第1章関数とグラフ

1.1 Review of Functions1.1　関数の復習

Learning Objectives学習目標

Use functional notation to evaluate a function.
関数の記法を使い、関数の値を求める。
Determine the domain and range of a function.
関数の定義域と値域を求める。
Draw the graph of a function.
関数のグラフを描く。
Find the zeros of a function.
関数の零点を求める。
Recognize a function from a table of values.
値の表から関数を読み取る。
Make new functions from two or more given functions.
与えられた2つ以上の関数から、新しい関数を作る。
Describe the symmetry properties of a function.
関数の対称性の性質を説明する。

In this section, we provide a formal definition of a function and examine several ways in which functions are represented—namely, through tables, formulas, and graphs. We study formal notation and terms related to functions. We also define composition of functions and symmetry properties. Most of this material will be a review for you, but it serves as a handy reference to remind you of some of the algebraic techniques useful for working with functions.

英語のヒント

この節では、関数を厳密に定義し、関数を表すいくつかの方法、すなわち表・式・グラフによる表現を調べる。関数に関する正式な記法と用語を学び、関数の合成や対称性の性質も定義する。大部分はこれまでに学んだことの復習になるだろう。それでも、関数を扱う際に役立つ代数的手法を思い出すための、手元で参照できる資料になる。

Functions関数

Given two sets

A

and

B,

a set with elements that are ordered pairs

(x, y),

where

x

is an element of

A

and

y

is an element of

B,

is a relation from

A

B .

A relation from

A

B

defines a relationship between those two sets. A function is a special type of relation in which each element of the first set is related to exactly one element of the second set. The element of the first set is called the input; the element of the second set is called the output. Functions are used all the time in mathematics to describe relationships between two sets. For any function, when we know the input, the output is determined, so we say that the output is a function of the input. For example, the area of a square is determined by its side length, so we say that the area (the output) is a function of its side length (the input). The velocity of a ball thrown in the air can be described as a function of the amount of time the ball is in the air. The cost of mailing a package is a function of the weight of the package. Since functions have so many uses, it is important to have precise definitions and terminology to study them.

英語のヒント

2つの集合

A

と

B

を考える。

x

が

A

の要素、

y

が

B

の要素であるような順序対

(x, y)

を要素とする集合を、

A

から

B

への関係という。

A

から

B

への関係は、この2つの集合の間の対応を定める。関数は関係の特別な一種であり、最初の集合の各要素が、2番目の集合のちょうど1つの要素に対応する。最初の集合の要素を入力、2番目の集合の要素を出力という。数学では、2つの集合の間の対応を記述するために、関数がごく普通に使われる。どの関数でも、入力がわかれば出力が定まるので、出力は入力の関数であるという。たとえば、正方形の面積は辺の長さによって定まる。そこで、面積（出力）は辺の長さ（入力）の関数であるという。空中に投げたボールの速度は、ボールが空中にある時間の関数として記述できる。荷物を郵送する料金は、荷物の重さの関数である。関数にはこれほど多くの用途があるため、その学習には正確な定義と用語が重要になる。

For example, consider the function

f,

where the domain is the set of all real numbers and the rule is to square the input. Then, the input

x = 3

is assigned to the output

3^{2} = 9 .

Since every nonnegative real number has a real-value square root, every nonnegative number is an element of the range of this function. Since there is no real number with a square that is negative, the negative real numbers are not elements of the range. We conclude that the range is the set of nonnegative real numbers.

英語のヒント

たとえば、定義域を実数全体の集合とし、入力を2乗するという規則を持つ関数

f

を考えよう。入力

x = 3

には出力

3^{2} = 9

が対応する。0以上の実数はどれも実数の平方根を持つため、0以上の数はすべてこの関数の値域の要素である。2乗すると負になる実数は存在しないので、負の実数は値域の要素ではない。したがって、値域は0以上の実数全体の集合である。

For a general function

f

with domain

D,

we often use

x

to denote the input and

y

to denote the output associated with

x .

When doing so, we refer to

x

as the independent variable and

y

as the dependent variable, because it depends on

x .

