第1章関数とグラフ

Key Concepts重要な概念

• For a function to have an inverse, the function must be one-to-one. Given the graph of a function, we can determine whether the function is one-to-one by using the horizontal line test.

  関数が逆関数を持つためには、一対一でなければならない。グラフが与えられたときは、水平線テストで一対一かどうかを判定できる。
• If a function is not one-to-one, we can restrict the domain to a smaller domain where the function is one-to-one and then define the inverse of the function on the smaller domain.

  一対一でない関数も、一対一になる小さな範囲に定義域を制限すれば、その範囲における逆関数を定義できる。
• For a function $f$ and its inverse $f^{\mathrm{-1}},f\left(f^{\mathrm{-1}}\left(x\right)\right)=x$ for all $x$ in the domain of $f^{\mathrm{-1}}$ and $f^{\mathrm{-1}}\left(f\left(x\right)\right)=x$ for all $x$ in the domain of $f.$

  関数$f$とその逆関数$f^{\mathrm{-1}}$$f\left(f^{\mathrm{-1}}\left(x\right)\right)=x$が、$f^{\mathrm{-1}}$の定義域内のすべての$x$で成り立つ。また、$f$の定義域内のすべての$x$で$f^{\mathrm{-1}}\left(f\left(x\right)\right)=x$が成り立つ。
• Since the trigonometric functions are periodic, we need to restrict their domains to define the inverse trigonometric functions.

  三角関数は周期関数なので、逆三角関数を定義するには定義域を制限する必要がある。
• The graph of a function $f$ and its inverse $f^{\mathrm{-1}}$ are symmetric about the line $y=x.$

  関数$f$のグラフと逆関数$f^{\mathrm{-1}}$のグラフは、直線$y=x$について対称である。

Key Equations重要な式

Exercises 183–188練習問題 183–188

For the following exercises, use the horizontal line test to determine whether each of the given graphs is one-to-one.

次の問題では、水平線テストを使い、与えられた各グラフが一対一の関数かどうかを判定せよ。

Exercise 183問題 183

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

Not one-to-one

一対一ではない。

Exercise 184問題 184

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Exercise 185問題 185

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

Not one-to-one

一対一ではない。

Exercise 186問題 186

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 187問題 187

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

One-to-one

一対一である。

Exercise 188問題 188

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercises 195–198練習問題 195–198

For the following exercises, use the graph of $f$ to sketch the graph of its inverse function.

次の問題では、$f$のグラフを使って、その逆関数のグラフを描け。

Exercise 195問題 195

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Solution解き方

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 196問題 196

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 197問題 197

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 198問題 198

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercises 207–228練習問題 207–228

For the following exercises, evaluate the functions. Give the exact value.

次の問題では、関数の値を厳密な値で求めよ。

Exercise 207問題 207

${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Solution解き方

$\frac{\pi }{6}$

$\frac{\pi }{6}$

Exercise 208問題 208

${\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

${\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Exercise 209問題 209

${\text{cot}}^{\mathrm{-1}}\left(1\right)$

${\text{cot}}^{\mathrm{-1}}\left(1\right)$

Solution解き方

$\frac{\pi }{4}$

$\frac{\pi }{4}$

Exercise 210問題 210

${\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(\mathrm{-1}\right)$

${\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(\mathrm{-1}\right)$

Exercise 211問題 211

${\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

${\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Solution解き方

$\frac{\pi }{6}$

$\frac{\pi }{6}$

Exercise 212問題 212

$\text{cos}\left({\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\sqrt{3}\right)\right)$

$\text{cos}\left({\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\sqrt{3}\right)\right)$

Exercise 213問題 213

$\text{sin}\left({\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$

$\text{sin}\left({\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$

Solution解き方

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Exercise 214問題 214

${\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{sin}\left(\frac{\pi }{3}\right)\right)$

${\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{sin}\left(\frac{\pi }{3}\right)\right)$

Exercise 215問題 215

${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{tan}\left(-\frac{\pi }{6}\right)\right)$

${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{tan}\left(-\frac{\pi }{6}\right)\right)$

Solution解き方

$-\frac{\pi }{6}$

$-\frac{\pi }{6}$

Exercise 216問題 216

The function $C=T\left(F\right)=(5\text{/}9)\left(F-32\right)$ converts degrees Fahrenheit to degrees Celsius.

