第1章関数とグラフ

Inverse Trigonometric Functions逆三角関数

The six basic trigonometric functions are periodic, and therefore they are not one-to-one. However, if we restrict the domain of a trigonometric function to an interval where it is one-to-one, we can define its inverse. Consider the sine function (Figure 1.34). The sine function is one-to-one on an infinite number of intervals, but the standard convention is to restrict the domain to the interval

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] .

By doing so, we define the inverse sine function on the domain

[−1, 1]

such that for any

x

in the interval

[−1, 1],

the inverse sine function tells us which angle

θ

in the interval

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

satisfies

sin θ = x .

Similarly, we can restrict the domains of the other trigonometric functions to define inverse trigonometric functions, which are functions that tell us which angle in a certain interval has a specified trigonometric value.

英語のヒント

基本的な6つの三角関数は周期関数なので、一対一ではない。しかし、一対一になる区間に定義域を制限すれば、逆関数を定義できる。正弦関数を考えよう（図1.34）。正弦関数が一対一になる区間は無数にあるが、通常は定義域を区間

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

に制限する。これにより、定義域

[−1, 1]

上に逆正弦関数を定義する。区間

[−1, 1]

内の任意の

x

について、区間

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

内で

sin θ = x

を満たす角

θ

を返す関数である。ほかの三角関数も同様に定義域を制限して逆関数を定義する。逆三角関数は、三角関数の値が与えられたとき、特定の区間内のどの角がその値をとるかを教える関数である。

Definition定義

The inverse sine function, denoted

{sin}^{−1}

or arcsin, and the inverse cosine function, denoted

{cos}^{−1}

or arccos, are defined on the domain

D = {x | - 1 \leq x \leq 1}

as follows:

逆正弦関数を

{sin}^{−1}

またはarcsin、逆余弦関数を

{cos}^{−1}

またはarccosと表し、定義域

D = {x | - 1 \leq x \leq 1}

上で次のように定義する。

\begin{matrix} {sin}^{−1} (x) = y if and only if sin (y) = x and - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}; \\ {cos}^{−1} (x) = y if and only if cos (y) = x and 0 \leq y \leq π . \end{matrix}

\begin{matrix} {sin}^{−1} (x) = y ⇔ sin (y) = x かつ - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}; \\ {cos}^{−1} (x) = y ⇔ cos (y) = x かつ 0 \leq y \leq π . \end{matrix}

(1.12)

The inverse tangent function, denoted

{tan}^{−1}

or arctan, and inverse cotangent function, denoted

{cot}^{−1}

or arccot, are defined on the domain

D = {x | - \infty < x < \infty}

as follows:

逆正接関数を

{tan}^{−1}

またはarctan、逆余接関数を

{cot}^{−1}

またはarccotと表し、定義域

D = {x | - \infty < x < \infty}

上で次のように定義する。

\begin{matrix} {tan}^{−1} (x) = y if and only if tan (y) = x and - \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2}; \\ {cot}^{−1} (x) = y if and only if cot (y) = x and 0 < y < π . \end{matrix}

\begin{matrix} {tan}^{−1} (x) = y ⇔ tan (y) = x かつ - \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2}; \\ {cot}^{−1} (x) = y ⇔ cot (y) = x かつ 0 < y < π . \end{matrix}

(1.13)

The inverse cosecant function, denoted

{csc}^{−1}

or arccsc, and inverse secant function, denoted

{sec}^{−1}

or arcsec, are defined on the domain

D = {x | | x | \geq 1}

as follows:

逆余割関数を

{csc}^{−1}

またはarccsc、逆正割関数を

{sec}^{−1}

またはarcsecと表し、定義域

D = {x | | x | \geq 1}

上で次のように定義する。

\begin{matrix} {csc}^{−1} (x) = y if and only if csc (y) = x and - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, y \neq 0; \\ {sec}^{−1} (x) = y if and only if sec (y) = x and 0 \leq y \leq π, y \neq π / 2 . \end{matrix}

\begin{matrix} {csc}^{−1} (x) = y ⇔ csc (y) = x かつ - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, y \neq 0; \\ {sec}^{−1} (x) = y ⇔ sec (y) = x かつ 0 \leq y \leq π, y \neq π / 2 . \end{matrix}

(1.14)

To graph the inverse trigonometric functions, we use the graphs of the trigonometric functions restricted to the domains defined earlier and reflect the graphs about the line

y = x

(Figure 1.41).