Using function notation, we write

y = f (x),

and we read this equation as

“ y

equals

f

x . ”

For the squaring function described earlier, we write

f (x) = x^{2} .

英語のヒント

定義域

D

を持つ一般の関数

f

では、入力を

x

、

x

に対応する出力を

y

で表すことが多い。このとき、

x

を独立変数、

y

を従属変数という。後者は

x

に依存するからである。関数の記法を用いて

y = f (x)

と書き、この式を「

“ y

は、

x . ”

に対する

f

の値に等しい」と読む。先ほどの2乗する関数については、

f (x) = x^{2}

と書く。

The concept of a function can be visualized using Figure 1.2, Figure 1.3, and Figure 1.4.

関数の考え方は、図1.2、図1.3、図1.4を使うと目に見える形で理解できる。

3つの項目を並べた図。最初は「Input, x（入力x）」という文字で、そこから「function（関数）」と書かれた箱に矢印が向かう。箱からさらに矢印が伸び、3番目の「Output, f(x)（出力f(x)）」という文字を指している。 — Figure 1.2図 1.2
A function can be visualized as an input/output device.
関数は、入力を受け取って出力を返す装置として図示できる。

2つの集合を囲みで示した図。最初の囲みには「domain（定義域）」と書かれ、1、2、3、4が入っている。そこから「f」と付いた矢印が、2、4、6を含む「range（値域）」の囲みに向かう。定義域の1から値域の6へ、2から4へ、3から2へ、4から2へ、それぞれ矢印が伸びている。 — Figure 1.3図 1.3
A function maps every element in the domain to exactly one element in the range. Although each input can be sent to only one output, two different inputs can be sent to the same output.
英語のヒント
関数は、定義域の各要素を値域のちょうど1つの要素に対応させる。各入力から対応する出力は1つだけだが、異なる2つの入力が同じ出力に対応してもよい。

関数のグラフ。縦軸は0から3で「dependent variable, y = f(x)（従属変数y = f(x)）」、横軸は0から5で「independent variable, x（独立変数x）」と書かれている。3つの点は(1, 2)、(2, 1)、(3, 2)で、それぞれ「(1, f(1)) = (1, 2)」「(2, f(2)) = (2, 1)」「(3, f(3)) = (3, 2)」と表示される。縦軸に沿って「range = {1, 2}（値域）」、横軸に沿って「domain = {1, 2, 3}（定義域）」と書かれている。 — Figure 1.4図 1.4
In this case, a graph of a function $f$ has a domain of ${1, 2, 3}$ and a range of ${1, 2} .$ The independent variable is $x$ and the dependent variable is $y .$
この関数 $f$ のグラフでは、定義域は ${1, 2, 3}$ 、値域は ${1, 2}$ である。独立変数は $x$ 、従属変数は $y$ である。

We can also visualize a function by plotting points

(x, y)

in the coordinate plane where

y = f (x) .

The graph of a function is the set of all these points. For example, consider the function

f,

where the domain is the set

D = {1, 2, 3}

and the rule is

f (x) = 3 - x .

In Figure 1.5, we plot a graph of this function.

英語のヒント

y = f (x)

を満たす点

(x, y)

を座標平面上に打つことによっても、関数を図示できる。関数のグラフとは、このような点すべてからなる集合である。たとえば、定義域が集合

D = {1, 2, 3}

、規則が

f (x) = 3 - x

である関数

f

を考えよう。図1.5に、この関数のグラフを描く。

グラフの縦軸・横軸はともに0から5。点(1, 2)、(2, 1)、(3, 0)が打たれている。縦軸に沿って「range = {0, 1, 2}（値域）」、横軸に沿って「domain = {1, 2, 3}（定義域）」と書かれている。 — Figure 1.5図 1.5
Here we see a graph of the function $f$ with domain ${1, 2, 3}$ and rule $f (x) = 3 - x .$ The graph consists of the points $(x, f (x))$ for all $x$ in the domain.
定義域が ${1, 2, 3}$ 、規則が $f (x) = 3 - x$ である関数 $f$ のグラフ。このグラフは、定義域のすべての $x$ に対する点 $(x, f (x))$ からなる。

