第1章関数とグラフ

Combining Functions関数を組み合わせる

Now that we have reviewed the basic characteristics of functions, we can see what happens to these properties when we combine functions in different ways, using basic mathematical operations to create new functions. For example, if the cost for a company to manufacture

x

items is described by the function

C (x)

and the revenue created by the sale of

x

items is described by the function

R (x),

then the profit on the manufacture and sale of

x

items is defined as

P (x) = R (x) - C (x) .

Using the difference between two functions, we created a new function.

英語のヒント

関数の基本的な特徴を復習したので、今度は基本的な数学の演算で関数をさまざまに組み合わせ、新しい関数を作ると、それらの性質がどうなるかを調べよう。たとえば、ある会社が品物を

x

個製造する費用を関数

C (x)

、

x

個販売したときの売上を関数

R (x)

で表すとする。このとき、

x

個の製造と販売による利益は、

P (x) = R (x) - C (x)

と定義される。2つの関数の差を使って、新しい関数を作ったことになる。

Alternatively, we can create a new function by composing two functions. For example, given the functions

f (x) = x^{2}

and

g (x) = 3 x + 1,

the composite function

f \circ g

is defined such that

英語のヒント

別の方法として、2つの関数を合成して新しい関数を作ることもできる。たとえば、関数

f (x) = x^{2}

と

g (x) = 3 x + 1

が与えられたとき、合成関数

f \circ g

を次のように定義する。

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = {(g (x))}^{2} = {(3 x + 1)}^{2} .

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = {(g (x))}^{2} = {(3 x + 1)}^{2}

The composite function

g \circ f

is defined such that

合成関数

g \circ f

は、次のように定義する。

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = 3 f (x) + 1 = 3 x^{2} + 1 .

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = 3 f (x) + 1 = 3 x^{2} + 1

Note that these two new functions are different from each other.

この2つの新しい関数は互いに異なることに注意しよう。

Combining Functions with Mathematical Operators演算記号を使って関数を組み合わせる

To combine functions using mathematical operators, we simply write the functions with the operator and simplify. Given two functions

f

and

g,

we can define four new functions:

英語のヒント

数学の演算を使って関数を組み合わせるには、関数の間に演算記号を書いて式を整理すればよい。2つの関数

f

と

g

が与えられると、次の4つの新しい関数を定義できる。

\begin{matrix} (f + g) (x) = f (x) + g (x) & S u m \\ (f - g) (x) = f (x) - g (x) & Difference \\ (f \cdot g) (x) = f (x) g (x) & P r o d u c t \\ (\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)} for g (x) \neq 0 & Q u o t i e n t \end{matrix}

\begin{matrix} (f + g) (x) = f (x) + g (x) & 和 \\ (f - g) (x) = f (x) - g (x) & 差 \\ (f \cdot g) (x) = f (x) g (x) & 積 \\ (\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)} ただし g (x) \neq 0 & 商 \end{matrix}

Example 1.6例題 1.6

Combining Functions Using Mathematical Operations数学の演算で関数を組み合わせる

Given the functions

f (x) = 2 x - 3

and

g (x) = x^{2} - 1,

find each of the following functions and state its domain.

関数

f (x) = 2 x - 3

と

g (x) = x^{2} - 1

について、次の各関数を求め、その定義域を示せ。

$(f + g) (x)$
$(f + g) (x)$
$(f - g) (x)$
$(f - g) (x)$
$(f \cdot g) (x)$
$(f \cdot g) (x)$
$(\frac{f}{g}) (x)$
$(\frac{f}{g}) (x)$

