第1章関数とグラフ

Transformations of Functions関数の変換

We have seen several cases in which we have added, subtracted, or multiplied constants to form variations of simple functions. In the previous example, for instance, we subtracted 2 from the argument of the function

y = x^{2}

to get the function

f (x) = {(x - 2)}^{2} .

This subtraction represents a shift of the function

y = x^{2}

two units to the right. A shift, horizontally or vertically, is a type of transformation of a function. Other transformations include horizontal and vertical scalings, and reflections about the axes.

英語のヒント

ここまでにも、定数を足す、引く、掛けることで、簡単な関数を変形した例がいくつかあった。たとえば先ほどは、関数

y = x^{2}

の引数から2を引いて、関数

f (x) = {(x - 2)}^{2}

を作った。この引き算は、

y = x^{2}

のグラフを右に2だけ平行移動することを表す。水平方向・垂直方向の平行移動は、関数の変換の1種である。ほかにも、水平方向・垂直方向の拡大縮小や、座標軸についての対称移動がある。

A vertical shift of a function occurs if we add or subtract the same constant to each output

y .

For

c > 0,

the graph of

f (x) + c

is a shift of the graph of

f (x)

c

units, whereas the graph of

f (x) - c

is a shift of the graph of

f (x)

down

c

units. For example, the graph of the function

f (x) = x^{2} + 4

is the graph of

y = x^{2}

shifted up

4

units; the graph of the function

f (x) = x^{2} - 4

is the graph of

y = x^{2}

shifted down

4

units (Figure 1.23).

英語のヒント

関数の出力

y

すべてに同じ定数を足す、または引くと、グラフは垂直方向に平行移動する。

c > 0

に対し、

f (x) + c

のグラフは

f (x)

のグラフを上に

c

だけ移したものとなる。一方、

f (x) - c

のグラフは

f (x)

のグラフを下に

c

だけ移したものとなる。たとえば、

f (x) = x^{2} + 4

のグラフは

y = x^{2}

を上に

4

だけ平行移動したもの、

f (x) = x^{2} - 4

のグラフは

y = x^{2}

を下に

4

だけ平行移動したものである（図1.23）。

2つのグラフ。(a)はx軸が−4から4、y軸が−1から10。f(x) = x²は原点まで減少し、その後増加する放物線。f(x) = x² + 4は(0, 4)まで減少し、その後増加する。両者の形は同じで、後者は前者を上に4だけ移したものである。(b)はx軸が−4から4、y軸が−5から6。f(x) = x²とf(x) = x² − 4が描かれている。後者は(0, −4)まで減少し、その後増加する放物線で、前者を下に4だけ平行移動したものである。 — Figure 1.23図 1.23
(a) For $c > 0,$ the graph of $y = f (x) + c$ is a vertical shift up $c$ units of the graph of $y = f (x) .$ (b) For $c > 0,$ the graph of $y = f (x) - c$ is a vertical shift down $c$ units of the graph of $y = f (x) .$
(a) $c > 0$ のとき、 $y = f (x) + c$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを上に $c$ だけ平行移動したものである。(b) $c > 0$ のとき、 $y = f (x) - c$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを下に $c$ だけ平行移動したものである。

A horizontal shift of a function occurs if we add or subtract the same constant to each input

x .

For

c > 0,

the graph of

f (x + c)

is a shift of the graph of

f (x)

to the left

c

units; the graph of

f (x - c)

is a shift of the graph of

f (x)

to the right

c

units. Why does the graph shift left when adding a constant and shift right when subtracting a constant? To answer this question, let’s look at an example.

関数の入力

x

すべてに同じ定数を足す、または引くと、グラフは水平方向に平行移動する。

c > 0

に対して、

f (x + c)

のグラフは

f (x)

のグラフを左に

c

だけ移したもの、

f (x - c)

のグラフは

f (x)

のグラフを右に

c

だけ移したものとなる。定数を足すと左へ、引くと右へ動くのはなぜだろうか。例で考えてみよう。

Consider the function

f (x) = | x + 3 |

and evaluate this function at

x - 3 .

Since

f (x - 3) = | x |

and

x - 3 < x,

the graph of

f (x) = | x + 3 |

is the graph of

y = | x |

shifted left 3 units. Similarly, the graph of

f (x) = | x - 3 |

is the graph of

y = | x |

shifted right

3

units (Figure 1.24).

