第1章関数とグラフ

Key Concepts重要な概念

• A function is a mapping from a set of inputs to a set of outputs with exactly one output for each input.

  関数とは、入力の集合から出力の集合への対応であり、各入力に対して出力がちょうど1つ定まるものである。
• If no domain is stated for a function $y=f\left(x\right),$ the domain is considered to be the set of all real numbers $x$ for which the function is defined.

  関数$y=f\left(x\right)$の定義域が示されていなければ、その関数が定義される実数$x$すべての集合を定義域とする。
• When sketching the graph of a function $f,$ each vertical line may intersect the graph, at most, once.

  関数$f$のグラフを描いたとき、各鉛直線がそのグラフと交わる回数は多くても1回である。
• A function may have any number of zeros, but it has, at most, one y-intercept.

  関数の零点はいくつあってもよいが、y軸との交点は多くても1つである。
• To define the composition $g\circ f,$ the range of $f$ must be contained in the domain of $g.$

  合成$g\circ f$を定義するには、$f$の値域が$g$の定義域に含まれていなければならない。
• Even functions are symmetric about the $y$-axis whereas odd functions are symmetric about the origin.

  偶関数は$y$軸に関して対称であり、奇関数は原点に関して対称である。

Key Equations重要な式

Exercises 22–27練習問題 22–27

For the following exercises, sketch the graph with the aid of the tables given:

英語のヒント

以下の各問では、与えられた表を使ってグラフの概形を描け。

Exercise 22問題 22

$f\left(x\right)=x^2+1$

$f\left(x\right)=x^2+1$

$x$	$y$	$x$	$y$
−3	10	1	2
−2	5	2	5
−1	2	3	10
0	1

Exercise 23問題 23

$f\left(x\right)=3x-6$

$f\left(x\right)=3x-6$

$x$	$y$	$x$	$y$
−3	−15	1	−3
−2	−12	2	0
−1	−9	3	3
0	−6

Solution解き方

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Exercise 24問題 24

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1$

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1$

$x$	$y$	$x$	$y$
−3	$-\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$
−2	0	2	2
−1	$\frac{1}{2}$	3	$\frac{5}{2}$
0	1

Exercise 25問題 25

$f\left(x\right)=2\left|x\right|$

$f\left(x\right)=2\left|x\right|$

$x$	$y$	$x$	$y$
−3	6	1	2
−2	4	2	4
−1	2	3	6
0	0

Solution解き方

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Exercise 26問題 26

$f\left(x\right)=\text{−}{x}^2$

$f\left(x\right)=\text{−}{x}^2$

$x$	$y$	$x$	$y$
−3	−9	1	−1
−2	−4	2	−4
−1	−1	3	−9
0	0

Exercise 27問題 27

$f\left(x\right)=x^3$

$f\left(x\right)=x^3$

$x$	$y$	$x$	$y$
−3	−27	1	1
−2	−8	2	8
−1	−1	3	27
0	0

Solution解き方

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Exercises 28–35練習問題 28–35

For the following exercises, use the vertical line test to determine whether each of the given graphs represents a function. Assume that a graph continues at both ends if it extends beyond the given grid. If the graph represents a function, then determine the following for each graph:

英語のヒント

以下の各問では、鉛直線判定法を使い、各グラフが関数を表すかどうかを判定せよ。グラフが表示された格子の外へ伸びている場合、その端ではさらに先まで続くものとする。関数を表す場合には、各グラフについて次の事項を求めよ。

1. Domain and range

   定義域と値域
2. $x$-intercept, if any (estimate where necessary)

   $x$軸との交点（存在する場合。必要なら概数で求める）
3. $y$-Intercept, if any (estimate where necessary)

   $y$軸との交点（存在する場合。必要なら概数で求める）
4. The intervals for which the function is increasing

   関数が増加する区間
5. The intervals for which the function is decreasing

   関数が減少する区間
6. The intervals for which the function is constant

   関数が一定である区間
7. Symmetry about any axis and/or the origin

   座標軸または原点に関する対称性
8. Whether the function is even, odd, or neither

   偶関数、奇関数、そのどちらでもないもののいずれか

Exercise 28問題 28

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Exercise 29問題 29

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Solution解き方

Function; a. Domain: all real numbers, range: $y\ge 0$ b. $x=\pm 1$ c. $y=1$ d. $\mathrm{-1}<x<0$ and $1<x<\infty$ e. $\text{−}\infty <x<-1$ and $0<x<1$ f. Not constant g. y-axis h. Even