関数$C=T\left(F\right)=(5\text{/}9)\left(F-32\right)$は華氏を摂氏に換算する。

1. Find the inverse function $F=T^{\mathrm{-1}}(C)$

   逆関数$F=T^{\mathrm{-1}}(C)$を求めよ。
2. What is the inverse function used for?

   この逆関数は何に使うものか。

Exercise 217問題 217

[T] The velocity V (in centimeters per second) of blood in an artery at a distance x cm from the center of the artery can be modeled by the function $V=f(x)=500(0.04-x^2)$ for $0\le x\le 0.2.$

英語のヒント

[T] 動脈の中心からx cm離れた位置での血液の速さV（cm/秒）は、$0\le x\le 0.2$の範囲で関数$V=f(x)=500(0.04-x^2)$によりモデル化できる。

1. Find $x=f^{\mathrm{-1}}(V).$

   $x=f^{\mathrm{-1}}(V)$を求めよ。
2. Interpret what the inverse function is used for.

   この逆関数が何を求めるためのものか、説明せよ。
3. Find the distance from the center of an artery with a velocity of 15 cm/sec, 10 cm/sec, and 5 cm/sec.

   血液の速さが15 cm/秒、10 cm/秒、5 cm/秒となる位置について、動脈の中心からの距離を求めよ。

Solution解き方

a. $x=f^{\mathrm{-1}}\left(V\right)=\sqrt{0.04-\frac{V}{500}}$ b. The inverse function determines the distance from the center of the artery at which blood is flowing with velocity V. c. 0.1 cm; 0.14 cm; 0.17 cm

a. $x=f^{\mathrm{-1}}\left(V\right)=\sqrt{0.04-\frac{V}{500}}$　b. この逆関数は、血液が速さVで流れている位置が、動脈の中心からどれだけ離れているかを求める。　c. 0.1 cm、0.14 cm、0.17 cm。

Exercise 218問題 218

A function that converts dress sizes in the United States to those in Europe is given by $D\left(x\right)=2x+24.$

米国のドレスのサイズをヨーロッパのサイズに換算する関数が、$D\left(x\right)=2x+24$で与えられる。

1. Find the European dress sizes that correspond to sizes 6, 8, 10, and 12 in the United States.

   米国のサイズ6、8、10、12に対応する、ヨーロッパのサイズを求めよ。
2. Find the function that converts European dress sizes to U.S. dress sizes.

   ヨーロッパのサイズを米国のサイズに換算する関数を求めよ。
3. Use part b. to find the dress sizes in the United States that correspond to 46, 52, 62, and 70.

   bを使って、ヨーロッパのサイズ46、52、62、70に対応する米国のサイズを求めよ。

Exercise 219問題 219

[T] The cost to remove a toxin from a lake is modeled by the function

[T] 湖から有害物質を除去する費用は、次の関数でモデル化される。

$C(p)=75p\text{/}(85-p),$ where $C$ is the cost (in thousands of dollars) and $p$ is the amount of toxin in a small lake (measured in parts per billion [ppb]). This model is valid only when the amount of toxin is less than 85 ppb.

