第3章微分

Chapter Review Exercises章末の復習問題

Exercises 367–370練習問題 367–370

True or False? Justify the answer with a proof or a counterexample.

正しいか、誤りか。証明または反例によって答えを裏付けなさい。

Exercise 367問題 367

Every function has a derivative.

どの関数にも導関数が存在する。

Solution解き方

False.

誤り。

Exercise 368問題 368

A continuous function has a continuous derivative.

連続な関数の導関数は連続である。

Exercise 369問題 369

A continuous function has a derivative.

連続な関数には導関数が存在する。

Solution解き方

False

誤り。

Exercise 370問題 370

If a function is differentiable, it is continuous.

関数が微分可能ならば、その関数は連続である。

Exercises 371–372練習問題 371–372

Use the limit definition of the derivative to exactly evaluate the derivative.

極限による導関数の定義を使い、導関数を正確に求めなさい。

Exercise 371問題 371

f (x) = \sqrt{x + 4}

f (x) = \sqrt{x + 4}

Solution解き方

\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}

\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}

Exercise 372問題 372

f (x) = \frac{3}{x}

f (x) = \frac{3}{x}

Exercises 373–380練習問題 373–380

Find the derivatives of the following functions.

次の関数の導関数を求めなさい。

Exercise 373問題 373

f (x) = 3 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}

f (x) = 3 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}

Solution解き方

9 x^{2} + \frac{8}{x^{3}}

9 x^{2} + \frac{8}{x^{3}}

Exercise 374問題 374

f (x) = {(4 - x^{2})}^{3}

f (x) = {(4 - x^{2})}^{3}

Exercise 375問題 375

f (x) = e^{sin x}

f (x) = e^{sin x}

Solution解き方

e^{sin x} cos x

e^{sin x} cos x

Exercise 376問題 376

f (x) = ln (x + 2)

f (x) = ln (x + 2)

Exercise 377問題 377

f (x) = x^{2} cos x + x tan (x)

f (x) = x^{2} cos x + x tan (x)

Solution解き方

x {sec}^{2} (x) + 2 x cos (x) + tan (x) - x^{2} sin (x)

x {sec}^{2} (x) + 2 x cos (x) + tan (x) - x^{2} sin (x)

Exercise 378問題 378

f (x) = \sqrt{3 x^{2} + 2}

f (x) = \sqrt{3 x^{2} + 2}

Exercise 379問題 379

f (x) = \frac{x}{4} {sin}^{−1} (x)

f (x) = \frac{x}{4} {sin}^{−1} (x)

Solution解き方

\frac{1}{4} (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + {sin}^{−1} (x))

\frac{1}{4} (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + {sin}^{−1} (x))

Exercise 380問題 380

x^{2} y = (y + 2) + x y sin (x)

x^{2} y = (y + 2) + x y sin (x)

Exercises 381–383練習問題 381–383

Find the following derivatives of various orders.

次の各関数について、指定された階数の導関数を求めなさい。

Exercise 381問題 381

First derivative of

y = x ln (x) cos x

y = x ln (x) cos x

の1階導関数。

Solution解き方

cos x \cdot (ln x + 1) - x ln (x) sin x

cos x \cdot (ln x + 1) - x ln (x) sin x

Exercise 382問題 382

Third derivative of

y = {(3 x + 2)}^{2}

y = {(3 x + 2)}^{2}

の3階導関数。

Exercise 383問題 383

Second derivative of

y = 4^{x} + x^{2} sin (x)

y = 4^{x} + x^{2} sin (x)

の2階導関数。

Solution解き方

4^{x} {(ln 4)}^{2} + 2 sin x + 4 x cos x - x^{2} sin x

4^{x} {(ln 4)}^{2} + 2 sin x + 4 x cos x - x^{2} sin x

Exercises 384–385練習問題 384–385

Find the equation of the tangent line to the following equations at the specified point.

