第1章関数とグラフ

Hyperbolic Functions双曲線関数

The hyperbolic functions are defined in terms of certain combinations of

e^{x}

and

e^{− x} .

These functions arise naturally in various engineering and physics applications, including the study of water waves and vibrations of elastic membranes. Another common use for a hyperbolic function is the representation of a hanging chain or cable, also known as a catenary (Figure 1.49). If we introduce a coordinate system so that the low point of the chain lies along the

y

-axis, we can describe the height of the chain in terms of a hyperbolic function. First, we define the hyperbolic functions.

英語のヒント

双曲線関数は、

e^{x}

と

e^{− x}

の特定の組合せによって定義される。これらは水面の波や弾性膜の振動など、工学・物理学のさまざまな応用に自然に現れる。よく知られた別の用途は、垂れ下がった鎖やケーブルの形を表すことである。この曲線は懸垂線とも呼ばれる（図1.49）。鎖の最も低い点が

y

軸上に来るように座標系をとると、その高さを双曲線関数で表せる。まず、双曲線関数を定義しよう。

露の水滴がついたクモの巣の写真。 — Figure 1.49図 1.49
The shape of a strand of silk in a spider’s web can be described in terms of a hyperbolic function. The same shape applies to a chain or cable hanging from two supports with only its own weight. (credit: “Mtpaley”, Wikimedia Commons)
クモの糸の形は双曲線関数で表せる。2つの支点から吊るされ、自分自身の重さだけを受ける鎖やケーブルも同じ形になる。（写真提供：「Mtpaley」、Wikimedia Commons）

The name cosh rhymes with “gosh,” whereas the name sinh is pronounced “cinch.” Tanh, sech, csch, and coth are pronounced “tanch,” “seech,” “coseech,” and “cotanch,” respectively.

英語では、coshはgoshと韻を踏む「コシュ」、sinhはcinchと同じ「シンチ」と読む。tanh、sech、csch、cothはそれぞれ「タンチ」「スィーチ」「コウスィーチ」「コウタンチ」と読む。

Using the definition of

cosh (x)

and principles of physics, it can be shown that the height of a hanging chain, such as the one in Figure 1.49, can be described by the function

h (x) = a cosh (x / a) + c

for certain constants

a

and

c .

cosh (x)

の定義と物理の原理を使うと、図1.49のように垂れ下がる鎖の高さは、定数

a

、

c

を用いた関数

h (x) = a cosh (x / a) + c

で表せることが示される。

But why are these functions called hyperbolic functions? To answer this question, consider the quantity

{cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t .

Using the definition of

cosh

and

sinh,

we see that

では、なぜ双曲線関数というのだろうか。これを考えるため、

{cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t

を調べよう。

cosh

と

sinh

の定義から、次の式を得る。

{cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = \frac{e^{2 t} + 2 + e^{−2 t}}{4} - \frac{e^{2 t} - 2 + e^{−2 t}}{4} = 1 .

{cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = \frac{e^{2 t} + 2 + e^{−2 t}}{4} - \frac{e^{2 t} - 2 + e^{−2 t}}{4} = 1

This identity is the analog of the trigonometric identity

{cos}^{2} t + {sin}^{2} t = 1 .

Here, given a value

t,

the point

(x, y) = (cosh t, sinh t)

lies on the unit hyperbola

x^{2} - y^{2} = 1

(Figure 1.50).

英語のヒント

この恒等式は、三角関数の恒等式

{cos}^{2} t + {sin}^{2} t = 1

に対応するものである。

t

の値を与えると、点

(x, y) = (cosh t, sinh t)

は単位双曲線

x^{2} - y^{2} = 1

上にある（図1.50）。

x軸は−1から3、y軸は−3から3。双曲線x² − y² = 1の右側の枝が描かれている。最も左の点はx軸との交点(1, 0)で、そこから右上と右下へ枝が伸び、横向きのU字に似た形になる。上側の枝に点(cosh 1, sinh 1)が打たれ、その座標は約(1.5, 1.2)である。 — Figure 1.50図 1.50
The unit hyperbola ${cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = 1 .$
単位双曲線 ${cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = 1$ 。

Graphs of Hyperbolic Functions双曲線関数のグラフ

To graph

cosh x

and

sinh x,

we make use of the fact that both functions approach

(1 / 2) e^{x}

x \to \infty,

since

e^{− x} \to 0

x \to \infty .

x \to − \infty, cosh x

approaches

1 / 2 e^{− x},

whereas

sinh x

approaches

−1 / 2 e^{− x} .