関数である。ⓐ 定義域：実数全体、値域：$y\ge 0$　ⓑ $x=\pm 1$　ⓒ $y=1$ⓓ $\mathrm{-1}<x<0$および$1<x<\infty$　ⓔ $\text{−}\infty <x<-1$および$0<x<1$　ⓕ 一定の区間はない　ⓖ y軸に関して対称　ⓗ 偶関数

Exercise 30問題 30

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Exercise 31問題 31

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Solution解き方

Function; a. Domain: all real numbers, range: $\mathrm{-1.5}\le y\le 1.5$ b. $x=0$ c. $y=0$ d. $\text{all real numbers}$ e. None f. Not constant g. Origin h. Odd

関数である。ⓐ 定義域：実数全体、値域：$\mathrm{-1.5}\le y\le 1.5$　ⓑ $x=0$　ⓒ $y=0$　ⓓ $\text{実数全体}$ⓔ 該当区間なし　ⓕ 一定の区間はない　ⓖ 原点に関して対称　ⓗ 奇関数

Exercise 32問題 32

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Exercise 33問題 33

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Solution解き方

Function; a. Domain: $\text{−}\infty <x<\infty ,$ range: $\mathrm{-2}\le y\le 2$ b. $x=0$ c. $y=0$ d. $\mathrm{-2}<x<2$ e. Not decreasing f. $\text{−}\infty <x<-2$ and $2<x<\infty$ g. Origin h. Odd

関数である。ⓐ 定義域：$\text{−}\infty <x<\infty$、値域：$\mathrm{-2}\le y\le 2$　ⓑ $x=0$　ⓒ $y=0$　ⓓ $\mathrm{-2}<x<2$ⓔ 減少する区間はない　ⓕ $\text{−}\infty <x<-2$および$2<x<\infty$　ⓖ 原点に関して対称　ⓗ 奇関数

Exercise 34問題 34

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Exercise 35問題 35

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Solution解き方

Function; a. Domain: $\mathrm{-4}\le x\le 4,$ range: $\mathrm{-4}\le y\le 4$ b. $x=1.2$ c. $y=4$ d. Not increasing e. $0<x<4$ f. $\mathrm{-4}<x<0$ g. No Symmetry h. Neither

関数である。ⓐ 定義域：$\mathrm{-4}\le x\le 4$、値域：$\mathrm{-4}\le y\le 4$　ⓑ $x=1.2$　ⓒ $y=4$ⓓ 増加する区間はない　ⓔ $0<x<4$　ⓕ $\mathrm{-4}<x<0$　ⓖ 対称性なし　ⓗ 偶関数でも奇関数でもない

Exercises 42–58練習問題 42–58

For the following exercises, for each pair of functions, find a. $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ and b. $\left(g\circ f\right)\left(x\right)$ Simplify the results. Find the domain of each of the results.

以下の各問では、各関数の組について、ⓐ $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$とⓑ $\left(g\circ f\right)\left(x\right)$を求め、式を整理せよ。また、それぞれの結果の定義域を求めよ。