英語のヒント

$C(p)=75p\text{/}(85-p)$。ここで、$C$は費用（千ドル）、$p$は小さな湖から除去する有害物質の量（濃度換算でppb、10億分の1）である。このモデルは、有害物質の量が85 ppb未満の場合だけ有効である。

1. Find the cost to remove 25 ppb, 40 ppb, and 50 ppb of the toxin from the lake.

   湖から有害物質を25 ppb、40 ppb、50 ppb除去する費用を求めよ。
2. Find the inverse function. c. Use part b. to determine how much of the toxin is removed for $50,000.

   b. 逆関数を求めよ。c. bを使って、50,000ドルで除去できる有害物質の量を求めよ。

Solution解き方

a. $31,250, $66,667, $107,143 b. $\left(p=\frac{85C}{C+75}\right)$ c. 34 ppb

a. 31,250ドル、約66,667ドル、約107,143ドル。　b. $\left(p=\frac{85C}{C+75}\right)$　c. 34 ppb。

Exercise 220問題 220

[T] A race car is accelerating at a velocity given by

[T] レーシングカーが加速しており、その速度は次の関数で与えられる。

$v(t)=\frac{25}{4}t+54,$ where v is the velocity (in feet per second) at time t.

$v(t)=\frac{25}{4}t+54$。ここで、vは時刻tにおける速度（ft/秒）である。

1. Find the velocity of the car at 10 sec.

   10秒後の自動車の速度を求めよ。
2. Find the inverse function.

   逆関数を求めよ。
3. Use part b. to determine how long it takes for the car to reach a speed of 150 ft/sec.

   bを使って、速さが150 ft/秒に達するまでの時間を求めよ。

Exercise 221問題 221

[T] An airplane’s Mach number M is the ratio of its speed to the speed of sound. When a plane is flying at a constant altitude, then its Mach angle is given by $\mu =2{\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{1}{M}\right).$

英語のヒント

[T] 飛行機のマッハ数Mは、音速に対する飛行速度の比である。一定の高度を飛ぶとき、この設問で用いる角は$\mu =2{\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{1}{M}\right)$で与えられる。

Find the Mach angle (to the nearest degree) for the following Mach numbers.

次のマッハ数に対する角を、最も近い整数の度数で求めよ。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

1. $M=1.4$

   $M=1.4$
2. $M=2.8$

   $M=2.8$
3. $M=4.3$

   $M=4.3$

Solution解き方

a. $~92\text{°}$ b. $~42\text{°}$ c. $~27\text{°}$

a. $~92\text{°}$　b. $~42\text{°}$　c. $~27\text{°}$。

Exercise 222問題 222

[T] Using $\mu =2{\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{1}{M}\right),$ find the Mach number M for the following angles.

[T] $\mu =2{\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{1}{M}\right)$を用い、次の角に対応するマッハ数Mを求めよ。

1. $\mu =\frac{\pi }{6}$

   $\mu =\frac{\pi }{6}$
2. $\mu =\frac{2\pi }{7}$

   $\mu =\frac{2\pi }{7}$
3. $\mu =\frac{3\pi }{8}$

   $\mu =\frac{3\pi }{8}$

Exercise 223問題 223

[T] The average temperature (in degrees Celsius) of a city in the northern United States can be modeled by the function

[T] 米国北部のある都市の平均気温（摂氏）は、次の関数でモデル化できる。

$T\left(x\right)=5+18\text{sin}\left[\frac{\pi }{6}\left(x-4.6\right)\right],$ where $x$ is time in months and $x=1.00$ corresponds to January 1. Determine the day(s) (month and day) when the average temperature is $21\text{°}\text{C}.$ Use the integer portion of your answer(s) as the month and calculate the day of the month from the decimal portion.