Solution解き方

$(f + g) (x) = (2 x - 3) + (x^{2} - 1) = x^{2} + 2 x - 4 .$ The domain of this function is the interval $(− \infty, \infty) .$
$(f + g) (x) = (2 x - 3) + (x^{2} - 1) = x^{2} + 2 x - 4$ 。この関数の定義域は区間 $(− \infty, \infty)$ である。
$(f - g) (x) = (2 x - 3) - (x^{2} - 1) = − x^{2} + 2 x - 2 .$ The domain of this function is the interval $(− \infty, \infty) .$
$(f - g) (x) = (2 x - 3) - (x^{2} - 1) = − x^{2} + 2 x - 2$ 。この関数の定義域は区間 $(− \infty, \infty)$ である。
$(f \cdot g) (x) = (2 x - 3) (x^{2} - 1) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 .$ The domain of this function is the interval $(− \infty, \infty) .$
$(f \cdot g) (x) = (2 x - 3) (x^{2} - 1) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3$ 。この関数の定義域は区間 $(− \infty, \infty)$ である。
$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{2 x - 3}{x^{2} - 1} .$ The domain of this function is ${x | x \neq ± 1} .$
$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{2 x - 3}{x^{2} - 1}$ 。この関数の定義域は ${x | x \neq ± 1}$ である。

Function Composition関数の合成

When we compose functions, we take a function of a function. For example, suppose the temperature

T

on a given day is described as a function of time

t

(measured in hours after midnight) as in Table 1.1. Suppose the cost

C,

to heat or cool a building for 1 hour, can be described as a function of the temperature

T .

Combining these two functions, we can describe the cost of heating or cooling a building as a function of time by evaluating

C (T (t)) .

We have defined a new function, denoted

C \circ T,

which is defined such that

(C \circ T) (t) = C (T (t))

for all

t

in the domain of

T .

This new function is called a composite function. We note that since cost is a function of temperature and temperature is a function of time, it makes sense to define this new function

(C \circ T) (t) .

It does not make sense to consider

(T \circ C) (t),

because temperature is not a function of cost.

英語のヒント

関数を合成するとは、ある関数の値に対して別の関数を適用することである。たとえば、表1.1のように、ある日の気温

T

を、午前0時からの経過時間

t

の関数として記述するとしよう。また、建物を1時間暖房・冷房する費用

C

を、気温

T

の関数として記述できるとする。この2つの関数を組み合わせて

C (T (t))

を計算すれば、建物の暖房・冷房費用を時刻の関数として表せる。この新しい関数を

C \circ T

と表し、

T

の定義域内のすべての

t

について

(C \circ T) (t) = C (T (t))

となるように定義する。この新しい関数を合成関数という。費用は気温の関数で、気温は時刻の関数なので、この新しい関数

(C \circ T) (t)

を定義することには意味がある。気温は費用の関数ではないため、

(T \circ C) (t)

を考えることには、この場面では意味がない。

A composite function

g \circ f

can be viewed in two steps. First, the function

f

maps each input

x

in the domain of

f

to its output

f (x)

in the range of

f .

Second, since the range of

f

is a subset of the domain of

g,

the output

f (x)

is an element in the domain of

g,

and therefore it is mapped to an output

g (f (x))

in the range of

g .

In Figure 1.12, we see a visual image of a composite function.

合成関数

g \circ f

は2段階に分けて捉えられる。まず、関数

f

が、

f

の定義域内の各入力

x

を、

f

の値域内の出力

f (x)

へ対応させる。次に、

f

の値域は

g

の定義域の部分集合なので、その出力

f (x)

は

g

の定義域の要素であり、

g

の値域内の出力

g (f (x))

へ対応させられる。図1.12に、合成関数の見取り図を示す。

3段階の集合を描いた図。最初の青い囲みは「fの定義域」と「g∘fの定義域」を兼ね、1、2、3を含む。2番目の段階には「gの定義域」を表すオレンジの囲みがあり、その中に「fの値域」を表す青い囲みがすっぽり入る。青い囲みには0と1が入り、オレンジの囲みにはそれに加えて2と3が入る。3番目の段階には「gの値域」を表すオレンジの囲みがあり、その中に「g∘fの値域」を表す青い囲みが入る。青い囲みには4と5が入り、オレンジの囲みにはそれに加えて3が入る。最初の集合から2番目の青い囲みへ「f」の青い矢印、2番目のオレンジの囲みから3番目のオレンジの囲みへ「g」のオレンジの矢印が向かう。最初の集合から3番目の青い囲みへは「g∘f」の青い矢印が向かう。要素ごとのfの対応は1→0、2→1、3→0で、青い矢印で示される。gの対応は2→3、3→5、0→4、1→5で、オレンジの矢印で示される。 — Figure 1.12図 1.12
For the composite function $g \circ f,$ we have $(g \circ f) (1) = 4, (g \circ f) (2) = 5,$ and $(g \circ f) (3) = 4 .$
合成関数 $g \circ f$ について、 $(g \circ f) (1) = 4, (g \circ f) (2) = 5$ および $(g \circ f) (3) = 4$ となる。