関数

f (x) = | x + 3 |

を考え、

x - 3

での値を求める。

f (x - 3) = | x |

かつ

x - 3 < x

なので、

f (x) = | x + 3 |

のグラフは

y = | x |

のグラフを左に3だけ平行移動したものになる。同様に、

f (x) = | x - 3 |

のグラフは

y = | x |

のグラフを右に

3

だけ移したものである（図1.24）。

2つのグラフ。(a)はx軸が−8から5、y軸が−3から5。f(x) = |x|は原点まで直線的に減少し、その後直線的に増加するV字形。f(x) = |x + 3|も同じ形で、(−3, 0)まで減少してから増加し、前者を左に3だけ移したものである。(b)はx軸が−5から8、y軸が−3から5。f(x) = |x|と、それを右に3だけ移したf(x) = |x − 3|が描かれる。後者は(3, 0)まで直線的に減少し、その後直線的に増加する。 — Figure 1.24図 1.24
(a) For $c > 0,$ the graph of $y = f (x + c)$ is a horizontal shift left $c$ units of the graph of $y = f (x) .$ (b) For $c > 0,$ the graph of $y = f (x - c)$ is a horizontal shift right $c$ units of the graph of $y = f (x) .$
(a) $c > 0$ のとき、 $y = f (x + c)$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを左に $c$ だけ平行移動したものである。(b) $c > 0$ のとき、 $y = f (x - c)$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを右に $c$ だけ平行移動したものである。

A vertical scaling of a graph occurs if we multiply all outputs

y

of a function by the same positive constant. For

c > 0,

the graph of the function

c f (x)

is the graph of

f (x)

scaled vertically by a factor of

c .

c > 1,

the values of the outputs for the function

c f (x)

are larger than the values of the outputs for the function

f (x);

therefore, the graph has been stretched vertically. If

0 < c < 1,

then the outputs of the function

c f (x)

are smaller, so the graph has been compressed. For example, the graph of the function

f (x) = 3 x^{2}

is the graph of

y = x^{2}

stretched vertically by a factor of 3, whereas the graph of

f (x) = x^{2} / 3

is the graph of

y = x^{2}

compressed vertically by a factor of

3

(Figure 1.25).

英語のヒント

関数の出力

y

すべてに同じ正の定数を掛けると、グラフは垂直方向に拡大・縮小される。

c > 0

のとき、

c f (x)

のグラフは

f (x)

のグラフの縦座標を

c

倍したものである。

c > 1

なら、

c f (x)

の出力は

f (x)

の出力より絶対値が大きくなり、グラフは垂直方向に引き伸ばされる。

0 < c < 1

なら、

c f (x)

の出力の絶対値は小さくなり、グラフは圧縮される。たとえば、

f (x) = 3 x^{2}

のグラフは

y = x^{2}

を垂直方向に3倍に伸ばしたもの、

f (x) = x^{2} / 3

のグラフは

y = x^{2}

を垂直方向に

3

分の1に縮めたものである（図1.25）。

2つのグラフ。(a)はx軸が−3から3、y軸が−2から9。f(x) = x²とf(x) = 3x²は、どちらも原点まで減少してから増加する上向きの放物線で、後者は前者を縦に3倍に伸ばしたもの。原点から右へ進むと、後者のほうが速く増加する。(b)はx軸が−4から4、y軸が−2から9。f(x) = x²とf(x) = x²/3は同様の放物線で、後者は前者を縦に1/3に縮めたもの。後者の増え方は緩やかである。 — Figure 1.25図 1.25
(a) If $c > 1,$ the graph of $y = c f (x)$ is a vertical stretch of the graph of $y = f (x) .$ (b) If $0 < c < 1,$ the graph of $y = c f (x)$ is a vertical compression of the graph of $y = f (x) .$
(a) $c > 1$ なら、 $y = c f (x)$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを垂直方向に伸ばしたものである。(b) $0 < c < 1$ なら、 $y = c f (x)$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを垂直方向に縮めたものである。

The horizontal scaling of a function occurs if we multiply the inputs

x

by the same positive constant. For

c > 0,

the graph of the function

f (c x)

is the graph of

f (x)

scaled horizontally by a factor of

c .

c > 1,

the graph of

f (c x)

is the graph of

f (x)

compressed horizontally. If

0 < c < 1,

the graph of

f (c x)

is the graph of

f (x)

stretched horizontally. For example, consider the function

f (x) = \sqrt{2 x}

and evaluate

f

x / 2 .

Since

f (x / 2) = \sqrt{x},

the graph of

f (x) = \sqrt{2 x}

is the graph of

y = \sqrt{x}

compressed horizontally. The graph of

y = \sqrt{x / 2}

is a horizontal stretch of the graph of

y = \sqrt{x}

(Figure 1.26).

