第1章関数とグラフ

Symmetry of Functions関数の対称性

The graphs of certain functions have symmetry properties that help us understand the function and the shape of its graph. For example, consider the function

f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 3

shown in Figure 1.13(a). If we take the part of the curve that lies to the right of the y-axis and flip it over the y-axis, it lays exactly on top of the curve to the left of the y-axis. In this case, we say the function has symmetry about the y-axis. On the other hand, consider the function

f (x) = x^{3} - 4 x

shown in Figure 1.13(b). If we take the graph and rotate it

180 °

about the origin, the new graph will look exactly the same. In this case, we say the function has symmetry about the origin.

英語のヒント

ある種の関数のグラフには、関数そのものやグラフの形を理解する助けとなる対称性がある。たとえば、図1.13(a)の関数

f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 3

を考えよう。y軸の右側の曲線をy軸に関して折り返すと、左側の曲線にぴったり重なる。この場合、関数はy軸に関して対称であるという。これに対して、図1.13(b)の関数

f (x) = x^{3} - 4 x

を考えよう。このグラフを原点のまわりに

180 °

回転すると、もとのグラフとまったく同じになる。この場合、関数は原点に関して対称であるという。

2つのグラフ。(a)は「y軸に関して対称」と記された関数「f(x) = x⁴ − 2x² − 3」の曲線である。横軸は−3から4、縦軸は−4から5。曲線は最小点(−1, −4)まで減少し、極大点(0, −3)まで増加した後、(1, −4)まで減少し、その後再び増加する。 (b)は「原点に関して対称」と記された関数「f(x) = x³ − 4x」の曲線である。横軸は−3から4、縦軸は−4から5。x軸との交点(−2, 0)から、およそ(−1.2, 3.1)まで増加した後、原点を通っておよそ(1.2, −3.1)まで減少する。その後再び増加し、(2, 0)でx軸と交わる。 — Figure 1.13図 1.13
(a) A graph that is symmetric about the $y$ -axis. (b) A graph that is symmetric about the origin.
(a) $y$ 軸に関して対称なグラフ。(b) 原点に関して対称なグラフ。

If we are given the graph of a function, it is easy to see whether the graph has one of these symmetry properties. But without a graph, how can we determine algebraically whether a function

f

has symmetry? Looking at Figure 1.13 again, we see that since

f

is symmetric about the

y

-axis, if the point

(x, y)

is on the graph, the point

(− x, y)

is on the graph. In other words,

f (− x) = f (x) .

If a function

f

has this property, we say

f

is an even function, which has symmetry about the y-axis. For example,

f (x) = x^{2}

is even because

英語のヒント

関数のグラフが与えられれば、これらの対称性の有無は見ればわかる。しかし、グラフがない場合に、関数

f

が対称性を持つかどうかを、代数的にどう判定すればよいだろうか。図1.13をもう一度見ると、

f

は

y

軸に関して対称なので、点

(x, y)

がグラフ上にあれば、点

(− x, y)

もグラフ上にある。言い換えると

f (− x) = f (x)

である。関数

f

がこの性質を持つとき、

f

を偶関数という。偶関数はy軸に関して対称である。たとえば、

f (x) = x^{2}

は偶関数である。なぜなら、

f (− x) = {(− x)}^{2} = x^{2} = f (x) .

f (− x) = {(− x)}^{2} = x^{2} = f (x)

In contrast, looking at Figure 1.13 again, if a function

f

is symmetric about the origin, then whenever the point

(x, y)

is on the graph, the point

(− x, − y)

is also on the graph. In other words,

f (− x) = − f (x) .

f

has this property, we say

f

is an odd function, which has symmetry about the origin. For example,

f (x) = x^{3}

is odd because

英語のヒント

一方、図1.13をもう一度見ると、関数

f

が原点に関して対称なら、点

(x, y)

がグラフ上にあるとき、点

(− x, − y)

も常にグラフ上にある。言い換えると

f (− x) = − f (x)

である。

f

がこの性質を持つとき、

f

を奇関数という。奇関数は原点に関して対称である。たとえば、

f (x) = x^{3}

は奇関数である。なぜなら、

f (− x) = {(− x)}^{3} = − x^{3} = − f (x) .

f (− x) = {(− x)}^{3} = − x^{3} = − f (x)

Example 1.10例題 1.10

Even and Odd Functions偶関数と奇関数

Determine whether each of the following functions is even, odd, or neither.

次の各関数が偶関数、奇関数、そのどちらでもないもののいずれかを判定せよ。

$f (x) = −5 x^{4} + 7 x^{2} - 2$
$f (x) = −5 x^{4} + 7 x^{2} - 2$
$f (x) = 2 x^{5} - 4 x + 5$
$f (x) = 2 x^{5} - 4 x + 5$
$f (x) = \frac{3 x}{x^{2} + 1}$
$f (x) = \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Solution解き方

To determine whether a function is even or odd, we evaluate

f (− x)

and compare it to f(x) and

− f (x) .

