第1章関数とグラフ

Trigonometric Identities三角関数の恒等式

A trigonometric identity is an equation involving trigonometric functions that is true for all angles

θ

for which the functions are defined. We can use the identities to help us solve or simplify equations. The main trigonometric identities are listed next.

三角関数の恒等式とは、関数が定義されるすべての角

θ

について成り立つ、三角関数を含んだ等式である。恒等式は、方程式を解いたり、式を簡単にしたりするときに役立つ。主な恒等式を次に示す。

Example 1.25例題 1.25

Solving Trigonometric Equations三角方程式を解く

For each of the following equations, use a trigonometric identity to find all solutions.

次の各方程式について、三角関数の恒等式を使ってすべての解を求めよ。

$1 + cos (2 θ) = cos θ$
$1 + cos (2 θ) = cos θ$
$sin (2 θ) = tan θ$
$sin (2 θ) = tan θ$

Solution解き方

Using the double-angle formula for $cos (2 θ),$ we see that $θ$ is a solution of
$cos (2 θ)$ の倍角の公式を使うと、 $θ$ が次の方程式の解であることは、

$1 + cos (2 θ) = cos θ$

if and only if
次の式が成り立つことと同値である。

$1 + 2 {cos}^{2} θ - 1 = cos θ,$
$1 + 2 {cos}^{2} θ - 1 = cos θ$

which is true if and only if
これはさらに、次の式が成り立つことと同値である。

$2 {cos}^{2} θ - cos θ = 0 .$
$2 {cos}^{2} θ - cos θ = 0$

To solve this equation, it is important to note that we need to factor the left-hand side and not divide both sides of the equation by $cos θ .$ The problem with dividing by $cos θ$ is that it is possible that $cos θ$ is zero. In fact, if we did divide both sides of the equation by $cos θ,$ we would miss some of the solutions of the original equation. Factoring the left-hand side of the equation, we see that $θ$ is a solution of this equation if and only if
英語のヒント
この方程式を解くときは、左辺を因数分解することが重要で、両辺を $cos θ$ で割ってはいけない。 $cos θ$ で割ると問題になるのは、 $cos θ$ が0である可能性があるためである。実際、両辺を $cos θ$ で割ると、もとの方程式の解の一部を落としてしまう。左辺を因数分解すると、 $θ$ がこの方程式の解であることは、次の式が成り立つことと同値だとわかる。

$cos θ (2 cos θ - 1) = 0 .$
$cos θ (2 cos θ - 1) = 0$

Since $cos θ = 0$ when
$cos θ = 0$ となるのは、次の場合である。

$θ = \frac{π}{2}, \frac{π}{2} \pm π, \frac{π}{2} \pm 2 π,…,$

and $cos θ = 1 / 2$ when
また、 $cos θ = 1 / 2$ となるのは、次の場合である。

$θ = \frac{π}{3}, \frac{π}{3} \pm 2 π,… or θ = - \frac{π}{3}, - \frac{π}{3} \pm 2 π,…,$
$θ = \frac{π}{3}, \frac{π}{3} \pm 2 π,… または θ = - \frac{π}{3}, - \frac{π}{3} \pm 2 π,…,$

we conclude that the set of solutions to this equation is
したがって、この方程式の解の集合は次のようになる。

$θ = \frac{π}{2} + n π, θ = \frac{π}{3} + 2 n π, and θ = - \frac{π}{3} + 2 n π, n = 0, \pm 1, \pm 2, … .$
$θ = \frac{π}{2} + n π, θ = \frac{π}{3} + 2 n π, および θ = - \frac{π}{3} + 2 n π, n = 0, \pm 1, \pm 2, …$
Using the double-angle formula for $sin (2 θ)$ and the reciprocal identity for $tan (θ),$ the equation can be written as
$sin (2 θ)$ の倍角の公式と $tan (θ)$ の商の関係を使うと、方程式は次のように書ける。

$2 sin θ cos θ = \frac{sin θ}{cos θ} .$
$2 sin θ cos θ = \frac{sin θ}{cos θ}$

To solve this equation, we multiply both sides by $cos θ$ to eliminate the denominator, and say that if $θ$ satisfies this equation, then $θ$ satisfies the equation
英語のヒント
この方程式を解くため、両辺に $cos θ$ を掛けて分母を払う。 $θ$ がこの方程式を満たすなら、 $θ$ は次の方程式も満たす。

