第1章関数とグラフ

Algebraic Functions代数関数

By allowing for quotients and fractional powers in polynomial functions, we create a larger class of functions. An algebraic function is one that involves addition, subtraction, multiplication, division, rational powers, and roots. Two types of algebraic functions are rational functions and root functions.

英語のヒント

多項式関数に、商や分数のべきも認めると、さらに広い種類の関数を作れる。代数関数とは、加法・減法・乗法・除法・有理数のべき・べき根を用いて表される関数である。有理関数とべき根の関数は、その2つの例である。

Just as rational numbers are quotients of integers, rational functions are quotients of polynomials. In particular, a rational function is any function of the form

f (x) = p (x) / q (x),

where

p (x)

and

q (x)

are polynomials. For example,

英語のヒント

有理数が整数どうしの商であるのと同じように、有理関数は多項式どうしの商である。具体的には、

p (x)

と

q (x)

を多項式として

f (x) = p (x) / q (x)

という形で表される関数を、有理関数という。たとえば、次の関数がある。

f (x) = \frac{3 x - 1}{5 x + 2} and g (x) = \frac{4}{x^{2} + 1}

f (x) = \frac{3 x - 1}{5 x + 2} および g (x) = \frac{4}{x^{2} + 1}

are rational functions. A root function is a power function of the form

f (x) = x^{1 / n},

where

n

is a positive integer greater than one. For example,

f (x) = x^{1 / 2} = \sqrt{x}

is the square-root function and

g (x) = x^{1 / 3} = \sqrt[3]{x}

is the cube-root function. By allowing for compositions of root functions and rational functions, we can create other algebraic functions. For example,

f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}

is an algebraic function.

英語のヒント

これらは有理関数である。べき根の関数とは、1より大きい正の整数

n

に対し、

f (x) = x^{1 / n}

という形をとるべき関数である。たとえば、

f (x) = x^{1 / 2} = \sqrt{x}

は平方根の関数、

g (x) = x^{1 / 3} = \sqrt[3]{x}

は立方根の関数である。べき根の関数と有理関数を合成すれば、別の代数関数も作れる。たとえば、

f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}

は代数関数である。

Example 1.16例題 1.16

Finding Domain and Range for Algebraic Functions代数関数の定義域と値域を求める

For each of the following functions, find the domain and range.

次の各関数について、定義域と値域を求めよ。

$f (x) = \frac{3 x - 1}{5 x + 2}$
$f (x) = \frac{3 x - 1}{5 x + 2}$
$f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$
$f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

Solution解き方

It is not possible to divide by zero, so the domain is the set of real numbers $x$ such that $x \neq − 2 / 5 .$ To find the range, we need to find the values $y$ for which there exists a real number $x$ such that
0で割ることはできないので、定義域は $x \neq − 2 / 5$ を満たす実数 $x$ の集合である。値域を求めるには、次の式を満たす実数 $x$ が存在するような、 $y$ の値を求める。

$y = \frac{3 x - 1}{5 x + 2} .$
$y = \frac{3 x - 1}{5 x + 2}$

When we multiply both sides of this equation by $5 x + 2,$ we see that $x$ must satisfy the equation
両辺に $5 x + 2$ を掛けると、 $x$ は次の式を満たす必要がある。

$5 x y + 2 y = 3 x - 1 .$
$5 x y + 2 y = 3 x - 1$

From this equation, we can see that $x$ must satisfy
この式から、 $x$ は次の式を満たす必要があるとわかる。

$2 y + 1 = x (3 - 5 y) .$
$2 y + 1 = x (3 - 5 y)$

If $y = 3 / 5,$ this equation has no solution. On the other hand, as long as $y \neq 3 / 5,$
$y = 3 / 5$ なら、この方程式に解はない。一方、 $y \neq 3 / 5$ である限り、次の値が、

$x = \frac{2 y + 1}{3 - 5 y}$

satisfies this equation. We can conclude that the range of $f$ is ${y | y \neq 3 / 5} .$
この方程式を満たす。したがって、 $f$ の値域は ${y | y \neq 3 / 5}$ である。
To find the domain of $f$ , we need to identify values of $x$ with $4 - x^{2} \geq 0$ . Note that $4 - x^{2} = 0$ when $x = 2$ or $x = - 2$ . Solving $4 - x^{2} > 0$ is equivalent to solving $(2 - x) (2 + x) > 0$ . If this inequality is true, then both factors are positive or both are negative.
$f$ の定義域を求めるには、 $4 - x^{2} \geq 0$ を満たす $x$ の値を調べる。 $x = 2$ または $x = - 2$ のとき、 $4 - x^{2} = 0$ となる。 $4 - x^{2} > 0$ を解くことは、 $(2 - x) (2 + x) > 0$ を解くことと同じである。この不等式が成り立つとき、2つの因数は両方とも正、または両方とも負である。

Case 1: Both factors are positive.
場合1：2つの因数が両方とも正。

$2 - x > 0 and 2 + x > 0$
$2 - x > 0 かつ 2 + x > 0$

$x < 2 and x > - 2$
$x < 2 かつ x > - 2$

So, the expression $4 - x^{2}$ is positive for all values in the interval $- 2 < x < 2$ .
したがって、式 $4 - x^{2}$ は区間 $- 2 < x < 2$ のすべての値で正になる。

