第1章関数とグラフ

Chapter Review Exercises章の復習問題

Exercises 310–313練習問題 310–313

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

正しいか、誤りか。証明または反例を示して、答えを裏づけよ。

Exercise 310問題 310

A function is always one-to-one.

関数は常に一対一である。

Exercise 311問題 311

f \circ g = g \circ f,

assuming f and g are functions.

f、gが関数であるとき、

f \circ g = g \circ f

が成り立つ。

Solution解き方

False

誤り。

Exercise 312問題 312

A relation that passes the horizontal and vertical line tests is a one-to-one function.

水平線テストと垂直線テストを両方通る関係は、一対一の関数である。

Exercise 313問題 313

A relation passing the horizontal line test is a function.

水平線テストを通る関係は関数である。

Solution解き方

False

誤り。

Exercises 314–317練習問題 314–317

For the following problems, state the domain and range of the given functions:

次の問題では、各関数の定義域と値域を述べよ。

f = x^{2} + 2 x - 3, g = ln (x - 5), h = \frac{1}{x + 4}

f = x^{2} + 2 x - 3, g = ln (x - 5), h = \frac{1}{x + 4}

Exercise 314問題 314

Exercise 315問題 315

Solution解き方

Domain:

x > 5,

range: all real numbers

定義域は

x > 5

、値域は実数全体。

Exercise 316問題 316

h \circ f

h \circ f

Exercise 317問題 317

g \circ f

g \circ f

Solution解き方

Domain:

x > 2

and

x < - 4,

range: all real numbers

定義域は

x > 2

または

x < - 4

、値域は実数全体。

Exercises 318–319練習問題 318–319

Find the degree, y-intercept, and zeros for the following polynomial functions.

次の多項式関数について、次数、y切片、零点を求めよ。

Exercise 318問題 318

f (x) = 2 x^{2} + 9 x - 5

f (x) = 2 x^{2} + 9 x - 5

Exercise 319問題 319

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x

Solution解き方

Degree of 3,

y

-intercept: 0, zeros: 0,

\sqrt{3} - 1, −1 - \sqrt{3}

次数は3、

y

切片は0、零点は0と

\sqrt{3} - 1, −1 - \sqrt{3}

。

Exercises 320–321練習問題 320–321

Simplify the following trigonometric expressions.

次の三角関数の式を簡単にせよ。

Exercise 320問題 320

\frac{{tan}^{2} x}{{sec}^{2} x} + {cos}^{2} x

\frac{{tan}^{2} x}{{sec}^{2} x} + {cos}^{2} x

Exercise 321問題 321

{cos}^{2} x - {sin}^{2} x

{cos}^{2} x - {sin}^{2} x

Solution解き方

\begin{array}{l} \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos 2 x \\ = 1 - 2 \sin^{2} x \\ = 2 \cos^{2} x - 1 \end{array}

\begin{array}{l} \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos 2 x \\ = 1 - 2 \sin^{2} x \\ = 2 \cos^{2} x - 1 \end{array}

Exercises 322–323練習問題 322–323

Solve the following trigonometric equations on the interval

x \in [−2 π, 2 π]

exactly.

次の三角方程式について、

x \in [−2 π, 2 π]

を満たす厳密な解を求めよ。

Exercise 322問題 322

6 {cos}^{2} x - 3 = 0

6 {cos}^{2} x - 3 = 0

Exercise 323問題 323

{sec}^{2} x - 2 sec x + 1 = 0

{sec}^{2} x - 2 sec x + 1 = 0

Solution解き方

0, \pm 2 π

0, \pm 2 π

Exercises 324–325練習問題 324–325

Solve the following logarithmic equations.

次の対数方程式を解け。

Exercise 324問題 324

5^{x} = 16

5^{x} = 16

Exercise 325問題 325

{log}_{2} (x + 4) = 3

{log}_{2} (x + 4) = 3

Solution解き方

Exercises 326–327練習問題 326–327

Are the following functions one-to-one over their domain of existence? Does the function have an inverse? If so, find the inverse

f^{−1} (x)

of the function. Justify your answer.