Example 1.7例題 1.7

Compositions of Functions Defined by Formulas式で定義された関数の合成

Consider the functions

f (x) = x^{2} + 1

and

g (x) = 1 / x .

関数

f (x) = x^{2} + 1

と

g (x) = 1 / x

を考えよ。

Find $(g \circ f) (x)$ and state its domain and range.
$(g \circ f) (x)$ を求め、その定義域と値域を示せ。
Evaluate $(g \circ f) (4), (g \circ f) (−1 / 2) .$
$(g \circ f) (4), (g \circ f) (−1 / 2)$ の値を求めよ。
Find $(f \circ g) (x)$ and state its domain and range.
$(f \circ g) (x)$ を求め、その定義域と値域を示せ。
Evaluate $(f \circ g) (4), (f \circ g) (−1 / 2) .$
$(f \circ g) (4), (f \circ g) (−1 / 2)$ の値を求めよ。

Solution解き方

We can find the formula for $(g \circ f) (x)$ in two different ways. We could write
$(g \circ f) (x)$ の式は、2通りの方法で求められる。まず、次のように書ける。

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x^{2} + 1) = \frac{1}{x^{2} + 1} .$
$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x^{2} + 1) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Alternatively, we could write
別の方法では、次のように書ける。

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = \frac{1}{f (x)} = \frac{1}{x^{2} + 1} .$
$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = \frac{1}{f (x)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Since $x^{2} + 1 \neq 0$ for all real numbers $x,$ the domain of $(g \circ f) (x)$ is the set of all real numbers. Since $0 < 1 / (x^{2} + 1) \leq 1,$ the range is, at most, the interval $(0, 1] .$ To show that the range is this entire interval, we let $y = 1 / (x^{2} + 1)$ and solve this equation for $x$ to show that for all $y$ in the interval $(0, 1],$ there exists a real number $x$ such that $y = 1 / (x^{2} + 1) .$ Solving this equation for $x,$ we see that $x^{2} + 1 = 1 / y,$ which implies that
すべての実数 $x$ について $x^{2} + 1 \neq 0$ なので、 $(g \circ f) (x)$ の定義域は実数全体の集合である。 $0 < 1 / (x^{2} + 1) \leq 1$ なので、値域は少なくとも区間 $(0, 1]$ の外へは広がらない。この区間全体が値域であることを示すために、 $y = 1 / (x^{2} + 1)$ とおいて $x$ について解く。それにより、区間 $(0, 1]$ 内のすべての $y$ に対して、 $y = 1 / (x^{2} + 1)$ となる実数 $x$ が存在することを示す。この方程式を $x$ について解くと $x^{2} + 1 = 1 / y$ となり、したがって、

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{y} - 1} .$
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{y} - 1}$

If $y$ is in the interval $(0, 1],$ the expression under the radical is nonnegative, and therefore there exists a real number $x$ such that $1 / (x^{2} + 1) = y .$ We conclude that the range of $g \circ f$ is the interval $(0, 1] .$
英語のヒント
$y$ が区間 $(0, 1]$ にあれば、根号の中の式は0以上である。したがって、 $1 / (x^{2} + 1) = y$ となる実数 $x$ が存在する。よって、 $g \circ f$ の値域は区間 $(0, 1]$ である。
$(g \circ f) (4) = g (f (4)) = g (4^{2} + 1) = g (17) = \frac{1}{17}$
$(g \circ f) (- \frac{1}{2}) = g (f (- \frac{1}{2})) = g ({(- \frac{1}{2})}^{2} + 1) = g (\frac{5}{4}) = \frac{4}{5}$
$(g \circ f) (4) = g (f (4)) = g (4^{2} + 1) = g (17) = \frac{1}{17}$ $(g \circ f) (- \frac{1}{2}) = g (f (- \frac{1}{2})) = g ({(- \frac{1}{2})}^{2} + 1) = g (\frac{5}{4}) = \frac{4}{5}$
We can find a formula for $(f \circ g) (x)$ in two ways. First, we could write
$(f \circ g) (x)$ の式は2通りの方法で求められる。まず、次のように書ける。