Case 2: Both factors are negative.
場合2：2つの因数が両方とも負。

$2 - x < 0 and 2 + x < 0$
$2 - x < 0 かつ 2 + x < 0$

$x > 2 and x < - 2$
$x > 2 かつ x < - 2$

There is no value of $x$ that can satisfy both inequalities.
この2つの不等式を同時に満たす $x$ の値は存在しない。

The domain of the function is ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ .
この関数の定義域は ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ である。

To identify the range, note that if $- 2 \leq x \leq 2$ , then $0 \leq 4 - x^{2} \leq 4$ . Therefore, $0 \leq \sqrt{4 - x^{2}} \leq 2$ . The range of $f$ is ${y | 0 \leq y \leq 2}$ .
値域を求めるには、 $- 2 \leq x \leq 2$ なら $0 \leq 4 - x^{2} \leq 4$ であることに注目する。したがって $0 \leq \sqrt{4 - x^{2}} \leq 2$ であり、 $f$ の値域は ${y | 0 \leq y \leq 2}$ となる。

The root functions

f (x) = x^{1 / n}

have defining characteristics depending on whether

n

is odd or even. For all even integers

n \geq 2,

the domain of

f (x) = x^{1 / n}

is the interval

[0, \infty) .

For all odd integers

n \geq 1,

the domain of

f (x) = x^{1 / n}

is the set of all real numbers. Since

x^{\frac{1}{n}} = - {(- x)}^{\frac{1}{n}}

for odd integers

n, f (x) = x^{1 / n}

is an odd function if

n

is odd. See the graphs of root functions for different values of

n

in Figure 1.21.

べき根の関数

f (x) = x^{1 / n}

の性質は、

n

が奇数か偶数かで異なる。すべての偶数

n \geq 2

に対して、

f (x) = x^{1 / n}

の定義域は区間

[0, \infty)

である。すべての奇数

n \geq 1

に対して、

f (x) = x^{1 / n}

の定義域は実数全体である。奇数の場合には

x^{\frac{1}{n}} = - {(- x)}^{\frac{1}{n}}

が成り立つ。したがって、

n

が奇数の場合、整数

n

f (x) = x^{1 / n}

は奇関数となる。図1.21で、

n

の値が異なるべき根の関数のグラフを確認しよう。

2つのグラフ。(a)はx軸が−2から9、y軸が−4から4。f(x) = √xとf(x) = ⁴√xはどちらも原点から始まり増加する曲線で、x > 1では4乗根の曲線のほうが緩やかに増える。(b)はx軸が−8から8、y軸が−4から4。f(x) = ³√xとf(x) = ⁵√xはどちらも原点まで増加し、原点で接線が垂直になり、その後も増加する。x > 1では5乗根の曲線のほうが緩やかに増える。 — Figure 1.21図 1.21
(a) If $n$ is even, the domain of $f (x) = \sqrt[n]{x}$ is $[0, \infty) .$ (b) If $n$ is odd, the domain of $f (x) = \sqrt[n]{x}$ is $(−∞, \infty)$ and the function $f (x) = \sqrt[n]{x}$ is an odd function.
(a) $n$ が偶数なら、 $f (x) = \sqrt[n]{x}$ の定義域は $[0, \infty)$ である。(b) $n$ が奇数なら、 $f (x) = \sqrt[n]{x}$ の定義域は $(−∞, \infty)$ であり、関数 $f (x) = \sqrt[n]{x}$ は奇関数である。

Example 1.17例題 1.17

Finding Domains for Algebraic Functions代数関数の定義域を求める

For each of the following functions, determine the domain of the function.

次の各関数の定義域を求めよ。

$f (x) = \frac{3}{x^{2} - 1}$
$f (x) = \frac{3}{x^{2} - 1}$
$f (x) = \frac{2 x + 5}{3 x^{2} + 4}$
$f (x) = \frac{2 x + 5}{3 x^{2} + 4}$
$f (x) = \sqrt{4 - 3 x}$
$f (x) = \sqrt{4 - 3 x}$
$f (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$
$f (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$

Solution解き方

You cannot divide by zero, so the domain is the set of values $x$ such that $x^{2} - 1 \neq 0 .$ Therefore, the domain is ${x | x \neq ± 1} .$
0で割ることはできないので、定義域は $x^{2} - 1 \neq 0$ を満たす $x$ の集合である。したがって、定義域は ${x | x \neq ± 1}$ となる。
You need to determine the values of $x$ for which the denominator is zero. Since $3 x^{2} + 4 \geq 4$ for all real numbers $x,$ the denominator is never zero. Therefore, the domain is $(−∞, \infty) .$
分母が0になる $x$ の値を調べる。すべての実数 $x$ に対して $3 x^{2} + 4 \geq 4$ なので、分母は決して0にならない。したがって、定義域は $(−∞, \infty)$ である。
Since the square root of a negative number is not a real number, the domain is the set of values $x$ for which $4 - 3 x \geq 0 .$ Therefore, the domain is ${x | x \leq 4 / 3} .$
負の数の平方根は実数ではないので、定義域は $4 - 3 x \geq 0$ を満たす $x$ の集合である。したがって、定義域は ${x | x \leq 4 / 3}$ となる。
The cube root is defined for all real numbers, so the domain is the interval $(−∞, ∞).$
立方根はすべての実数に対して定義されるので、定義域は区間 $(−∞, ∞).$ である。