関数の入力

x

に同じ正の定数を掛けると、グラフは水平方向に拡大・縮小される。

c > 0

のとき、

f (c x)

のグラフは

f (x)

のグラフの横座標を

c

分の1倍したものである。

c > 1

なら、

f (c x)

のグラフは

f (x)

のグラフを水平方向に縮めたものになる。

0 < c < 1

なら、

f (c x)

のグラフは

f (x)

のグラフを水平方向に伸ばしたものになる。たとえば関数

f (x) = \sqrt{2 x}

を考え、

x / 2

における

f

の値を求めよう。

f (x / 2) = \sqrt{x}

なので、

f (x) = \sqrt{2 x}

のグラフは

y = \sqrt{x}

のグラフを水平方向に縮めたものになる。一方、

y = \sqrt{x / 2}

のグラフは

y = \sqrt{x}

のグラフを水平方向に伸ばしたものである（図1.26）。

2つのグラフ。どちらもx軸が−2から4、y軸が−2から5。(a)のf(x) = √xとf(x) = √(2x)はどちらも原点から始まって増加し、後者のほうが速く増える。(b)のf(x) = √xとf(x) = √(x/2)も原点から始まって増加するが、後者のほうが緩やかに増える。 — Figure 1.26図 1.26
(a) If $c > 1,$ the graph of $y = f (c x)$ is a horizontal compression of the graph of $y = f (x) .$ (b) If $0 < c < 1,$ the graph of $y = f (c x)$ is a horizontal stretch of the graph of $y = f (x) .$
(a) $c > 1$ なら、 $y = f (c x)$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを水平方向に縮めたものである。(b) $0 < c < 1$ なら、 $y = f (c x)$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを水平方向に伸ばしたものである。

We have explored what happens to the graph of a function

f

when we multiply

f

by a constant

c > 0

to get a new function

c f (x) .

We have also discussed what happens to the graph of a function

f

when we multiply the independent variable

x

c > 0

to get a new function

f (c x) .

However, we have not addressed what happens to the graph of the function if the constant

c

is negative. If we have a constant

c < 0,

we can write c as a positive number multiplied by

−1;

but, what kind of transformation do we get when we multiply the function or its argument by

−1 ?

When we multiply all the outputs by

−1,

we get a reflection about the

x

-axis. When we multiply all inputs by

−1,

we get a reflection about the

y

-axis. For example, the graph of

f (x) = − (x^{3} + 1)

is the graph of

y = (x^{3} + 1)

reflected about the

x

-axis. The graph of

f (x) = {(− x)}^{3} + 1

is the graph of

y = x^{3} + 1

reflected about the

y

-axis (Figure 1.27).

英語のヒント

関数

f

に対し、

f

に定数

c > 0

を掛けて新しい関数

c f (x)

を作るとグラフがどう変わるかを調べた。また、関数

f

の独立変数

x

に

c > 0

を掛けて新しい関数

f (c x)

を作った場合も調べた。しかし、定数

c

が負の場合はまだ扱っていない。

c < 0

なら、cは正の数に

−1

を掛けたものとして書ける。では、関数そのもの、あるいは引数に

−1

を掛けると、どのような変換になるだろうか。出力すべてに

−1

を掛けると、

x

軸についての対称移動となる。入力すべてに

−1

を掛けると、

y

軸についての対称移動となる。たとえば、

f (x) = − (x^{3} + 1)

のグラフは

y = (x^{3} + 1)

のグラフを

x

軸について反転したもの、

f (x) = {(− x)}^{3} + 1

のグラフは

y = x^{3} + 1

のグラフを

y

軸について反転したものである（図1.27）。

2つのグラフ。どちらもx軸が−3から3、y軸が−5から6。(a)のf(x) = x³ + 1は増加する曲線で、x軸との交点は(−1, 0)、y軸との交点は(0, 1)。f(x) = −(x³ + 1)はそのx軸対称の曲線で減少し、x軸との交点は(−1, 0)、y軸との交点は(0, −1)。(b)のf(x) = x³ + 1とf(x) = (−x)³ + 1はy軸について対称である。後者は減少し、x軸との交点は(1, 0)、y軸との交点は(0, 1)。同じxで見ると、前者の上がる率と後者の下がる率の大きさは等しい。 — Figure 1.27図 1.27
(a) The graph of $y = − f (x)$ is the graph of $y = f (x)$ reflected about the $x$ -axis. (b) The graph of $y = f (− x)$ is the graph of $y = f (x)$ reflected about the
$y$ -axis.
(a) $y = − f (x)$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを $x$ 軸について反転したものである。(b) $y = f (− x)$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを $y$ 軸について反転したものである。

If the graph of a function consists of more than one transformation of another graph, it is important to transform the graph in the correct order. Given a function

f (x),

the graph of the related function

y = c f (a (x + b)) + d

can be obtained from the graph of

y = f (x)

by performing the transformations in the following order.

