第1章関数とグラフ

1.3 Trigonometric Functions1.3　三角関数

Learning Objectives学習目標

Convert angle measures between degrees and radians.
度とラジアンで表した角を相互に換算する。
Recognize the triangular and circular definitions of the basic trigonometric functions.
基本的な三角関数の、三角形と円を用いた定義を理解する。
Write the basic trigonometric identities.
三角関数の基本的な恒等式を書く。
Identify the graphs and periods of the trigonometric functions.
三角関数のグラフと周期を見分ける。
Describe the shift of a sine or cosine graph from the equation of the function.
関数の式から、正弦曲線や余弦曲線の移動を説明する。

Trigonometric functions are used to model many phenomena, including sound waves, vibrations of strings, alternating electrical current, and the motion of pendulums. In fact, almost any repetitive, or cyclical, motion can be modeled by some combination of trigonometric functions. In this section, we define the six basic trigonometric functions and look at some of the main identities involving these functions.

英語のヒント

三角関数は、音波、弦の振動、交流電流、振り子の運動など、多くの現象をモデル化するために使われる。実際、繰り返し起こる運動や周期的な運動のほとんどは、三角関数の組合せでモデル化できる。この節では、基本的な6つの三角関数を定義し、それらについての主な恒等式を調べる。

Radian Measure弧度法

To use trigonometric functions, we first must understand how to measure the angles. Although we can use both radians and degrees, radians are a more natural measurement because they are related directly to the unit circle, a circle with radius 1. The radian measure of an angle is defined as follows. Given an angle

θ,

let

s

be the length of the corresponding arc on the unit circle (Figure 1.30). We say the angle corresponding to the arc of length 1 has radian measure 1.

英語のヒント

三角関数を使うには、まず角の測り方を理解する必要がある。角はラジアンでも度でも表せるが、ラジアンのほうが自然な測り方である。半径1の円である単位円と直接結びついているためである。角のラジアンによる大きさを、次のように定義する。角

θ

が与えられたとき、単位円上の対応する弧の長さを

s

とする（図1.30）。長さ1の弧に対応する角を、1ラジアンという。

円の中心から、右への水平な半径と、右上への斜めの半径が引かれている。どちらも長さ1。円周上の2つの端点を結ぶ弧にはsと表示され、水平な半径から斜めの半径へ向かう矢印には「θ = s radians（sラジアン）」と表示されている。 — Figure 1.30図 1.30
The radian measure of an angle $θ$ is the arc length $s$ of the associated arc on the unit circle.
角 $θ$ のラジアンによる大きさは、単位円上で対応する弧の長さ $s$ である。

Since an angle of

360 °

corresponds to the circumference of a circle, or an arc of length

2 π,

we conclude that an angle with a degree measure of

360 °

has a radian measure of

2 π .

Similarly, we see that

180 °

is equivalent to

π

radians. Table 1.8 shows the relationship between common degree and radian values.

360 °

の角は円周全体、つまり長さ

2 π

の弧に対応するので、度で表した

360 °

はラジアンでは

2 π

となる。同様に、

180 °

は

π

ラジアンに相当する。表1.8に、よく使う角を度とラジアンで表したときの対応を示す。

Common Angles Expressed in Degrees and Radiansよく使う角の度数法と弧度法による表示

Table 1.8表 1.8
Degrees 度	Radians ラジアン	Degrees 度	Radians ラジアン
0	0	120	$2 π / 3$
30	$π / 6$	135	$3 π / 4$
45	$π / 4$	150	$5 π / 6$
60	$π / 3$	180	$π$
90	$π / 2$

Example 1.22例題 1.22

Converting between Radians and Degreesラジアンと度を換算する

Express $225 °$ using radians.
$225 °$ をラジアンで表せ。
Express $5 π / 3$ rad using degrees.
$5 π / 3$ radを度で表せ。

Solution解き方

Use the fact that

180 °

is equivalent to

π

radians as a conversion factor:

1 = \frac{π rad}{180 °} = \frac{180 °}{π rad} .

英語のヒント

180 °

と

π

ラジアンが等しいことを使って換算する。換算係数は

1 = \frac{π rad}{180 °} = \frac{180 °}{π rad}

である。

$225 ° = 225 ° \cdot \frac{π}{180 °} = \frac{5 π}{4}$ rad
$225 ° = 225 ° \cdot \frac{π}{180 °} = \frac{5 π}{4}$ rad。
$\frac{5 π}{3}$ rad = $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{180 °}{π} = 300 °$
$\frac{5 π}{3}$ rad = $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{180 °}{π} = 300 °$ 。

The Six Basic Trigonometric Functions基本的な6つの三角関数

Trigonometric functions allow us to use angle measures, in radians or degrees, to find the coordinates of a point on any circle—not only on a unit circle—or to find an angle given a point on a circle. They also define the relationship among the sides and angles of a triangle.