$2 sin θ {cos}^{2} θ - sin θ = 0 .$
$2 sin θ {cos}^{2} θ - sin θ = 0$

However, we need to be a little careful here. Even if $θ$ satisfies this new equation, it may not satisfy the original equation because, to satisfy the original equation, we would need to be able to divide both sides of the equation by $cos θ .$ However, if $cos θ = 0,$ we cannot divide both sides of the equation by $cos θ .$ Therefore, it is possible that we may arrive at extraneous solutions. So, at the end, it is important to check for extraneous solutions. Returning to the equation, it is important that we factor $sin θ$ out of both terms on the left-hand side instead of dividing both sides of the equation by $sin θ .$ Factoring the left-hand side of the equation, we can rewrite this equation as
英語のヒント
ただし、ここでは少し注意が必要である。 $θ$ が新しい方程式を満たしても、もとの方程式を満たすとは限らない。もとの方程式へ戻すには、両辺を $cos θ$ で割れなければならない。しかし、 $cos θ = 0$ の場合は $cos θ$ で割れない。したがって、余分な解が入り込む可能性があり、最後にそれを確認することが重要である。計算に戻ろう。ここでも、両辺を $sin θ$ で割るのではなく、左辺の両方の項から $sin θ$ をくくり出すことが大切である。因数分解すると、次のように書き換えられる。

$sin θ (2 {cos}^{2} θ - 1) = 0 .$
$sin θ (2 {cos}^{2} θ - 1) = 0$

Therefore, the solutions are given by the angles $θ$ such that $sin θ = 0$ or ${cos}^{2} θ = 1 / 2 .$ The solutions of the first equation are $θ = 0, \pm π, \pm 2 π,….$ The solutions of the second equation are $θ = π / 4, (π / 4) \pm (π / 2), (π / 4) \pm π,….$ After checking for extraneous solutions, the set of solutions to the equation is
したがって、解の候補は $sin θ = 0$ または ${cos}^{2} θ = 1 / 2$ を満たす角 $θ$ である。第1の方程式の解は $θ = 0, \pm π, \pm 2 π,….$ 、第2の方程式の解は $θ = π / 4, (π / 4) \pm (π / 2), (π / 4) \pm π,….$ である。余分な解がないかを確認すると、この方程式の解の集合は次のようになる。

$θ = n π and θ = \frac{π}{4} + \frac{n π}{2}, n = 0, \pm 1, \pm 2, … .$
$θ = n π および θ = \frac{π}{4} + \frac{n π}{2}, n = 0, \pm 1, \pm 2, …$

Example 1.26例題 1.26

Proving a Trigonometric Identity三角関数の恒等式を証明する

Prove the trigonometric identity

1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ .

三角関数の恒等式

1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ

を証明せよ。

Solution解き方

We start with the identity

次の恒等式から始める。

{sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1 .

{sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1

Dividing both sides of this equation by

{cos}^{2} θ,

we obtain

両辺を

{cos}^{2} θ

で割ると、次の式を得る。

\frac{{sin}^{2} θ}{{cos}^{2} θ} + 1 = \frac{1}{{cos}^{2} θ} .

\frac{{sin}^{2} θ}{{cos}^{2} θ} + 1 = \frac{1}{{cos}^{2} θ}

Since

sin θ / cos θ = tan θ

and

1 / cos θ = sec θ,

we conclude that

sin θ / cos θ = tan θ

、

1 / cos θ = sec θ

であるから、次の式が成り立つ。

{tan}^{2} θ + 1 = {sec}^{2} θ .

{tan}^{2} θ + 1 = {sec}^{2} θ

Graphs and Periods of the Trigonometric Functions三角関数のグラフと周期

We have seen that as we travel around the unit circle, the values of the trigonometric functions repeat. We can see this pattern in the graphs of the functions. Let

P = (x, y)

be a point on the unit circle and let

θ

be the corresponding angle

.

Since the angle

θ

and

θ + 2 π

correspond to the same point

P,

the values of the trigonometric functions at

θ

and at

θ + 2 π

are the same. Consequently, the trigonometric functions are periodic functions. The period of a function

f

is defined to be the smallest positive value

p

such that

f (x + p) = f (x)

for all values

x

in the domain of

f .