逆三角関数のグラフを描くには、先ほど定めた区間に三角関数の定義域を制限し、そのグラフを直線

y = x

について反転する（図1.41）。

6つの逆三角関数のグラフ。sin⁻¹xは(−1, −π/2)から(1, π/2)まで増加する曲線で、両軸と原点で交わる。cos⁻¹xは(−1, π)から(1, 0)まで減少し、x軸との交点は(1, 0)、y軸との交点は(0, π/2)。 tan⁻¹xは水平漸近線y = −π/2とy = π/2の間で増加し、どちらの線にも交わらない。両軸と原点で交わる。cot⁻¹xは水平漸近線y = πの少し下から減少し、x軸に近づくが、どちらの水平漸近線にも交わらない。 csc⁻¹xの左側の枝は、x軸の少し下から減少し、黒丸の点(−1, −π/2)で終わる。右側の枝は(1, π/2)から減少し、水平漸近線であるx軸に近づくが接しない。 sec⁻¹xの左側の枝は、水平線y = π/2の少し上から増加し、黒丸の点(−1, π)で終わる。右側の枝は(1, 0)から増加し、水平漸近線y = π/2に近づくが接しない。 — Figure 1.41図 1.41
The graph of each of the inverse trigonometric functions is a reflection about the line $y = x$ of the corresponding restricted trigonometric function.
逆三角関数のグラフは、対応する三角関数を定義域の指定区間に制限し、直線 $y = x$ について反転したものである。

When evaluating an inverse trigonometric function, the output is an angle. For example, to evaluate

{cos}^{−1} (\frac{1}{2}),

we need to find an angle

θ

such that

cos θ = \frac{1}{2} .

Clearly, many angles have this property. However, given the definition of

{cos}^{−1},

we need the angle

θ

that not only solves this equation, but also lies in the interval

[0, π] .

We conclude that

{cos}^{−1} (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3} .

英語のヒント

逆三角関数の出力は角である。たとえば、

{cos}^{−1} (\frac{1}{2})

の値を求めるには、

cos θ = \frac{1}{2}

を満たす角

θ

を探す。この性質を持つ角はたくさんある。しかし、

{cos}^{−1}

の定義に従えば、必要なのは、この式を満たすだけでなく、区間

[0, π]

にも含まれる角

θ

である。したがって、

{cos}^{−1} (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

となる。

We now consider a composition of a trigonometric function and its inverse. For example, consider the two expressions

sin ({sin}^{−1} (\frac{\sqrt{2}}{2}))

and

{sin}^{−1} (sin (π)) .

For the first one, we simplify as follows:

次に、三角関数とその逆関数の合成を考える。例として、2つの式

sin ({sin}^{−1} (\frac{\sqrt{2}}{2}))

と

{sin}^{−1} (sin (π))

を取り上げよう。第1の式は、次のように簡単にできる。

sin ({sin}^{−1} (\frac{\sqrt{2}}{2})) = sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .

sin ({sin}^{−1} (\frac{\sqrt{2}}{2})) = sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

For the second one, we have

第2の式は、次のようになる。

{sin}^{−1} (sin (π)) = {sin}^{−1} (0) = 0 .

{sin}^{−1} (sin (π)) = {sin}^{−1} (0) = 0

The inverse function is supposed to “undo” the original function, so why isn’t

{sin}^{−1} (sin (π)) = π ?

Recalling our definition of inverse functions, a function

f

and its inverse

f^{−1}

satisfy the conditions

f (f^{−1} (y)) = y

for all

y

in the domain of

f^{−1}

and

f^{−1} (f (x)) = x

for all

x

in the domain of

f,

so what happened here? The issue is that the inverse sine function,

{sin}^{−1},

is the inverse of the restricted sine function defined on the domain

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] .

Therefore, for

x

in the interval

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],

it is true that

{sin}^{−1} (sin x) = x .

However, for values of

x

outside this interval, the equation does not hold, even though

{sin}^{−1} (sin x)

is defined for all real numbers

x .

英語のヒント

逆関数はもとの関数の働きを「元に戻す」はずなのに、なぜ

{sin}^{−1} (sin (π)) = π

とはならないのだろうか。逆関数の定義を思い出そう。関数

f

と逆関数

f^{−1}

は、

f^{−1}

の定義域のすべての

y

について

f (f^{−1} (y)) = y

を満たし、

f

の定義域のすべての

x

について

f^{−1} (f (x)) = x

を満たす。では、ここでは何が起きたのだろうか。問題のポイントは、逆正弦関数

{sin}^{−1}

が、定義域を

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] .

に制限した正弦関数の逆関数だということである。したがって、区間

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],

内の

x

については

{sin}^{−1} (sin x) = x

が成り立つ。しかし、この区間の外にある

x

では、この等式は成り立たない。

{sin}^{−1} (sin x)

そのものは、すべての実数

x

について定義されていても、元の値に戻るとは限らない。

What about

sin ({sin}^{−1} y) ?