三角関数を使うと、ラジアンや度で表した角から円上の点の座標を求めたり、逆に円上の点から角を求めたりできる。これは単位円だけでなく、どんな円にも使える。また、三角形の辺と角の関係も表せる。

To define the trigonometric functions, first consider the unit circle centered at the origin and a point

P = (x, y)

on the unit circle. Let

θ

be an angle with an initial side that lies along the positive

x

-axis and with a terminal side that is the line segment

O P .

An angle in this position is said to be in standard position (Figure 1.31). We can then define the values of the six trigonometric functions for

θ

in terms of the coordinates

x

and

y .

英語のヒント

三角関数を定義するため、原点を中心とする単位円と、その上の点

P = (x, y)

を考える。始辺が

x

軸の正の向きにあり、終辺が線分

O P

となる角を

θ

とする。このような位置にある角を、標準の位置にあるという（図1.31）。このとき、

θ

に対する6つの三角関数の値を、座標

x

、

y

によって定義できる。

原点中心の単位円。原点からx軸の正の向きに長さ1の半径が引かれ、もう1本の半径は右上の円周上の点P = (x, y)に達する。Pからx軸へ垂直な点線が下ろされている。正のx軸上の半径から斜めの半径へ向かう矢印にθと表示されている。 — Figure 1.31図 1.31
The angle $θ$ is in standard position. The values of the trigonometric functions for $θ$ are defined in terms of the coordinates $x$ and $y .$
角 $θ$ は標準の位置にある。 $θ$ に対する三角関数の値は、座標 $x$ 、 $y$ によって定義される。

We can see that for a point

P = (x, y)

on a circle of radius

r

with a corresponding angle

θ,

the coordinates

x

and

y

satisfy

半径

r

の円上の点

P = (x, y)

に対応する角を

θ

とすると、座標

x

と

y

は次の関係を満たす。

\begin{matrix} cos θ = \frac{x}{r} \\ x = r cos θ \end{matrix}

\begin{matrix} sin θ = \frac{y}{r} \\ y = r sin θ . \end{matrix}

The values of the other trigonometric functions can be expressed in terms of

x, y,

and

r

(Figure 1.32).

ほかの三角関数の値も、

x, y

と

r

を使って表せる（図1.32）。

原点中心の円。原点から正のx軸方向への青い半径と、右上の円周上の点P = (x, y)へ向かう青い半径が引かれている。どちらも長さrで、間の角はθ。Pからx軸へ青い垂線を下ろし、その足にxと直角の印がある。Pからy軸へは左向きに水平な点線が引かれ、y軸との交点にyと表示される。 — Figure 1.32図 1.32
For a point $P = (x, y)$ on a circle of radius $r,$ the coordinates $x$ and $y$ satisfy $x = r cos θ$ and $y = r sin θ .$
半径 $r$ の円上の点 $P = (x, y)$ の座標 $x$ 、 $y$ は、 $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ を満たす。

Table 1.9 shows the values of sine and cosine at the major angles in the first quadrant. From this table, we can determine the values of sine and cosine at the corresponding angles in the other quadrants. The values of the other trigonometric functions are calculated easily from the values of

sin θ

and

cos θ .

英語のヒント

表1.9に、第1象限の主な角での正弦と余弦の値を示す。この表から、ほかの象限の対応する角での正弦と余弦の値も求められる。ほかの三角関数の値は、

sin θ

と

cos θ

から容易に計算できる。

Values of $sin θ$ and $cos θ$ at Major Angles $θ$ in the First Quadrant第1象限の主な角 $θ$ での $sin θ$ と $cos θ$ の値

Table 1.9表 1.9
$θ$	$s i n θ$	$c o s θ$
$0$	$0$	$1$
$\frac{π}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{π}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{π}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{π}{2}$	$1$	$0$

Example 1.23例題 1.23

Evaluating Trigonometric Functions三角関数の値を求める

Evaluate each of the following expressions.