The sine, cosine, secant, and cosecant functions have a period of

2 π .

Since the tangent and cotangent functions repeat on an interval of length

π,

their period is

π

(Figure 1.34).

英語のヒント

単位円を一周していくと、三角関数の値は繰り返される。その様子は関数のグラフにも現れる。単位円上の点を

P = (x, y)

、対応する角を

θ

とする

.

。角

θ

と

θ + 2 π

は同じ点

P

に対応するので、

θ

と

θ + 2 π

での三角関数の値は等しい。したがって、三角関数は周期関数である。関数

f

の周期とは、

f

の定義域内のすべての

x

に対して

f (x + p) = f (x)

となる、最小の正の値

p

である。正弦、余弦、正割、余割の周期は

2 π

である。正接と余接は長さ

π

の区間ごとに繰り返すので、その周期は

π

である（図1.34）。

6つのグラフ。いずれもx軸は−2πから2π、y軸は−2から2。sin xは(−2π, 0)から増加して(−3π/2, 1)に達し、(−π/2, −1)まで減少し、(π/2, 1)まで増加し、(3π/2, −1)まで減少した後、再び増加する。図中のx軸との交点はx = −2π、−π、0、π、2πで、y軸とは原点で交わる。 cos xは(−2π, 1)から(−π, −1)まで減少し、(0, 1)まで増加し、(π, −1)まで減少した後、再び増加する。x軸との交点はx = −3π/2、−π/2、π/2、3π/2で、y軸との交点は(0, 1)。sin xのグラフを左へπ/2移した形である。残りの4つのグラフには垂直漸近線が点線で描かれている。点線自体は関数に含まれず、曲線は近づくが接しない。漸近線は無数にあるが、図には一部だけが示されている。 csc xの漸近線は、図中ではx = −2π、−π、0、π、2π。その間の曲線は順に、(−3π/2, 1)で最小となる上向きのU字、(−π/2, −1)で最大となる下向きのU字、(π/2, 1)で最小となる上向きのU字、(3π/2, −1)で最大となる下向きのU字である。 sec xの漸近線はx = −3π/2、−π/2、π/2、3π/2。その間の曲線は順に、(−π, −1)で最大となる下向きのU字、(0, 1)で最小となる上向きのU字、(π, −1)で最大となる下向きのU字である。csc xのグラフを左へπ/2移した形である。 tan xの漸近線はx = −3π/2、−π/2、π/2、3π/2。各漸近線の間で曲線は常に増加し、漸近線には達しない。x軸との交点はx = −2π、−π、0、π、2πで、y軸とは原点で交わる。 cot xの漸近線はx = −2π、−π、0、π、2π。各漸近線の間で曲線は常に減少し、漸近線には達しない。x軸との交点はx = −3π/2、−π/2、π/2、3π/2で、y軸との交点はない。 — Figure 1.34図 1.34
The six trigonometric functions are periodic.
6つの三角関数はいずれも周期関数である。

Just as with algebraic functions, we can apply transformations to trigonometric functions. In particular, consider the following function:

代数関数と同じように、三角関数にも変換を施せる。具体的に、次の関数を考えよう。

f (x) = A cos (B (x - α)) + C .

f (x) = A cos (B (x - α)) + C

(1.10)

In Figure 1.35, the constant

α

causes a horizontal or phase shift. The factor

B

changes the period. This transformed sine function will have a period

2 π / | B | .

The factor

A

results in a vertical stretch by a factor of

| A | .

We say

| A |

is the “amplitude of

f .

” The constant

C

causes a vertical shift.

英語のヒント

図1.35では、定数

α

が水平方向の移動、すなわち位相の移動をもたらす。係数

B

は周期を変え、このように変換された正弦関数の周期は

2 π / | B |

となる。係数

A

によって、垂直方向に

| A |

倍される。

| A |

を「

f

の振幅」という。定数

C

は垂直方向の移動をもたらす。

一般の余弦関数f(x) = A cos(B(x − α)) + Cのグラフ。y軸の目盛りは下からC − A、C、C + A。原点からCまでの距離が「垂直移動」、中心線Cから上下のC ± Aまでの距離Aが「振幅」と示される。x軸上にはαの目盛りがあり、原点からαまでが「水平移動」。隣り合う2つの谷、または隣り合う2つの山の間隔は2π/|B|で、「周期」と表示されている。 — Figure 1.35図 1.35
A graph of a general cosine function.
一般の余弦関数のグラフ。

Notice in Figure 1.34 that the graph of

y = cos x

is the graph of

y = sin x

shifted to the left

π / 2

units. Therefore, we can write

cos x = sin (x + π / 2) .