次の関数は、それぞれの定義域全体で一対一か。逆関数を持つか。持つ場合は

f^{−1} (x)

を求めよ。答えの根拠も述べること。

Exercise 326問題 326

f (x) = x^{2} + 2 x + 1

f (x) = x^{2} + 2 x + 1

Exercise 327問題 327

f (x) = \frac{1}{x}

f (x) = \frac{1}{x}

Solution解き方

One-to-one; yes, the function has an inverse; inverse:

f^{−1} (x) = \frac{1}{x}

一対一であり、逆関数を持つ。逆関数は

f^{−1} (x) = \frac{1}{x}

。

Exercises 328–330練習問題 328–330

For the following problems, determine the largest domain on which the function is one-to-one and find the inverse on that domain.

次の問題では、関数が一対一となる最大の範囲に定義域を制限し、その範囲での逆関数を求めよ。

Exercise 328問題 328

f (x) = \sqrt{9 - x}

f (x) = \sqrt{9 - x}

Exercise 329問題 329

f (x) = x^{2} + 3 x + 4

f (x) = x^{2} + 3 x + 4

Solution解き方

x \geq - \frac{3}{2}, f^{−1} (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{4 x - 7}

x \geq - \frac{3}{2}, f^{−1} (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{4 x - 7}

。先頭の不等式はもとの関数の定義域の制限であり、逆関数の定義域は x≥7/4 である。

Exercise 330問題 330

A car is racing along a circular track with diameter of 1 mi. A trainer standing in the center of the circle marks his progress every 5 sec. After 5 sec, the trainer has to turn 55° to keep up with the car. How fast is the car traveling?

自動車が直径1 miの円形コースを走っている。円の中心に立つ指導者が、5秒ごとに進み具合を確認する。5秒後に自動車のほうを向くには55°回転する必要があった。自動車の速さはいくらか。

Exercises 331–332練習問題 331–332

For the following problems, consider a restaurant owner who wants to sell T-shirts advertising his brand. He recalls that there is a fixed cost and variable cost, although he does not remember the values. He does know that the T-shirt printing company charges $440 for 20 shirts and $1000 for 100 shirts.

次の問題では、自店の宣伝用Tシャツを売りたいレストラン経営者を考える。固定費と変動費があることは覚えているが、その金額は忘れてしまった。印刷会社から請求される費用は、20枚なら440ドル、100枚なら1,000ドルである。

Exercise 331問題 331

a. Find the equation

C = f (x)

that describes the total cost as a function of number of shirts and b. determine how many shirts he must sell to break even if he sells the shirts for $10 each.

英語のヒント

a. 枚数の関数として総費用を表す式

C = f (x)

を求めよ。b. 1枚10ドルで売るとき、収支を均衡させるには何枚売る必要があるか。

Solution解き方

C (x) = 300 + 7 x

b. 100 shirts

C (x) = 300 + 7 x

　b. 100枚。

Exercise 332問題 332

a. Find the inverse function

x = f^{−1} (C)

and describe the meaning of this function. b. Determine how many shirts the owner can buy if he has $8000 to spend.

a. 逆関数

x = f^{−1} (C)

を求め、その意味を説明せよ。b. 予算が8,000ドルあるとき、経営者はTシャツを何枚買えるか。

Exercises 333–334練習問題 333–334

For the following problems, consider the population of Ocean City, New Jersey, which is cyclical by season.

次の問題では、季節によって周期的に変わるニュージャージー州オーシャンシティの人口を考える。

Exercise 333問題 333

The population can be modeled by

P (t) = 82.5 - 67.5 cos [(π / 6) t],

where

t

is time in months

(t = 0

represents January 1) and

P

is population (in thousands). During a year, in what intervals is the population less than 20,000? During what intervals is the population more than 140,000?