Exercise 42問題 42

$f\left(x\right)=3x,g\left(x\right)=x+5$

$f\left(x\right)=3x,g\left(x\right)=x+5$

Exercise 43問題 43

$f\left(x\right)=x+4,g\left(x\right)=4x-1$

$f\left(x\right)=x+4,g\left(x\right)=4x-1$

Solution解き方

a. $4x+3;$ all real numbers b. $4x+15;$ all real numbers

ⓐ $4x+3$、定義域は実数全体　ⓑ $4x+15$、定義域は実数全体

Exercise 44問題 44

$f\left(x\right)=2x+4,g\left(x\right)=x^2-2$

$f\left(x\right)=2x+4,g\left(x\right)=x^2-2$

Exercise 45問題 45

$f\left(x\right)=x^2+7,g\left(x\right)=x^2-3$

$f\left(x\right)=x^2+7,g\left(x\right)=x^2-3$

Solution解き方

a. $x^4-6x^2+16;$ all real numbers b. $x^4+14x^2+46;$ all real numbers

ⓐ $x^4-6x^2+16$、定義域は実数全体　ⓑ $x^4+14x^2+46$、定義域は実数全体

Exercise 46問題 46

$f\left(x\right)=\sqrt{x},g\left(x\right)=x+9$

$f\left(x\right)=\sqrt{x},g\left(x\right)=x+9$

Exercise 47問題 47

$f\left(x\right)=\frac{3}{2x+1},g\left(x\right)=\frac{2}{x}$

$f\left(x\right)=\frac{3}{2x+1},g\left(x\right)=\frac{2}{x}$

Solution解き方

a. $\frac{3x}{4+x};x\ne 0,\mathrm{-4}$ b. $\frac{4x+2}{3};x\ne -\frac{1}{2}$

ⓐ $\frac{3x}{4+x};x\ne 0,\mathrm{-4}$　ⓑ $\frac{4x+2}{3};x\ne -\frac{1}{2}$

Exercise 48問題 48

$f(x)=\left|x+1\right|,g(x)=x^2+x-4$

$f(x)=\left|x+1\right|,g(x)=x^2+x-4$

Exercise 49問題 49

The table below lists the NBA championship winners for the years 2001 to 2012.

次の表は、2001年から2012年までのNBAの優勝チームを示している。

Year 年	Winner 優勝チーム
2001	LA Lakers ロサンゼルス・レイカーズ
2002	LA Lakers ロサンゼルス・レイカーズ
2003	San Antonio Spurs サンアントニオ・スパーズ
2004	Detroit Pistons デトロイト・ピストンズ
2005	San Antonio Spurs サンアントニオ・スパーズ
2006	Miami Heat マイアミ・ヒート
2007	San Antonio Spurs サンアントニオ・スパーズ
2008	Boston Celtics ボストン・セルティックス
2009	LA Lakers ロサンゼルス・レイカーズ
2010	LA Lakers ロサンゼルス・レイカーズ
2011	Dallas Mavericks ダラス・マーベリックス
2012	Miami Heat マイアミ・ヒート

1. Consider the relation in which the domain values are the years 2001 to 2012 and the range is the corresponding winner. Is this relation a function? Explain why or why not.

   定義域の値を2001年から2012年までの各年、値域をそれぞれの年の優勝チームとする関係を考える。この関係は関数か。そう考える理由を説明せよ。
2. Consider the relation where the domain values are the winners and the range is the corresponding years. Is this relation a function? Explain why or why not.

   定義域の値を優勝チーム、値域をそれぞれのチームが優勝した年とする関係を考える。この関係は関数か。そう考える理由を説明せよ。

Solution解き方

a. Yes, because there is only one winner for each year. b. No, because there are three teams that won more than once during the years 2001 to 2012.

ⓐ 関数である。各年の優勝チームは1つだけだからである。ⓑ 関数ではない。2001年から2012年の間に複数回優勝したチームが3つあるためである。

Exercise 50問題 50

[T] The area $A$ of a square depends on the length of the side $s.$

[T] 正方形の面積$A$は、1辺の長さ$s$によって決まる。

1. Write a function $A(s)$ for the area of a square.

   正方形の面積を表す関数$A(s)$を書け。
2. Find and interpret $A(6.5).$

   $A(6.5)$を求め、その意味を説明せよ。
3. Find the exact and the two-significant-digit approximation to the length of the sides of a square with area 56 square units.

   英語のヒント

   面積が56平方単位の正方形について、1辺の長さの正確な値と、有効数字2桁の近似値を求めよ。

Exercise 51問題 51

[T] The volume of a cube depends on the length of the sides $s.$

[T] 立方体の体積は、1辺の長さ$s$によって決まる。

1. Write a function $V(s)$ for the volume of a cube.

   立方体の体積を表す関数$V(s)$を書け。
2. Find and interpret $V(11.8).$

   $V(11.8)$を求め、その意味を説明せよ。

Solution解き方

a. $V(s)=s^3$ b. $V\left(11.8\right)\approx 1643;$ a cube of side length 11.8 each has a volume of approximately 1643 cubic units.

ⓐ $V(s)=s^3$　ⓑ $V\left(11.8\right)\approx 1643$。各辺の長さが11.8の立方体の体積は、約1643立方単位である。

Exercise 52問題 52

[T] A rental car company rents cars for a flat fee of $20 and an hourly charge of $10.25. Therefore, the total cost $C$ to rent a car is a function of the hours $t$ the car is rented plus the flat fee.