Every function has a domain. However, sometimes a function is described by an equation, as in

f (x) = x^{2},

with no specific domain given. In this case, the domain is taken to be the set of all real numbers

x

for which

f (x)

is a real number. For example, since any real number can be squared, if no other domain is specified, we consider the domain of

f (x) = x^{2}

to be the set of all real numbers. On the other hand, the square root function

f (x) = \sqrt{x}

only gives a real output if

x

is nonnegative. Therefore, the domain of the function

f (x) = \sqrt{x}

is the set of nonnegative real numbers, sometimes called the natural domain.

英語のヒント

すべての関数には定義域がある。しかし、

f (x) = x^{2}

のように、定義域を特に指定せず、式だけで関数を表すこともある。その場合、定義域は、

f (x)

が実数になる実数

x

すべての集合とする。たとえば、どの実数も2乗できるので、別の指定がなければ

f (x) = x^{2}

の定義域は実数全体の集合とする。これに対して、平方根関数

f (x) = \sqrt{x}

は、

x

が0以上の場合に限って実数の出力を与える。したがって、関数

f (x) = \sqrt{x}

の定義域は0以上の実数全体の集合であり、このように式から自然に決まる定義域を自然な定義域と呼ぶこともある。

For the functions

f (x) = x^{2}

and

f (x) = \sqrt{x},

the domains are sets with an infinite number of elements. Clearly we cannot list all these elements. When describing a set with an infinite number of elements, it is often helpful to use set-builder or interval notation. When using set-builder notation to describe a subset of all real numbers, denoted

ℝ,

we write

英語のヒント

関数

f (x) = x^{2}

と

f (x) = \sqrt{x}

の定義域は、無限個の要素を持つ集合である。当然、その要素をすべて書き並べることはできない。無限個の要素を持つ集合を記述する際には、条件を使った集合の記法や区間の記法が役に立つことが多い。

ℝ

で表される実数全体の集合の部分集合を、条件を使って記述する場合には、次のように書く。

{x | x has some property} .

{x | x ある性質を持つ}

We read this as the set of real numbers

x

such that

x

has some property. For example, if we were interested in the set of real numbers that are greater than one but less than five, we could denote this set using set-builder notation by writing

これは「ある性質を持つ実数

x

、すなわちその性質を満たす

x

の集合」と読む。たとえば、1より大きく5より小さい実数の集合を考えるなら、条件を使って次のように表せる。

{x | 1 < x < 5} .

{x | 1 < x < 5}

A set such as this, which contains all numbers greater than

a

and less than

b,

can also be denoted using the interval notation

(a, b) .

Therefore,

このように

a

より大きく

b

より小さい数をすべて含む集合は、区間の記法

(a, b)

でも表せる。したがって、次のようになる。

(1, 5) = {x | 1 < x < 5} .

(1, 5) = {x | 1 < x < 5}

The numbers

1

and

5

are called the endpoints of this set. If we want to consider the set that includes the endpoints, we would denote this set by writing

英語のヒント

数

1

と

5

を、この集合の端点という。端点も含む集合を考える場合には、次のように書く。

[1, 5] = {x | 1 \leq x \leq 5} .

[1, 5] = {x | 1 \leq x \leq 5}

We can use similar notation if we want to include one of the endpoints, but not the other. To denote the set of nonnegative real numbers, we would use the set-builder notation

端点の一方だけを含み、もう一方を含まない場合にも、同様の記法を使える。0以上の実数の集合を条件で表すなら、次のように書く。

{x | 0 \leq x} .

{x | 0 \leq x}

The smallest number in this set is zero, but this set does not have a largest number. Using interval notation, we would use the symbol

\infty,

which refers to positive infinity, and we would write the set as

この集合の最小の数は0だが、最大の数は存在しない。区間の記法では、正の無限大を表す記号

\infty

を使い、次のように書く。

[0, \infty) = {x | 0 \leq x} .