Similarly, we can view the graph of

y = sin x

as the graph of

y = cos x

shifted right

π / 2

units, and state that

sin x = cos (x - π / 2) .

図1.34で、

y = cos x

のグラフは

y = sin x

のグラフを左へ

π / 2

だけ移したものであることに注目しよう。したがって、

cos x = sin (x + π / 2)

と書ける。同様に、

y = sin x

のグラフは

y = cos x

のグラフを右へ

π / 2

だけ移したものと考えられ、

sin x = cos (x - π / 2)

と書ける。

A shifted sine curve arises naturally when graphing the number of hours of daylight in a given location as a function of the day of the year. For example, suppose a city reports that June 21 is the longest day of the year with

15.7

hours and December 21 is the shortest day of the year with

8.3

hours. It can be shown that the function

ある場所の日照時間を、その年の何日目かを表す変数の関数として描くと、平行移動した正弦曲線が自然に現れる。たとえば、ある都市では6月21日が最も昼の長い日で

15.7

時間、12月21日が最も短い日で

8.3

時間だとする。このとき、次の関数が、

h (t) = 3.7 sin (\frac{2 π}{365} (t - 80.5)) + 12

is a model for the number of hours of daylight

h

as a function of day of the year

t

(Figure 1.36).

その年の何日目かを表す

t

に対して、日照時間

h

を表すモデルになる（図1.36）。

横軸は0から365で「t, day of the year（年の何日目か）」、縦軸は0から20で「h, number of daylight hours（日照時間）」。h(t) = 3.7 sin((2π/365)(t − 80.5)) + 12は波形の曲線で、約(0, 8.4)から増加し、約(171.8, 15.7)で最大となる。その後は約(354.3, 8.3)まで減少し、再び増加する。 — Figure 1.36図 1.36
The hours of daylight as a function of day of the year can be modeled by a shifted sine curve.
1年の中での日照時間の変化は、平行移動した正弦曲線でモデル化できる。

Example 1.27例題 1.27

Sketching the Graph of a Transformed Sine Curve変換した正弦曲線のグラフを描く

Sketch a graph of

f (x) = 3 sin (2 (x - \frac{π}{4})) + 1 .

f (x) = 3 sin (2 (x - \frac{π}{4})) + 1

のグラフを描け。

Solution解き方

This graph is a horizontal compression by a factor of 2, a phase shift to the right by π/4 units, followed by a vertical stretch by a factor of 3, and then a vertical shift by 1 unit. The period of

f

π .

正弦曲線を水平方向に1/2に縮め、右へπ/4だけ位相を移し、垂直方向に3倍に伸ばし、最後に上へ1だけ移す。

f

の周期は

π

である。

x軸は−3π/2から2π、y軸は−3から5。f(x) = 3 sin(2(x − π/4)) + 1の曲線は、(−3π/2, 4)から(−π, −2)まで減少し、(−π/2, 4)まで増加し、(0, −2)まで減少する。その後、(π/2, 4)まで増加、(π, −2)まで減少、(3π/2, 4)まで増加し、再び減少する。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Checkpoint 1.22確認問題 1.22

Describe the relationship between the graph of

f (x) = 3 sin (4 x) - 5

and the graph of

y = sin (x) .

f (x) = 3 sin (4 x) - 5

のグラフと

y = sin (x)

のグラフの関係を説明せよ。

Solution解き方

To graph

f (x) = 3 sin (4 x) - 5,

the graph of

y = sin (x)

needs to be compressed horizontally by a factor of 4, then stretched vertically by a factor of 3, then shifted down 5 units. The function

f

will have a period of

π / 2

and an amplitude of 3.

f (x) = 3 sin (4 x) - 5

を描くには、

y = sin (x)

のグラフを水平方向に1/4に縮め、垂直方向に3倍に伸ばし、下へ5だけ移す。関数

f

の周期は

π / 2

、振幅は3である。