関数が偶関数か奇関数かを判定するには、

f (− x)

を計算し、f(x)および

− f (x)

と比較する。

$f (− x) = −5 {(− x)}^{4} + 7 {(− x)}^{2} - 2 = −5 x^{4} + 7 x^{2} - 2 = f (x) .$ Therefore, $f$ is even.
$f (− x) = −5 {(− x)}^{4} + 7 {(− x)}^{2} - 2 = −5 x^{4} + 7 x^{2} - 2 = f (x)$ 。したがって、 $f$ は偶関数である。
$f (− x) = 2 {(− x)}^{5} - 4 (− x) + 5 = −2 x^{5} + 4 x + 5 .$ Now, $f (− x) \neq f (x) .$ Furthermore, noting that $− f (x) = −2 x^{5} + 4 x - 5,$ we see that $f (− x) \neq − f (x) .$ Therefore, $f$ is neither even nor odd.
$f (− x) = 2 {(− x)}^{5} - 4 (− x) + 5 = −2 x^{5} + 4 x + 5$ となり、 $f (− x) \neq f (x)$ である。さらに、 $− f (x) = −2 x^{5} + 4 x - 5$ であることから、 $f (− x) \neq − f (x)$ もわかる。したがって、 $f$ は偶関数でも奇関数でもない。
$f (− x) = 3 (− x) / ({(− x)}^{2} + 1) = −3 x / (x^{2} + 1) = − [3 x / (x^{2} + 1)] = − f (x) .$ Therefore, $f$ is odd.
$f (− x) = 3 (− x) / ({(− x)}^{2} + 1) = −3 x / (x^{2} + 1) = − [3 x / (x^{2} + 1)] = − f (x)$ 。したがって、 $f$ は奇関数である。

One symmetric function that arises frequently is the absolute value function, written as

| x | .

The absolute value function is defined as

英語のヒント

よく現れる対称な関数の1つが、

| x |

と書く絶対値関数である。絶対値関数は次のように定義する。

f (x) = {\begin{matrix} − x, x < 0 \\ x, x \geq 0 \end{matrix} .

f (x) = {\begin{matrix} − x, x < 0 \\ x, x \geq 0 \end{matrix}

(1.2)

Some students describe this function by stating that it “makes everything positive.” By the definition of the absolute value function, we see that if

x < 0,

then

| x | = − x > 0,

and if

x > 0,

then

| x | = x > 0 .

However, for

x = 0, | x | = 0 .

Therefore, it is more accurate to say that for all nonzero inputs, the output is positive, but if

x = 0,

the output

| x | = 0 .

We conclude that the range of the absolute value function is

{y | y \geq 0} .

In Figure 1.14, we see that the absolute value function is symmetric about the y-axis and is therefore an even function.

英語のヒント

この関数を「すべてを正にするもの」と説明する人もいる。絶対値関数の定義を見ると、

x < 0

なら

| x | = − x > 0

、

x > 0

なら

| x | = x > 0

となる。しかし、

x = 0

| x | = 0

である。したがって、より正確には「0でない入力に対して出力は正になるが、

x = 0

なら出力は

| x | = 0

になる」というべきである。絶対値関数の値域は

{y | y \geq 0}

である。図1.14のとおり、絶対値関数はy軸に関して対称なので、偶関数である。

横軸が−3から3、縦軸が−4から4のグラフ。関数「f(x) = |x|」は、点(−3, 3)から原点まで直線的に減少し、そこから点(3, 3)まで直線的に増加する。 — Figure 1.14図 1.14
The graph of $f (x) = | x |$ is symmetric about the $y$ -axis.
$f (x) = | x |$ のグラフは $y$ 軸に関して対称である。

Example 1.11例題 1.11

Working with the Absolute Value Function絶対値関数を扱う

Find the domain and range of the function

f (x) = 2 | x - 3 | + 4 .

関数

f (x) = 2 | x - 3 | + 4

の定義域と値域を求めよ。

Solution解き方

Since the absolute value function is defined for all real numbers, the domain of this function is

(− \infty, \infty) .

Since

| x - 3 | \geq 0

for all

x,

the function

f (x) = 2 | x - 3 | + 4 \geq 4 .

Therefore, the range is, at most, the set

{y | y \geq 4} .

To see that the range is, in fact, this whole set, we need to show that for

y \geq 4

there exists a real number

x

such that

絶対値関数はすべての実数で定義されるので、この関数の定義域は

(− \infty, \infty)

である。すべての

x

について

| x - 3 | \geq 0

なので、

f (x) = 2 | x - 3 | + 4 \geq 4

となる。したがって、値域は集合

{y | y \geq 4}

の外には広がらない。この集合全体が実際に値域になることを確かめるには、

y \geq 4

に対して、次の式を満たす実数

x

が存在することを示す必要がある。

2 | x - 3 | + 4 = y .

2 | x - 3 | + 4 = y

A real number

x

satisfies this equation as long as

実数

x

が次の条件を満たせば、この方程式が成り立つ。

| x - 3 | = \frac{1}{2} (y - 4) .

| x - 3 | = \frac{1}{2} (y - 4)

Since

y \geq 4,

we know

y - 4 \geq 0,

and thus the right-hand side of the equation is nonnegative, so it is possible that there is a solution. Furthermore,

y \geq 4

なので

y - 4 \geq 0

であり、方程式の右辺は0以上である。したがって、解が存在する可能性がある。さらに、

| x - 3 | = {\begin{matrix} - (x - 3) if x < 3 \\ x - 3 if x \geq 3 \end{matrix} .

| x - 3 | = {\begin{matrix} - (x - 3) ただし x < 3 \\ x - 3 ただし x \geq 3 \end{matrix}

Therefore, we see there are two solutions:

したがって、次の2つの解が得られる。

x = \pm \frac{1}{2} (y - 4) + 3 .

x = \pm \frac{1}{2} (y - 4) + 3

The range of this function is

{y | y \geq 4} .

この関数の値域は

{y | y \geq 4}

である。