英語のヒント

別のグラフに複数の変換を施して関数のグラフを作るときは、変換の順序が重要である。関数

f (x)

が与えられると、関連する関数

y = c f (a (x + b)) + d

のグラフは、

y = f (x)

のグラフに次の順番で変換を施して得られる。

Horizontal scaling of the graph of $y = f (x)$ by a factor of $\frac{1}{| a |}$ If $a < 0,$ reflect the graph about the $y$ -axis.
$y = f (x)$ のグラフの横座標を $\frac{1}{| a |}$ 倍する。 $a < 0$ なら、さらに $y$ 軸について反転する。
Horizontal shift of the graph of $y = f (a x)$ If $b > 0,$ shift left. If $b < 0,$ shift right.
$y = f (a x)$ のグラフを水平方向に平行移動する。 $b > 0$ なら左へb、 $b < 0$ なら右へ|b|だけ移す。
Vertical scaling of the graph of $y = f (a (x + b))$ by a factor of $| c | .$ If $c < 0,$ reflect the graph about the $x$ -axis.
$y = f (a (x + b))$ のグラフを垂直方向に $| c |$ 倍する。 $c < 0$ なら、さらに $x$ 軸について反転する。
Vertical shift of the graph of $y = c f (a (x + b)) .$ If $d > 0,$ shift up. If $d < 0,$ shift down.
$y = c f (a (x + b))$ のグラフを垂直方向に平行移動する。 $d > 0$ なら上へd、 $d < 0$ なら下へ|d|だけ移す。

We can summarize the different transformations and their related effects on the graph of a function in the following table.

各変換が関数のグラフに与える効果を、次の表にまとめる。

Transformations of Functions関数の変換

Table 1.7表 1.7
Transformation of $f (c > 0)$ $f (c > 0)$ の変換	Effect on the graph of $f$ $f$ のグラフへの効果
$f (x) + c$	Vertical shift up $c$ units 上に $c$ だけ平行移動
$f (x) - c$	Vertical shift down $c$ units 下に $c$ だけ平行移動
$f (x + c)$	Shift left by $c$ units 左に $c$ だけ平行移動
$f (x - c)$	Shift right by $c$ units 右に $c$ だけ平行移動
$c f (x)$	Vertical stretch if $c > 1;$ vertical compression if $0 < c < 1$ $c > 1$ なら垂直方向に拡大、 $0 < c < 1$ なら垂直方向に縮小
$f (c x)$	Horizontal stretch if $0 < c < 1;$ horizontal compression if $c > 1$ $0 < c < 1$ なら水平方向に拡大、 $c > 1$ なら水平方向に縮小
$− f (x)$	Reflection about the $x$ -axis $x$ 軸について対称移動
$f (− x)$	Reflection about the $y$ -axis $y$ 軸について対称移動

Example 1.21例題 1.21

Transforming a Function関数を変換する

For each of the following functions, a. and b., sketch a graph by using a sequence of transformations of a well-known function.

次の関数a、bについて、よく知っている関数に一連の変換を施し、グラフを描け。

$f (x) = − | x + 2 | - 3$
$f (x) = − | x + 2 | - 3$
$f (x) = 3 \sqrt{− x} + 1$
$f (x) = 3 \sqrt{− x} + 1$

Solution解き方

Starting with the graph of $y = | x |,$ shift $2$ units to the left, reflect about the $x$ -axis, and then shift down 3 units.
$y = | x |$ のグラフから始め、左に $2$ だけ移し、 $x$ 軸について反転し、最後に下に3だけ移す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 1.28図 1.28
The function $f (x) = − | x + 2 | - 3$ can be viewed as a sequence of three transformations of the function $y = | x | .$
関数 $f (x) = − | x + 2 | - 3$ は、関数 $y = | x |$ に3つの変換を順に施したものと考えられる。
Starting with the graph of $y = \sqrt{x},$ reflect about the $y$ -axis, stretch the graph vertically by a factor of 3, and move up 1 unit.
$y = \sqrt{x}$ のグラフから始め、 $y$ 軸について反転し、垂直方向に3倍に伸ばし、上へ1だけ移す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 1.29図 1.29
The function $f (x) = 3 \sqrt{− x} + 1$ can be viewed as a sequence of three transformations of the function $y = \sqrt{x} .$
関数 $f (x) = 3 \sqrt{− x} + 1$ は、関数 $y = \sqrt{x}$ に3つの変換を順に施したものと考えられる。