Does that have a similar issue? The answer is no. Since the domain of

{sin}^{−1}

is the interval

[−1, 1],

we conclude that

sin ({sin}^{−1} y) = y

−1 \leq y \leq 1

and the expression is not defined for other values of

y .

To summarize,

では、

sin ({sin}^{−1} y)

には同じ問題があるだろうか。こちらにはない。

{sin}^{−1}

の定義域は区間

[−1, 1]

なので、

−1 \leq y \leq 1

なら

sin ({sin}^{−1} y) = y

となり、それ以外の

y

では式自体が定義されない。まとめると、次のようになる。

sin ({sin}^{−1} y) = y if −1 \leq y \leq 1

sin ({sin}^{−1} y) = y ただし −1 \leq y \leq 1

and

また、

{sin}^{−1} (sin x) = x if - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} .

{sin}^{−1} (sin x) = x ただし - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

Similarly, for the cosine function,

余弦関数についても同様に、

cos ({cos}^{−1} y) = y if −1 \leq y \leq 1

cos ({cos}^{−1} y) = y ただし −1 \leq y \leq 1

and

また、

{cos}^{−1} (cos x) = x if 0 \leq x \leq π .

{cos}^{−1} (cos x) = x ただし 0 \leq x \leq π

Similar properties hold for the other trigonometric functions and their inverses.

ほかの三角関数とその逆関数についても、同様の性質が成り立つ。

Example 1.32例題 1.32

Evaluating Expressions Involving Inverse Trigonometric Functions逆三角関数を含む式の値を求める

Evaluate each of the following expressions.

次の各式の値を求めよ。

${sin}^{−1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$
${sin}^{−1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$
$tan ({tan}^{−1} (- \frac{1}{\sqrt{3}}))$
$tan ({tan}^{−1} (- \frac{1}{\sqrt{3}}))$
${cos}^{−1} (cos (\frac{5 π}{4}))$
${cos}^{−1} (cos (\frac{5 π}{4}))$
${sin}^{−1} (cos (\frac{2 π}{3}))$
${sin}^{−1} (cos (\frac{2 π}{3}))$

Solution解き方

Evaluating ${sin}^{−1} (− \sqrt{3} / 2)$ is equivalent to finding the angle $θ$ such that $sin θ = − \sqrt{3} / 2$ and $− π / 2 \leq θ \leq π / 2 .$ The angle $θ = − π / 3$ satisfies these two conditions. Therefore, ${sin}^{−1} (− \sqrt{3} / 2) = − π / 3 .$
${sin}^{−1} (− \sqrt{3} / 2)$ の値を求めることは、 $sin θ = − \sqrt{3} / 2$ かつ $− π / 2 \leq θ \leq π / 2$ となる角 $θ$ を探すことと同じである。角 $θ = − π / 3$ がこの2条件を満たすので、 ${sin}^{−1} (− \sqrt{3} / 2) = − π / 3$ である。
First we use the fact that ${tan}^{−1} (−1 / \sqrt{3}) = − π / 6 .$ Then $tan (-π / 6) = −1 / \sqrt{3} .$ Therefore, $tan ({tan}^{−1} (−1 / \sqrt{3})) = −1 / \sqrt{3} .$
まず ${tan}^{−1} (−1 / \sqrt{3}) = − π / 6$ を使う。さらに $tan (-π / 6) = −1 / \sqrt{3}$ なので、 $tan ({tan}^{−1} (−1 / \sqrt{3})) = −1 / \sqrt{3}$ となる。
To evaluate ${cos}^{−1} (cos (5 π / 4)),$ first use the fact that $cos (5 π / 4) = − \sqrt{2} / 2 .$ Then we need to find the angle $θ$ such that $cos (θ) = − \sqrt{2} / 2$ and $0 \leq θ \leq π .$ Since $3 π / 4$ satisfies both these conditions, we have ${cos}^{- 1} (cos (5 π / 4)) = {cos}^{−1} (− \sqrt{2} / 2) = 3 π / 4 .$
${cos}^{−1} (cos (5 π / 4))$ の値を求めるには、まず $cos (5 π / 4) = − \sqrt{2} / 2$ を使う。次に、 $cos (θ) = − \sqrt{2} / 2$ かつ $0 \leq θ \leq π$ を満たす角 $θ$ を探す。 $3 π / 4$ が両条件を満たすので、 ${cos}^{- 1} (cos (5 π / 4)) = {cos}^{−1} (− \sqrt{2} / 2) = 3 π / 4$ である。
Since $cos (2 π / 3) = −1 / 2,$ we need to evaluate ${sin}^{−1} (−1 / 2) .$ That is, we need to find the angle $θ$ such that $sin (θ) = −1 / 2$ and $− π / 2 \leq θ \leq π / 2 .$ Since $− π / 6$ satisfies both these conditions, we can conclude that ${sin}^{−1} (cos (2 π / 3)) = {sin}^{−1} (−1 / 2) = − π / 6 .$
$cos (2 π / 3) = −1 / 2$ なので、 ${sin}^{−1} (−1 / 2)$ の値を求めればよい。つまり、 $sin (θ) = −1 / 2$ かつ $− π / 2 \leq θ \leq π / 2$ を満たす角 $θ$ を探す。 $− π / 6$ が両条件を満たすので、 ${sin}^{−1} (cos (2 π / 3)) = {sin}^{−1} (−1 / 2) = − π / 6$ とわかる。