次の各式について、指定された点での接線の方程式を求めなさい。

Exercise 384問題 384

y = {cos}^{−1} (x) + x

x = 0

y = {cos}^{−1} (x) + x

、

x = 0

において。

Exercise 385問題 385

y = x + e^{x} - \frac{1}{x}

x = 1

y = x + e^{x} - \frac{1}{x}

、

x = 1

において。

Solution解き方

T = (2 + e) x - 2

T = (2 + e) x - 2

Exercises 386–387練習問題 386–387

Draw the derivative for the following graphs.

次のグラフに対応する導関数のグラフを描きなさい。

Exercise 386問題 386

関数は(−3,0.5)から(−2.3,−2)の極小まで減少する。その後は(−1.5,0)を通って増加し、(0,2)付近では増加が緩やかになる。さらにゆっくり増加して(2.3,6)で極大となり、その後(3,3)まで減少する。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 387問題 387

(−1,4)から原点まで直線的に減少し、そこからはy=x²に沿って増加して、(1,1)、(2,4)を通る。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

x<0では水平な直線y=−4。x>0では原点から右へ伸びる傾き2の直線となる。x=0では値が定義されていない。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercises 388–389練習問題 388–389

The following questions concern the water level in Ocean City, New Jersey, in January, which can be approximated by

w (t) = 1.9 + 2.9 cos (\frac{π}{6} t),

where t is measured in hours after midnight, and the height is measured in feet.

次の問題では、1月のニュージャージー州オーシャンシティの水位を考える。水位は

w (t) = 1.9 + 2.9 cos (\frac{π}{6} t)

で近似できる。tは午前0時からの経過時間、水位の単位はフィートである。

Exercise 388問題 388

Find and graph the derivative. What is the physical meaning?

導関数を求めてグラフを描きなさい。その物理的な意味は何か。

Exercise 389問題 389

Find

w^{'} (3) .

What is the physical meaning of this value?

w^{'} (3)

を求めなさい。この値の物理的な意味は何か。

Solution解き方

w^{'} (3) = - \frac{2.9 π}{6} .

At 3 a.m. the tide is decreasing at a rate of 1.518 ft/hr.

w^{'} (3) = - \frac{2.9 π}{6}

。午前3時には、水位が1時間当たり約1.518フィートの割合で低下している。

Exercises 390–391練習問題 390–391

The following questions consider the wind speeds of Hurricane Katrina, which affected New Orleans, Louisiana, in August 2005. The data are displayed in a table.

次の問題では、2005年8月にルイジアナ州ニューオーリンズを襲ったハリケーン・カトリーナの風速を扱う。データを表に示す。

Wind Speeds of Hurricane Katrinaハリケーン・カトリーナの風速

Table 3.9表 3.9
Source: http://news.nationalgeographic.com/news/2005/09/0914_050914_katrina_timeline.html.
出典：http://news.nationalgeographic.com/news/2005/09/0914_050914_katrina_timeline.html。
Hours after Midnight, August 26 8月26日午前0時からの経過時間	Wind Speed (mph) 風速（mph）
1	45
5	75
11	100
29	115
49	145
58	175
73	155
81	125
85	95
107	35

Exercise 390問題 390

Using the table, estimate the derivative of the wind speed at hour 39. What is the physical meaning?

表を使い、39時間後における風速の導関数の値を推定しなさい。その物理的な意味は何か。

Exercise 391問題 391

Estimate the derivative of the wind speed at hour 83. What is the physical meaning?

83時間後における風速の導関数の値を推定しなさい。その物理的な意味は何か。

Solution解き方

−7.5 .

The wind speed is decreasing at a rate of 7.5 mph/hr

−7.5

。風速は、1時間当たり7.5 mphの割合で低下している。

logarithmic differentiation

対数微分法

is a technique that allows us to differentiate a function by first taking the natural logarithm of both sides of an equation, applying properties of logarithms to simplify the equation, and differentiating implicitly

最初に等式の両辺の自然対数を取り、対数の性質で式を簡単にしてから陰関数の微分を行う方法。