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (\frac{1}{x}) = {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 .$
$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (\frac{1}{x}) = {(\frac{1}{x})}^{2} + 1$

Alternatively, we could write
別の方法では、次のように書ける。

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = {(g (x))}^{2} + 1 = {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 .$
$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = {(g (x))}^{2} + 1 = {(\frac{1}{x})}^{2} + 1$

The domain of $f \circ g$ is the set of all real numbers $x$ such that $x \neq 0 .$ To find the range of $f \circ g$ we need to find all values $y$ for which there exists a real number $x \neq 0$ such that
$f \circ g$ の定義域は、 $x \neq 0$ を満たす実数 $x$ すべての集合である。 $f \circ g$ の値域を求めるため、次の条件を満たす実数 $x \neq 0$ が存在するような $y$ の値をすべて求める。

${(\frac{1}{x})}^{2} + 1 = y .$
${(\frac{1}{x})}^{2} + 1 = y$

Solving this equation for $x,$ we see that we need $x$ to satisfy
この方程式を $x$ について解くと、 $x$ は次の条件を満たす必要がある。

${(\frac{1}{x})}^{2} = y - 1,$
${(\frac{1}{x})}^{2} = y - 1$

which simplifies to
これを整理すると、

$\frac{1}{x} = \pm \sqrt{y - 1} .$
$\frac{1}{x} = \pm \sqrt{y - 1}$

Finally, we obtain
最終的に、次を得る。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{y - 1}} .$
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{y - 1}}$

Since $1 / \sqrt{y - 1}$ is a real number if and only if $y > 1,$ the range of $f \circ g$ is the set ${y | y > 1} .$
$1 / \sqrt{y - 1}$ が実数になるための必要十分条件は $y > 1$ なので、 $f \circ g$ の値域は集合 ${y | y > 1}$ である。
$(f \circ g) (4) = f (g (4)) = f (\frac{1}{4}) = {(\frac{1}{4})}^{2} + 1 = \frac{17}{16}$
$(f \circ g) (- \frac{1}{2}) = f (g (- \frac{1}{2})) = f (−2) = {(−2)}^{2} + 1 = 5$
$(f \circ g) (4) = f (g (4)) = f (\frac{1}{4}) = {(\frac{1}{4})}^{2} + 1 = \frac{17}{16}$ $(f \circ g) (- \frac{1}{2}) = f (g (- \frac{1}{2})) = f (−2) = {(−2)}^{2} + 1 = 5$

In Example 1.7, we can see that

(f \circ g) (x) \neq (g \circ f) (x) .

This tells us, in general terms, that the order in which we compose functions matters.

英語のヒント

例題1.7では、

(f \circ g) (x) \neq (g \circ f) (x)

であることがわかる。一般に、関数を合成するときには、その順序が重要である。

Example 1.8例題 1.8

Composition of Functions Defined by Tables表で定義された関数の合成

Consider the functions

f

and

g

described by Table 1.4 and Table 1.5.