次の各式の値を求めよ。

$sin (\frac{2 π}{3})$
$sin (\frac{2 π}{3})$
$cos (- \frac{5 π}{6})$
$cos (- \frac{5 π}{6})$
$tan (\frac{15 π}{4})$
$tan (\frac{15 π}{4})$

Solution解き方

On the unit circle, the angle $θ = \frac{2 π}{3}$ corresponds to the point $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) .$ Therefore, $sin (\frac{2 π}{3}) = y = \frac{\sqrt{3}}{2} .$
単位円上で、角 $θ = \frac{2 π}{3}$ は点 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ に対応する。したがって、 $sin (\frac{2 π}{3}) = y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0
An angle $θ = - \frac{5 π}{6}$ corresponds to a revolution in the negative direction, as shown. Therefore, $cos (- \frac{5 π}{6}) = x = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$
角 $θ = - \frac{5 π}{6}$ は、図のように負の向きに回転する角である。したがって、 $cos (- \frac{5 π}{6}) = x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0
An angle $θ = \frac{15 π}{4} = 2 π + \frac{7 π}{4} .$ Therefore, this angle corresponds to more than one revolution, as shown. Knowing the fact that an angle of $\frac{7 π}{4}$ corresponds to the point $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}),$ we can conclude that $tan (\frac{15 π}{4}) = \frac{y}{x} = −1 .$
角は $θ = \frac{15 π}{4} = 2 π + \frac{7 π}{4}$ と書けるので、図のように1回転を超える。角 $\frac{7 π}{4}$ に対応する点が $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ であることから、 $tan (\frac{15 π}{4}) = \frac{y}{x} = −1$ とわかる。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

As mentioned earlier, the ratios of the side lengths of a right triangle can be expressed in terms of the trigonometric functions evaluated at either of the acute angles of the triangle. Let

θ

be one of the acute angles. Let

A

be the length of the adjacent leg,

O

be the length of the opposite leg, and

H

be the length of the hypotenuse. By inscribing the triangle into a circle of radius

H,

as shown in Figure 1.33, we see that

A, H,

and

O

satisfy the following relationships with

θ :

英語のヒント

先ほど述べたとおり、直角三角形の辺の長さの比は、どちらかの鋭角に対する三角関数の値で表せる。鋭角の1つを

θ

とし、その角に隣接する直角辺の長さを

A

、向かい合う辺の長さを

O

、斜辺の長さを

H

とする。図1.33のように半径

H

の円の中に三角形を配置すると、

A, H

と

O

は角

θ :

に対して次の関係を満たす。

\begin{matrix} sin θ = \frac{O}{H} & csc θ = \frac{H}{O} \\ cos θ = \frac{A}{H} & sec θ = \frac{H}{A} \\ tan θ = \frac{O}{A} & cot θ = \frac{A}{O} \end{matrix}

原点中心の円。正のx軸上に半径をとり、原点から円周上の右上の点へ長さHの斜辺を引く。円周上の点からx軸へ長さOの垂線を下ろし、足には直角の印がある。その足と原点との距離はA。正のx軸から斜辺に向かう矢印で角θを示している。 — Figure 1.33図 1.33
By inscribing a right triangle in a circle, we can express the ratios of the side lengths in terms of the trigonometric functions evaluated at $θ .$
直角三角形をこのように円の中に配置すると、辺の長さの比を角 $θ$ に対する三角関数で表せる。

Example 1.24例題 1.24

Constructing a Wooden Ramp木製のスロープを作る

A wooden ramp is to be built with one end on the ground and the other end at the top of a short staircase. If the top of the staircase is

4

ft from the ground and the angle between the ground and the ramp is to be

10 °,

how long does the ramp need to be?

英語のヒント

一端が地面、もう一端が低い階段の上端に来るように、木製のスロープを作る。階段の上端は地上

4

ftで、スロープと地面の角を

10 °

にする。必要なスロープの長さはいくらか。

Solution解き方

Let

x

denote the length of the ramp. In the following image, we see that

x

needs to satisfy the equation

sin (10 °) = 4 / x .

Solving this equation for

x,

we see that

x = 4 / sin (10 °) \approx 23.035

ft.

スロープの長さを

x

とする。下の図から、

x

は式

sin (10 °) = 4 / x

を満たす必要がある。これを

x

について解くと、

x = 4 / sin (10 °) \approx 23.035

ftとなる。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

第1章関数とグラフ

1.3 Trigonometric Functions1.3 三角関数

Learning Objectives学習目標

Radian Measure弧度法

Common Angles Expressed in Degrees and Radiansよく使う角の度数法と弧度法による表示

Converting between Radians and Degreesラジアンと度を換算する

The Six Basic Trigonometric Functions基本的な6つの三角関数

Values of sinθ and cosθ at Major Angles θ in the First Quadrant第1象限の主な角θでのsinθとcosθの値

Evaluating Trigonometric Functions三角関数の値を求める

Constructing a Wooden Ramp木製のスロープを作る

1.3 Trigonometric Functions1.3　三角関数

Values of $sin θ$ and $cos θ$ at Major Angles $θ$ in the First Quadrant第1象限の主な角 $θ$ での $sin θ$ と $cos θ$ の値