[0, \infty) = {x | 0 \leq x}

It is important to note that

\infty

is not a real number. It is used symbolically here to indicate that this set includes all real numbers greater than or equal to zero. Similarly, if we wanted to describe the set of all nonpositive numbers, we could write

英語のヒント

\infty

が実数ではないことに注意してほしい。ここでは、この集合が0以上のすべての実数を含むことを、記号によって表している。同様に、0以下の数すべてからなる集合は、次のように書ける。

(− \infty, 0] = {x | x \leq 0} .

(− \infty, 0] = {x | x \leq 0}

Here, the notation

− \infty

refers to negative infinity, and it indicates that we are including all numbers less than or equal to zero, no matter how small. The set

ここで記号

− \infty

は負の無限大を表し、どれほど小さい数でも、0以下の数をすべて含めることを示す。次の集合は、

(− \infty, \infty) = {x | x is any real number}

(− \infty, \infty) = {x | x 任意の実数である}

refers to the set of all real numbers.

実数全体の集合を表す。

Some functions are defined using different equations for different parts of their domain. These types of functions are known as piecewise-defined functions. For example, suppose we want to define a function

f

with a domain that is the set of all real numbers such that

f (x) = 3 x + 1

for

x \geq 2

and

f (x) = x^{2}

for

x < 2 .

We denote this function by writing

英語のヒント

定義域の部分ごとに異なる式を使って定義する関数もある。これを区分的に定義された関数という。たとえば、実数全体を定義域とし、

x \geq 2

では

f (x) = 3 x + 1

、

x < 2

では

f (x) = x^{2}

となる関数

f

を定義したいとしよう。この関数は次のように書く。

f (x) = {\begin{cases} 3 x + 1 x \geq 2 \\ x^{2} x < 2 \end{cases} .

f (x) = {\begin{cases} 3 x + 1 x \geq 2 \\ x^{2} x < 2 \end{cases}

When evaluating this function for an input

x,

the equation to use depends on whether

x \geq 2

x < 2 .

For example, since

5 > 2,

we use the fact that

f (x) = 3 x + 1

for

x \geq 2

and see that

f (5) = 3 (5) + 1 = 16 .

On the other hand, for

x = −1,

we use the fact that

f (x) = x^{2}

for

x < 2

and see that

f (−1) = 1 .

英語のヒント

この関数の入力

x

に対する値を求めるときは、

x \geq 2

か

x < 2

かによって使う式が変わる。たとえば

5 > 2

なので、

x \geq 2

では

f (x) = 3 x + 1

という規則を使い、

f (5) = 3 (5) + 1 = 16

を得る。一方、

x = −1

の場合には、

x < 2

では

f (x) = x^{2}

という規則を使い、

f (−1) = 1

を得る。

Example 1.1例題 1.1

Evaluating Functions関数の値を求める

For the function

f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1,

evaluate

関数

f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1

について、次の値を求めよ。

$f (−2)$
$f (−2)$
$f (\sqrt{2})$
$f (\sqrt{2})$
$f (a + h)$
$f (a + h)$

Solution解き方

Substitute the given value for x in the formula for

f (x) .

英語のヒント

f (x)

の式のxに、与えられた値を代入する。

$f (−2) = 3 {(−2)}^{2} + 2 (−2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7$
$f (−2) = 3 {(−2)}^{2} + 2 (−2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7$
$f (\sqrt{2}) = 3 {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \sqrt{2} - 1 = 6 + 2 \sqrt{2} - 1 = 5 + 2 \sqrt{2}$
$f (\sqrt{2}) = 3 {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \sqrt{2} - 1 = 6 + 2 \sqrt{2} - 1 = 5 + 2 \sqrt{2}$
$\begin{matrix} f (a + h) = 3 {(a + h)}^{2} + 2 (a + h) - 1 & = 3 (a^{2} + 2 a h + h^{2}) + 2 a + 2 h - 1 \\ = 3 a^{2} + 6 a h + 3 h^{2} + 2 a + 2 h - 1 \end{matrix}$
$\begin{matrix} f (a + h) = 3 {(a + h)}^{2} + 2 (a + h) - 1 & = 3 (a^{2} + 2 a h + h^{2}) + 2 a + 2 h - 1 \\ = 3 a^{2} + 6 a h + 3 h^{2} + 2 a + 2 h - 1 \end{matrix}$

Example 1.2例題 1.2

Finding Domain and Range定義域と値域を求める

For each of the following functions, determine the i. domain and ii. range.