Therefore, using the graphs of

1 / 2 e^{x}, 1 / 2 e^{− x},

and

− 1 / 2 e^{− x}

as guides, we graph

cosh x

and

sinh x .

To graph

tanh x,

we use the fact that

tanh (0) = 0, −1 < tanh (x) < 1

for all

x, tanh x \to 1

x \to \infty,

and

tanh x \to − 1

x \to − \infty .

The graphs of the other three hyperbolic functions can be sketched using the graphs of

cosh x, sinh x,

and

tanh x

(Figure 1.51).

cosh x

と

sinh x

のグラフを描くには、

x \to \infty

のとき、どちらも

(1 / 2) e^{x}

へ近づくことを使う。

x \to \infty

のとき

e^{− x} \to 0

となるためである。逆に、

x \to − \infty

cosh x

は

1 / 2 e^{− x}

へ近づき、

sinh x

は

−1 / 2 e^{− x}

へ近づく。したがって、

1 / 2 e^{x}, 1 / 2 e^{− x}

と

− 1 / 2 e^{− x}

のグラフを目安として、

cosh x

と

sinh x

を描ける。

tanh x

を描くには、

tanh (0) = 0, −1 < tanh (x) < 1

を使う。すべての

x

tanh x \to 1

（

x \to \infty

のとき）、

tanh x \to − 1

（

x \to − \infty

のとき）である。残り3つの双曲線関数のグラフは、

cosh x, sinh x

と

tanh x

のグラフを利用して描ける（図1.51）。

6つのグラフ。どれもx軸は−3から3、y軸は−4から4。cosh xは(0, 1)まで減少し、その後増加する曲線で、比較用の曲線y = e⁻ˣ/2とy = eˣ/2より常に上にあり、どちらにも接しない。 sinh xは増加する曲線で、比較用のy = eˣ/2とy = −e⁻ˣ/2の間にあり、どちらにも接しない。sech xは(0, 1)まで増加し、その後減少する山形の曲線である。 csch xの左の枝はx軸の少し下から減少し、y軸に近づくが接しない。右の枝はy軸の右側から減少し、x軸に近づくが接しない。 tanh xは増加する曲線で、水平線y = −1とy = 1の間にあり、どちらにも接しない。coth xの左の枝はy = −1の下側から減少してy軸に近づき、右の枝はy軸の右側から減少してy = 1に近づく。いずれも漸近線には接しない。 — Figure 1.51図 1.51
The hyperbolic functions involve combinations of $e^{x}$ and $e^{− x} .$
双曲線関数は、 $e^{x}$ と $e^{− x}$ の組合せでできている。

Identities Involving Hyperbolic Functions双曲線関数の恒等式

The identity

{cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = 1

shown in Figure 1.50, is one of several identities involving the hyperbolic functions, some of which are listed next. The first four properties follow easily from the definitions of hyperbolic sine and hyperbolic cosine. Except for some differences in signs, most of these properties are analogous to identities for trigonometric functions.

英語のヒント

図1.50で示した

{cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = 1

という恒等式は、双曲線関数が満たす恒等式の1つである。そのいくつかを次にまとめる。最初の4つは、双曲線正弦と双曲線余弦の定義からすぐに導ける。符号の違いを除けば、多くは三角関数の恒等式に似ている。

Example 1.40例題 1.40

Evaluating Hyperbolic Functions双曲線関数の値を求める

Simplify $sinh (5 ln x) .$
$sinh (5 ln x)$ を簡単にせよ。
If $sinh x = 3 / 4,$ find the values of the remaining five hyperbolic functions.
$sinh x = 3 / 4$ のとき、残り5つの双曲線関数の値を求めよ。

