt{y} .$ Since we are restricting the domain to the interval where $x \geq −1,$ we need $\pm \sqrt{y} \geq 0 .$ Therefore, $x = −1 + \sqrt{y} .$ Interchanging $x$ and $y,$ we write $y = −1 + \sqrt{x}$ and conclude that $f^{−1} (x) = −1 + \sqrt{x} .$
$f^{−1}$ の定義域と値域は、それぞれ $f$ の値域と定義域になる。したがって、 $f^{−1}$ の定義域は $[0, \infty)$ 、 $f^{−1}$ の値域は $[−1, \infty)$ である。 $f^{−1}$ の式を求めるには、方程式 $y = {(x + 1)}^{2}$ を $x$ について解く。 $y = {(x + 1)}^{2}$ なら $x = −1 \pm \sqrt{y}$ である。定義域を $x \geq −1$ となる区間に制限しているので、 $\pm \sqrt{y} \geq 0$ でなければならない。したがって $x = −1 + \sqrt{y}$ を選ぶ。 $x$ と $y$ を入れ替えて $y = −1 + \sqrt{x}$ と書くと、 $f^{−1} (x) = −1 + \sqrt{x}$ が得られる。

Checkpoint 1.26確認問題 1.26

Consider

f (x) = 1 / x^{2}

restricted to the domain

(− \infty, 0) .

Verify that

f

is one-to-one on this domain. Determine the domain and range of the inverse of

f

and find a formula for

f^{−1} .

f (x) = 1 / x^{2}

の定義域を

(− \infty, 0)

に制限する。この範囲で

f

が一対一であることを確かめよ。

f

の逆関数の定義域と値域を求め、

f^{−1}

の式を求めよ。

Solution解き方

The domain of

f^{−1}

(0, \infty) .

The range of

f^{−1}

(− \infty, 0) .

The inverse function is given by the formula

f^{−1} (x) = −1 / \sqrt{x} .

f^{−1}

の定義域は

(0, \infty)

、

f^{−1}

の値域は

(− \infty, 0)

である。逆関数の式は

f^{−1} (x) = −1 / \sqrt{x}

となる。