次の各関数について、i. 定義域、ii. 値域を求めよ。

$f (x) = {(x - 4)}^{2} + 5$
$f (x) = {(x - 4)}^{2} + 5$
$f (x) = \sqrt{3 x + 2} - 1$
$f (x) = \sqrt{3 x + 2} - 1$
$f (x) = \frac{3}{x - 2}$
$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Solution解き方

Consider $f (x) = {(x - 4)}^{2} + 5 .$
$f (x) = {(x - 4)}^{2} + 5$ を考える。
1. Since $f (x) = {(x - 4)}^{2} + 5$ is a real number for any real number $x,$ the domain of $f$ is the interval $(− \infty, \infty) .$
  任意の実数 $x$ に対して $f (x) = {(x - 4)}^{2} + 5$ は実数なので、 $f$ の定義域は区間 $(− \infty, \infty)$ である。
2. Since ${(x - 4)}^{2} \geq 0,$ we know $f (x) = {(x - 4)}^{2} + 5 \geq 5 .$ Therefore, the range must be a subset of ${y | y \geq 5} .$ To show that every element in this set is in the range, we need to show that for a given $y$ in that set, there is a real number $x$ such that $f (x) = {(x - 4)}^{2} + 5 = y .$ Solving this equation for $x,$ we see that we need $x$ such that
  英語のヒント
  ${(x - 4)}^{2} \geq 0$ なので、 $f (x) = {(x - 4)}^{2} + 5 \geq 5$ とわかる。したがって、値域は ${y | y \geq 5}$ の部分集合でなければならない。この集合のすべての要素が値域に入ることを示すには、その集合から与えられた $y$ に対し、 $f (x) = {(x - 4)}^{2} + 5 = y$ を満たす実数 $x$ が存在することを示す必要がある。この方程式を $x$ について解くと、 $x$ には次の条件が必要になる。
  
  ${(x - 4)}^{2} = y - 5 .$
  ${(x - 4)}^{2} = y - 5$
  
  This equation is satisfied as long as there exists a real number $x$ such that
  英語のヒント
  次の条件を満たす実数 $x$ が存在すれば、この方程式は成り立つ。
  
  $x - 4 = \pm \sqrt{y - 5} .$
  $x - 4 = \pm \sqrt{y - 5}$
  
  Since $y \geq 5,$ the square root is well-defined. We conclude that for $x = 4 \pm \sqrt{y - 5}, f (x) = y,$ and therefore the range is ${y | y \geq 5} .$
  英語のヒント
  $y \geq 5$ なので、この平方根は実数として定義できる。 $x = 4 \pm \sqrt{y - 5}$ $f (x) = y$ となるので、値域は ${y | y \geq 5}$ である。
Consider $f (x) = \sqrt{3 x + 2} - 1 .$
$f (x) = \sqrt{3 x + 2} - 1$ を考える。
1. To find the domain of $f,$ we need the expression $3 x + 2 \geq 0 .$ Solving this inequality, we conclude that the domain is ${x | x \geq −2 / 3} .$
  $f$ の定義域を求めるには、条件 $3 x + 2 \geq 0$ が必要である。この不等式を解くと、定義域は ${x | x \geq −2 / 3}$ となる。
2. To find the range of $f,$ we note that since $\sqrt{3 x + 2} \geq 0, f (x) = \sqrt{3 x + 2} - 1 \geq −1 .$ Therefore, the range of $f$ must be a subset of the set ${y | y \geq −1} .$ To show that every element in this set is in the range of $f,$ we need to show that for all $y$ in this set, there exists a real number $x$ in the domain such that $f (x) = y .$ Let $y \geq −1 .$ Then, $f (x) = y$ if and only if
  英語のヒント
  $f$ の値域を求めるために、 $\sqrt{3 x + 2} \geq 0$ $f (x) = \sqrt{3 x + 2} - 1 \geq −1$ に注目する。したがって、 $f$ の値域は集合 ${y | y \geq −1}$ の部分集合でなければならない。この集合のすべての要素が $f$ の値域に入ることを示すには、この集合のどの $y$ についても、 $f (x) = y$ を満たす実数 $x$ が定義域に存在することを示す必要がある。 $y \geq −1$ としよう。このとき、 $f (x) = y$ であるための必要十分条件は次の式である。
  