Project探究課題

The Maximum Value of a Function関数の最大値

In many areas of science, engineering, and mathematics, it is useful to know the maximum value a function can obtain, even if we don’t know its exact value at a given instant. For instance, if we have a function describing the strength of a roof beam, we would want to know the maximum weight the beam can support without breaking. If we have a function that describes the speed of a train, we would want to know its maximum speed before it jumps off the rails. Safe design often depends on knowing maximum values.

英語のヒント

科学、工学、数学の多くの分野では、ある瞬間の関数値が正確にはわからなくても、その関数がどこまで大きい値をとりうるかを知ることが役に立つ。たとえば、屋根の梁の強さを表す関数があるなら、壊れずに支えられる最大の荷重を知りたい。列車の速さを表す関数があるなら、脱線しない最大の速さを知りたい。安全な設計のために、最大値を知ることが重要になる場合は多い。

This project describes a simple example of a function with a maximum value that depends on two equation coefficients. We will see that maximum values can depend on several factors other than the independent variable x.

この課題では、最大値が式の2つの係数によって変わる、簡単な関数の例を扱う。最大値は独立変数x以外のさまざまな要因にも左右されることがわかる。

Consider the graph in Figure 1.42 of the function $y = sin x + cos x .$ Describe its overall shape. Is it periodic? How do you know?
図1.42にある関数 $y = sin x + cos x$ のグラフを考えよう。全体の形を説明せよ。周期的かどうか、どのようにわかるかも答えよ。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 1.42図 1.42
The graph of $y = sin x + cos x .$
$y = sin x + cos x$ のグラフ。

Using a graphing calculator or other graphing device, estimate the $x$ - and $y$ -values of the maximum point for the graph (the first such point where x > 0). It may be helpful to express the $x$ -value as a multiple of π.
グラフ電卓などを使い、最大となる点の $x$ 座標と $y$ 座標を推定せよ。x > 0で最初に現れる最大点を調べること。 $x$ 座標をπの倍数で表すと役に立つかもしれない。
Now consider other graphs of the form $y = A sin x + B cos x$ for various values of A and B. Sketch the graph when A = 2 and B = 1, and find the $x$ - and y-values for the maximum point. (Remember to express the x-value as a multiple of π, if possible.) Has it moved?
次に、AとBの値を変えて $y = A sin x + B cos x$ の形のグラフを考える。A = 2、B = 1の場合のグラフを描き、最大点の $x$ 座標とy座標を求めよ。可能ならx座標をπの倍数で表すこと。最大点は移動したか。
Repeat for A = 1, B = 2. Is there any relationship to what you found in part (2)?
A = 1、B = 2でも同じことを行え。(2)で求めた結果と、何か関係があるか。
Complete the following table, adding a few choices of your own for A and B:
次の表を完成させよ。AとBの値を自分でもいくつか選び、表に加えること。

A

B

x

y

A

B

x

y

0

1

$\sqrt{3}$

1

1

0

1

$\sqrt{3}$

1

1

12

5

1

2

5

12

2

1

2

2

3

4

4

3
Try to figure out the formula for the y-values.
y座標を表す公式を考えよ。
The formula for the $x$ -values is a little harder. The most helpful points from the table are $(1, 1), (1, \sqrt{3}), (\sqrt{3}, 1) .$ (Hint: Consider inverse trigonometric functions.)
$x$ 座標の公式を見つけるのは、少し難しい。表の中で特に役立つ組は $(1, 1), (1, \sqrt{3}), (\sqrt{3}, 1)$ である。（ヒント：逆三角関数を考える。）
If you found formulas for parts (5) and (6), show that they work together. That is, substitute the $x$ -value formula you found into $y = A sin x + B cos x$ and simplify it to arrive at the $y$ -value formula you found.
(5)、(6)の公式が見つかったら、両者が整合することを示せ。つまり、求めた $x$ 座標の公式を $y = A sin x + B cos x$ に代入して簡単にし、求めた $y$ 座標の公式が得られることを確かめよ。

A	B	A	B
0	1	$\sqrt{3}$	1
1	0	1	$\sqrt{3}$
1	1	12	5
1	2	5	12
2	1
2	2
3	4
4	3