英語のヒント

[T] あるレンタカー会社は、基本料金20ドルと1時間あたり10.25ドルで車を貸し出している。したがって、合計料金$C$は、利用時間$t$に応じた料金に基本料金を加えた関数となる。

1. Write the formula for the function that models this situation.

   この状況を表す関数の式を書け。
2. Find the total cost to rent a car for 2 days and 7 hours.

   車を2日と7時間借りた場合の合計料金を求めよ。
3. Determine how long the car was rented if the bill is $430.

   請求額が430ドルだった場合、車を何時間借りたか求めよ。

Exercise 53問題 53

[T] A vehicle has a 20-gal tank and gets 15 mpg. The number of miles N that can be driven depends on the amount of gas x in the tank.

[T] ある車の燃料タンクの容量は20ガロンで、燃費は1ガロンあたり15マイルである。走行できる距離Nマイルは、タンク内のガソリン量xガロンによって決まる。

1. Write a formula that models this situation.

   この状況を表す式を書け。
2. Determine the number of miles the vehicle can travel on (i) a full tank of gas and (ii) 3/4 of a tank of gas.

   (i) 満タンの場合、(ii) タンクの4分の3までガソリンが入っている場合について、走行できる距離をマイルで求めよ。
3. Determine the domain and range of the function.

   この関数の定義域と値域を求めよ。
4. Determine how many times the driver had to stop for gas if she has driven a total of 578 mi.

   運転者が合計578マイル走った場合、途中で何回給油する必要があったかを求めよ。

Solution解き方

a. $N(x)=15x$ b. i. $N\left(20\right)=15\left(20\right)=300;$ therefore, the vehicle can travel 300 mi on a full tank of gas. Ii. $N\left(15\right)=225;$ therefore, the vehicle can travel 225 mi on 3/4 of a tank of gas. c. Domain: $0\le x\le 20;$ range: $[0,300]$ d. The driver had to stop at least once, given that it takes approximately 39 gal of gas to drive a total of 578 mi.

ⓐ $N(x)=15x$ⓑ (i) $N\left(20\right)=15\left(20\right)=300$。したがって、満タンなら300マイル走れる。(ii) $N\left(15\right)=225$。したがって、タンクの4分の3のガソリンなら225マイル走れる。ⓒ 定義域：$0\le x\le 20$、値域：$[0,300]$　ⓓ 合計578マイル走るには約39ガロン必要なので、少なくとも1回は途中で給油しなければならない。

Exercise 54問題 54

[T] The volume V of a sphere depends on the length of its radius as $V=(4\text{/}3)\pi r^3.$ Because Earth is not a perfect sphere, we can use the mean radius when measuring from the center to its surface. The mean radius is the average distance from the physical center to the surface, based on a large number of samples. Find the volume of Earth with mean radius $6.371\times {10}^6$ m.

英語のヒント

[T] 球の体積Vは、半径の長さにより$V=(4\text{/}3)\pi r^3$で決まる。地球は完全な球ではないので、中心から表面までの距離として平均半径を使える。平均半径とは、多数の標本をもとにした、実際の中心から表面までの平均距離である。平均半径を$6.371\times {10}^6$ mとして、地球の体積を求めよ。

Exercise 55問題 55

[T] A certain bacterium grows in culture in a circular region. The radius of the circle, measured in centimeters, is given by $r\left(t\right)=6-\left[5\text{/}\left(t^2+1\right)\right],$ where t is time measured in hours since a circle of a 1-cm radius of the bacterium was put into the culture.

英語のヒント

[T] ある細菌を培養すると、円形の領域に広がって増殖する。その円の半径（単位：cm）は$r\left(t\right)=6-\left[5\text{/}\left(t^2+1\right)\right]$で与えられる。ここでtは、半径1 cmの円形の細菌群を培養し始めてからの経過時間（単位：時間）である。

1. Express the area of the bacteria as a function of time.

   細菌が占める面積を、時間の関数として表せ。
2. Find the exact and approximate area of the bacterial culture in 3 hours.

   3時間後の培養領域の面積について、正確な値と近似値を求めよ。
3. Express the circumference of the bacteria as a function of time.

   細菌の領域の周の長さを、時間の関数として表せ。
4. Find the exact and approximate circumference of the bacteria in 3 hours.