  $\sqrt{3 x + 2} - 1 = y .$
  $\sqrt{3 x + 2} - 1 = y$
  
  Solving this equation for $x,$ we see that $x$ must solve the equation
  この方程式を $x$ について解くと、 $x$ は次の方程式を満たす必要がある。
  
  $\sqrt{3 x + 2} = y + 1 .$
  $\sqrt{3 x + 2} = y + 1$
  
  Since $y \geq −1,$ such an $x$ could exist. Squaring both sides of this equation, we have $3 x + 2 = {(y + 1)}^{2} .$
  Therefore, we need
  $y \geq −1$ なので、そのような $x$ は存在しうる。両辺を2乗すると $3 x + 2 = {(y + 1)}^{2}$ となる。したがって、次の条件が必要である。
  
  $3 x = {(y + 1)}^{2} - 2,$
  $3 x = {(y + 1)}^{2} - 2$
  
  which implies
  これより、
  
  $x = \frac{1}{3} {(y + 1)}^{2} - \frac{2}{3} .$
  $x = \frac{1}{3} {(y + 1)}^{2} - \frac{2}{3}$
  
  We just need to verify that $x$ is in the domain of $f .$ Since the domain of $f$ consists of all real numbers greater than or equal to $−2 / 3,$ and
  あとは、この $x$ が $f$ の定義域に入ることを確かめればよい。 $f$ の定義域は $−2 / 3$ 以上の実数全体であり、また、
  
  $\frac{1}{3} {(y + 1)}^{2} - \frac{2}{3} \geq - \frac{2}{3},$
  $\frac{1}{3} {(y + 1)}^{2} - \frac{2}{3} \geq - \frac{2}{3}$
  
  there does exist an $x$ in the domain of $f .$ We conclude that the range of $f$ is ${y | y \geq −1} .$
  なので、 $f$ の定義域内に、そのような $x$ が確かに存在する。したがって、 $f$ の値域は ${y | y \geq −1}$ である。
Consider $f (x) = 3 / (x - 2) .$
$f (x) = 3 / (x - 2)$ を考える。
1. Since $3 / (x - 2)$ is defined when the denominator is nonzero, the domain is ${x | x \neq 2} .$
  英語のヒント
  $3 / (x - 2)$ は分母が0でないときに定義されるので、定義域は ${x | x \neq 2}$ である。
2. To find the range of $f,$ we need to find the values of $y$ such that there exists a real number $x$ in the domain with the property that
  $f$ の値域を求めるには、次の条件を満たす実数 $x$ が定義域に存在するような $y$ の値を求める。
  
  $\frac{3}{x - 2} = y .$
  $\frac{3}{x - 2} = y$
  
  Solving this equation for $x,$ we find that
  この方程式を $x$ について解くと、
  
  $x = \frac{3}{y} + 2 .$
  $x = \frac{3}{y} + 2$
  
  Therefore, as long as $y \neq 0,$ there exists a real number $x$ in the domain such that $f (x) = y .$ Thus, the range is ${y | y \neq 0} .$
  したがって、 $y \neq 0$ であれば、 $f (x) = y$ を満たす実数 $x$ が定義域に存在する。よって、値域は ${y | y \neq 0}$ である。

第1章関数とグラフ

1.1 Review of Functions1.1 関数の復習

Learning Objectives学習目標

Functions関数

Evaluating Functions関数の値を求める

Finding Domain and Range定義域と値域を求める

1.1 Review of Functions1.1　関数の復習