$T\left(x\right)=5+18\text{sin}\left[\frac{\pi }{6}\left(x-4.6\right)\right]$。$x$は月を単位とする時間で、$x=1.00$は1月1日に対応する。平均気温が$21\text{°}\text{C}$となる日を、月日で求めよ。答えの整数部分を月とし、小数部分からその月の何日かを計算すること。

Solution解き方

$x\approx 6.69,8.51;$ so, the temperature occurs on June 21 and August 15

$x\approx 6.69,8.51$なので、その気温になるのは6月21日と8月15日である。

Exercise 224問題 224

[T] The depth (in feet) of water at a dock changes with the rise and fall of tides. It is modeled by the function

[T] 波止場の水深（フィート）は潮の満ち引きで変化する。次の関数でモデル化される。

$D\left(t\right)=5\text{sin}\left(\frac{\pi }{6}t-\frac{7\pi }{6}\right)+8,$ where $t$ is the number of hours after midnight. Determine the first time after midnight when the depth is 11.75 ft.

$D\left(t\right)=5\text{sin}\left(\frac{\pi }{6}t-\frac{7\pi }{6}\right)+8$。$t$は午前0時からの経過時間である。午前0時を過ぎて初めて水深が11.75 ftになる時刻を求めよ。

Exercise 225問題 225

[T] An object moving in simple harmonic motion is modeled by the function

[T] 単振動する物体の位置は、次の関数でモデル化される。

$s\left(t\right)=\mathrm{-6}\text{cos}\left(\frac{\pi t}{2}\right),$ where $s$ is measured in inches and $t$ is measured in seconds. Determine the first time when the distance moved is 4.5 in.

$s\left(t\right)=\mathrm{-6}\text{cos}\left(\frac{\pi t}{2}\right)$。$s$の単位はインチ、$t$の単位は秒である。変位が初めて4.5 inになる時刻を求めよ。

Solution解き方

$~1.5\text{sec}$

$~1.5\text{sec}$

Exercise 226問題 226

[T] A local art gallery has a portrait 3 ft in height that is hung 2.5 ft above the eye level of an average person. The viewing angle $\theta$ can be modeled by the function

英語のヒント

[T] 地元の美術館に、高さ3 ftの肖像画がある。絵の下端は、平均的な人の目の高さより2.5 ft上にある。絵の上端と下端を見込む角$\theta$は、次の関数でモデル化できる。

$\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\frac{5.5}{x}-{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\frac{2.5}{x},$ where $x$ is the distance (in feet) from the portrait. Find the viewing angle when a person is 4 ft from the portrait.

$\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\frac{5.5}{x}-{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\frac{2.5}{x}$。$x$は絵からの水平距離（フィート）である。人が絵から4 ft離れているときの見込む角を求めよ。

Exercise 227問題 227

[T] Use a calculator to evaluate ${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{tan}(2.1)\right)$ and ${\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{cos}(2.1)\right).$ Explain the results of each.

[T] 電卓で${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{tan}(2.1)\right)$と${\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{cos}(2.1)\right)$の値を求め、それぞれの結果を説明せよ。

Solution解き方

${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{tan}(2.1)\right)\approx -1.0416;$ the expression does not equal 2.1 since $2.1>\frac{\pi }{2}\approx 1.57$—in other words, it is not in the restricted domain of $\text{tan}x.{\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{cos}(2.1)\right)=2.1,$ since 2.1 is in the restricted domain of $\text{cos}x.$

${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{tan}(2.1)\right)\approx -1.0416$である。2.1に戻らないのは、$2.1>\frac{\pi }{2}\approx 1.57$で、$\text{tan}x$${\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{cos}(2.1)\right)=2.1$。後者で2.1に戻るのは、2.1が$\text{cos}x$の制限された定義域に入るためである。

Exercise 228問題 228

[T] Use a calculator to evaluate $\text{sin}({\text{sin}}^{\mathrm{-1}}(\mathrm{-2}))$ and $\text{tan}({\text{tan}}^{\mathrm{-1}}(\mathrm{-2})).$ Explain the results of each.

[T] 電卓で$\text{sin}({\text{sin}}^{\mathrm{-1}}(\mathrm{-2}))$と$\text{tan}({\text{tan}}^{\mathrm{-1}}(\mathrm{-2}))$の値を求め、それぞれの結果を説明せよ。