人口は

P (t) = 82.5 - 67.5 cos [(π / 6) t]

でモデル化できる。

t

は月を単位とする時間

(t = 0

が1月1日）、

P

は人口（千人）である。1年のうち、人口が20,000人未満となるのはどの期間か。140,000人を超えるのはどの期間か。

Solution解き方

The population is less than 20,000 from December 8 through January 23 and more than 140,000 from May 29 through August 2

人口が20,000人未満なのは12月8日から1月23日、140,000人を超えるのは5月29日から8月2日。

Exercise 334問題 334

In reality, the overall population is most likely increasing or decreasing throughout each year. Let’s reformulate the model as

P (t) = 82.5 - 67.5 cos [(π / 6) t] + t,

where

t

is time in months (

t = 0

represents January 1) and

P

is population (in thousands). When is the first time the population reaches 200,000?

実際には、全体の人口は年々増えるか減るかしていると考えられる。モデルを

P (t) = 82.5 - 67.5 cos [(π / 6) t] + t

と作り直そう。

t

は月を単位とする時間（

t = 0

が1月1日）、

P

は人口（千人）である。人口が初めて200,000人に達するのはいつか。

Exercises 335–336練習問題 335–336

For the following problems, consider radioactive dating. A human skeleton is found in an archeological dig. Carbon dating is implemented to determine how old the skeleton is by using the equation

y = e^{r t},

where

y

is the ratio of radiocarbon still present in the material,

t

is the number of years passed, and

r = −0.0001210

is the decay rate of radiocarbon.

英語のヒント

次の問題では、放射性同位体による年代測定を考える。考古学の発掘調査で人骨が見つかった。どれほど昔のものかを調べるため、式

y = e^{r t}

を用いて放射性炭素年代測定を行う。

y

は放射性炭素が試料に残っている割合、

t

は経過年数、

r = −0.0001210

は放射性炭素の減衰を表す定数である。

Exercise 335問題 335

If the skeleton is expected to be 2000 years old, what percentage of radiocarbon should be present?

人骨が2,000年前のものだとすれば、放射性炭素は何%残っているはずか。

Solution解き方

78.51%

Exercise 336問題 336

Find the inverse of the carbon-dating equation. What does it mean? If there is 25% radiocarbon, how old is the skeleton?

炭素年代測定の式の逆関数を求め、何を意味するか述べよ。放射性炭素が25%残っているなら、人骨は何年前のものか。

base

底

the number

b

in the exponential function

f (x) = b^{x}

and the logarithmic function

f (x) = {log}_{b} x

指数関数

f (x) = b^{x}

や対数関数

f (x) = {log}_{b} x

に現れる数

b

。

exponent

指数

the value

x

in the expression

b^{x}

式

b^{x}

の

x

の値。

hyperbolic functions

双曲線関数

the functions denoted

sinh, cosh, tanh, csch, sech,

and

coth,

which involve certain combinations of

e^{x}

and

e^{− x}

e^{x}

と

e^{− x}

の特定の組合せによって定義され、

sinh, cosh, tanh, csch, sech

、

coth

と表す関数。

inverse hyperbolic functions

逆双曲線関数

the inverses of the hyperbolic functions where

cosh

and

sech

are restricted to the domain

[0, \infty);

each of these functions can be expressed in terms of a composition of the natural logarithm function and an algebraic function

双曲線関数の逆関数。ただし、

cosh

と

sech

は定義域を

[0, \infty)

に制限する。いずれも、自然対数関数と代数関数の合成で表せる。

natural exponential function

自然指数関数

the function

f (x) = e^{x}

関数

f (x) = e^{x}

。

natural logarithm

自然対数

the function

ln x = {log}_{e} x

関数

ln x = {log}_{e} x

。

number e

数e

m

gets larger, the quantity

(1 + {(1 / m))}^{m}

gets closer to some real number; we define that real number to be

e;

the value of

e

is approximately

2.718282

m

を大きくすると、

(1 + {(1 / m))}^{m}

はある実数に近づく。その実数を

e

と定義する。

e

の値は約

2.718282

である。