Solution解き方

Using the definition of the $sinh$ function, we write
$sinh$ の定義から、次のように書ける。

$sinh (5 ln x) = \frac{e^{5 ln x} - e^{−5 ln x}}{2} = \frac{e^{ln (x^{5})} - e^{ln (x^{−5})}}{2} = \frac{x^{5} - x^{−5}}{2} .$
$sinh (5 ln x) = \frac{e^{5 ln x} - e^{−5 ln x}}{2} = \frac{e^{ln (x^{5})} - e^{ln (x^{−5})}}{2} = \frac{x^{5} - x^{−5}}{2}$
Using the identity ${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1,$ we see that
恒等式 ${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1$ を使うと、次の結果を得る。

${cosh}^{2} x = 1 + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{25}{16} .$
${cosh}^{2} x = 1 + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{25}{16}$

Since $cosh x \geq 1$ for all $x,$ we must have $cosh x = 5 / 4 .$ Then, using the definitions for the other hyperbolic functions, we conclude that $tanh x = 3 / 5, csch x = 4 / 3, sech x = 4 / 5,$ and $coth x = 5 / 3 .$
すべての $x$ について $cosh x \geq 1$ なので、 $cosh x = 5 / 4$ でなければならない。ほかの双曲線関数の定義を使うと、 $tanh x = 3 / 5, csch x = 4 / 3, sech x = 4 / 5$ 、 $coth x = 5 / 3$ となる。

Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数

From the graphs of the hyperbolic functions, we see that all of them are one-to-one except

cosh x

and

sech x .

If we restrict the domains of these two functions to the interval

[0, \infty),

then all the hyperbolic functions are one-to-one, and we can define the inverse hyperbolic functions. Since the hyperbolic functions themselves involve exponential functions, the inverse hyperbolic functions involve logarithmic functions.

英語のヒント

双曲線関数のグラフを見ると、

cosh x

と

sech x

以外はすべて一対一である。この2つの定義域を区間

[0, \infty)

に制限すれば、すべて一対一となり、逆双曲線関数を定義できる。双曲線関数が指数関数を含むため、その逆関数は対数関数を含む。

Let’s look at how to derive the first equation. The others follow similarly. Suppose

y = {sinh}^{−1} x .

Then,

x = sinh y

and, by the definition of the hyperbolic sine function,

x = \frac{e^{y} - e^{− y}}{2} .

Therefore,

第1の式の導き方を見てみよう。ほかの式も同様に導ける。

y = {sinh}^{−1} x

とすると、

x = sinh y

であり、双曲線正弦の定義から

x = \frac{e^{y} - e^{− y}}{2}

となる。したがって、

e^{y} - 2 x - e^{− y} = 0 .

e^{y} - 2 x - e^{− y} = 0

Multiplying this equation by

e^{y},

we obtain

この式に

e^{y}

を掛けると、次のようになる。

e^{2 y} - 2 x e^{y} - 1 = 0 .

e^{2 y} - 2 x e^{y} - 1 = 0

This can be solved like a quadratic equation, with the solution

これは2次方程式と同じように解け、その解は次のようになる。

e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1} .

e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1}

Since

e^{y} > 0,

the only solution is the one with the positive sign. Applying the natural logarithm to both sides of the equation, we conclude that

e^{y} > 0

なので、正の符号を選んだものだけが解になる。両辺の自然対数をとると、次の結果を得る。

y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .

y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})

Example 1.41例題 1.41

Evaluating Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数の値を求める

Evaluate each of the following expressions.

次の各式の値を求めよ。

{sinh}^{−1} (2)

{tanh}^{−1} (1 / 4)

Solution解き方

{sinh}^{−1} (2) = ln (2 + \sqrt{2^{2} + 1}) = ln (2 + \sqrt{5}) \approx 1.4436

{sinh}^{−1} (2) = ln (2 + \sqrt{2^{2} + 1}) = ln (2 + \sqrt{5}) \approx 1.4436

{tanh}^{−1} (1 / 4) = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 1 / 4}{1 - 1 / 4}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5 / 4}{3 / 4}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}) \approx 0.2554

{tanh}^{−1} (1 / 4) = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 1 / 4}{1 - 1 / 4}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5 / 4}{3 / 4}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}) \approx 0.2554