表1.4と表1.5で与えられた関数

f

と

g

を考えよ。

Table 1.4表 1.4
$x$	$−3$	$−2$	$−1$	0	1	2	3	4
$f (x)$	0	4	2	4	$−2$	0	$−2$	4

Table 1.5表 1.5
$x$	$−4$	$−2$	0	2	4
$g (x)$	1	0	3	0	5

Evaluate $(g \circ f) (3), (g \circ f) (0) .$
$(g \circ f) (3), (g \circ f) (0)$ の値を求めよ。
State the domain and range of $(g \circ f) (x) .$
$(g \circ f) (x)$ の定義域と値域を示せ。
Evaluate $(f \circ f) (3), (f \circ f) (1) .$
$(f \circ f) (3), (f \circ f) (1)$ の値を求めよ。
State the domain and range of $(f \circ f) (x) .$
$(f \circ f) (x)$ の定義域と値域を示せ。

Solution解き方

$(g \circ f) (3) = g (f (3)) = g (−2) = 0$
$(g \circ f) (0) = g (4) = 5$
$(g \circ f) (3) = g (f (3)) = g (−2) = 0$ $(g \circ f) (0) = g (4) = 5$
The domain of $g \circ f$ is the set ${−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} .$ Since the range of $f$ is the set ${−2, 0, 2, 4},$ the range of $g \circ f$ is the set ${0, 3, 5} .$
$g \circ f$ の定義域は集合 ${−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}$ である。 $f$ の値域は集合 ${−2, 0, 2, 4}$ なので、 $g \circ f$ の値域は集合 ${0, 3, 5}$ である。
$(f \circ f) (3) = f (f (3)) = f (−2) = 4$
$(f \circ f) (1) = f (f (1)) = f (−2) = 4$
$(f \circ f) (3) = f (f (3)) = f (−2) = 4$ $(f \circ f) (1) = f (f (1)) = f (−2) = 4$
The domain of $f \circ f$ is the set ${−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} .$ Since the range of $f$ is the set ${−2, 0, 2, 4},$ the range of $f \circ f$ is the set ${0, 4} .$
$f \circ f$ の定義域は集合 ${−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}$ である。 $f$ の値域は集合 ${−2, 0, 2, 4}$ なので、 $f \circ f$ の値域は集合 ${0, 4}$ である。

Example 1.9例題 1.9

Application Involving a Composite Function合成関数を使う応用例

A store is advertising a sale of

20 %

off all merchandise. Caroline has a coupon that entitles her to an additional

15 %

off any item, including sale merchandise. If Caroline decides to purchase an item with an original price of

x

dollars, how much will she end up paying if she applies her coupon to the sale price? Solve this problem by using a composite function.

英語のヒント

ある店が、すべての商品を

20 %

引きにするセールを宣伝している。キャロラインは、セール品を含むどの商品でも、さらに

15 %

引きになるクーポンを持っている。元の価格が

x

ドルの商品を買い、セール価格にクーポンを適用すると、最終的にいくら支払うことになるか。合成関数を使って解け。

Solution解き方

Since the sale price is

20 %

off the original price, if an item is

x

dollars, its sale price is given by

f (x) = 0.80 x .

Since the coupon entitles an individual to

15 %

off the price of any item, if an item is

y

dollars, the price, after applying the coupon, is given by

g (y) = 0.85 y .

Therefore, if the price is originally

x

dollars, its sale price will be

f (x) = 0.80 x

and then its final price after the coupon will be

g (f (x)) = 0.85 (0.80 x) = 0.68 x .

セール価格は元の価格の

20 %

引きなので、

x

ドルの商品なら、セール価格は

f (x) = 0.80 x

で与えられる。クーポンを使うとどの商品も価格の

15 %

引きになるので、

y

ドルの商品なら、適用後の価格は

g (y) = 0.85 y

で与えられる。したがって、元の価格が

x

ドルなら、セール価格は

f (x) = 0.80 x

、さらにクーポン適用後の最終価格は

g (f (x)) = 0.85 (0.80 x) = 0.68 x

となる。

Checkpoint 1.6確認問題 1.6

If items are on sale for

10 %

off their original price, and a customer has a coupon for an additional

30 %

off, what will be the final price for an item that is originally

x

dollars, after applying the coupon to the sale price?

商品が元の価格の

10 %

引きで販売され、客がさらに

30 %

引きになるクーポンを持っている。元の価格が

x

ドルの商品について、セール価格にクーポンを適用した後の最終価格はいくらか。

Solution解き方

(g \circ f) (x) = 0.63 x

(g \circ f) (x) = 0.63 x