   3時間後の細菌の領域の周の長さについて、正確な値と近似値を求めよ。

Solution解き方

a. $A\left(t\right)=A\left(r\left(t\right)\right)=\pi ·{\left(6-\frac{5}{t^2+1}\right)}^2$ b. Exact: $\frac{121\pi }{4};$ approximately 95 cm² c. $C\left(t\right)=C\left(r\left(t\right)\right)=2\pi \left(6-\frac{5}{t^2+1}\right)$ d. Exact: $11\pi ;$ approximately 35 cm

ⓐ $A\left(t\right)=A\left(r\left(t\right)\right)=\pi ·{\left(6-\frac{5}{t^2+1}\right)}^2$　ⓑ 正確な値：$\frac{121\pi }{4}$、近似値：約95 cm²　ⓒ $C\left(t\right)=C\left(r\left(t\right)\right)=2\pi \left(6-\frac{5}{t^2+1}\right)$　ⓓ 正確な値：$11\pi$、近似値：約35 cm

Exercise 56問題 56

[T] An American tourist visits Paris and must convert U.S. dollars to Euros, which can be done using the function $E\left(x\right)=0.79x,$ where x is the number of U.S. dollars and $E\left(x\right)$ is the equivalent number of Euros. Since conversion rates fluctuate, when the tourist returns to the United States 2 weeks later, the conversion from Euros to U.S. dollars is $D\left(x\right)=1.245x,$ where x is the number of Euros and $D(x)$ is the equivalent number of U.S. dollars.

英語のヒント

[T] 米国人の旅行者がパリを訪れ、米ドルをユーロに両替する。その換算には関数$E\left(x\right)=0.79x$を使う。xは米ドルの額、$E\left(x\right)$はそれに相当するユーロの額である。為替レートは変動するので、2週間後に米国へ戻ったときには、ユーロから米ドルへの換算は$D\left(x\right)=1.245x$になっていた。ここでxはユーロの額、$D(x)$はそれに相当する米ドルの額である。

1. Find the composite function that converts directly from U.S. dollars to U.S. dollars via Euros. Did this tourist lose value in the conversion process?

   米ドルからユーロを経由して米ドルへ戻す換算を、直接表す合成関数を求めよ。この両替の過程で、旅行者の金額の価値は減ったか。
2. Use (a) to determine how many U.S. dollars the tourist would get back at the end of her trip if she converted an extra $200 when she arrived in Paris.

   パリ到着時に200ドルを余分に両替していた場合、旅行の最後に何米ドルが戻ってくるか、(a)を使って求めよ。

Exercise 57問題 57

[T] The manager at a skateboard shop pays his workers a monthly salary S of $750 plus a commission of $8.50 for each skateboard they sell.

英語のヒント

[T] あるスケートボード店の店長は、従業員に月給Sとして750ドルの基本給と、販売したスケートボード1台につき8.50ドルの歩合を支払っている。

1. Write a function $y=S\left(x\right)$ that models a worker’s monthly salary based on the number of skateboards x he or she sells.

   販売台数xに応じた従業員の月給を表す関数$y=S\left(x\right)$を書け。
2. Find the monthly salary when a worker sells 25, 40, or 55 skateboards.

   従業員が25台、40台、55台を売った場合の月給を、それぞれ求めよ。
3. Use the INTERSECT feature on a graphing calculator to determine the number of skateboards that must be sold for a worker to earn a monthly income of $1400. (Hint: Find the intersection of the function and the line $y=1400\text{.)}$

   月収1400ドルを得るには何台売る必要があるか、グラフ電卓のINTERSECT（交点）機能を使って求めよ。（ヒント：関数のグラフと直線$y=1400\text{.)}$との交点を求める。）

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

a. $S\left(x\right)=8.5x+750$ b. $962.50, $1090, $1217.50 c. 77 skateboards

ⓐ $S\left(x\right)=8.5x+750$　ⓑ 962.50ドル、1090ドル、1217.50ドル　ⓒ スケートボード77台

Exercise 58問題 58

[T] Use a graphing calculator to graph the half-circle $y=\sqrt{25-{(x-4)}^2}.$ Then, use the INTERCEPT feature to find the value of both the $x$- and $y$-intercepts.

[T] グラフ電卓を使って半円$y=\sqrt{25-{(x-4)}^2}$を描け。次にINTERCEPT（切片）機能を使い、$x$軸および$y$軸との交点を求めよ。

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