第3章微分

Higher-Order Derivatives高階導関数

The derivative of a function is itself a function, so we can find the derivative of a derivative. For example, the derivative of a position function is the rate of change of position, or velocity. The derivative of velocity is the rate of change of velocity, which is acceleration. The new function obtained by differentiating the derivative is called the second derivative. Furthermore, we can continue to take derivatives to obtain the third derivative, fourth derivative, and so on. Collectively, these are referred to as higher-order derivatives. The notation for the higher-order derivatives of

y = f (x)

can be expressed in any of the following forms:

英語のヒント

導関数も関数なので、導関数をさらに微分できる。たとえば、位置関数の導関数は位置の変化率、すなわち速度である。速度の導関数は速度の変化率、すなわち加速度となる。導関数をもう一度微分して得られる新しい関数を、2階導関数という。さらに微分を続ければ、第3次、第4次、というように導関数が得られる。これらをまとめて高階導関数と呼ぶ。

y = f (x)

の高階導関数は、次のいずれの記法でも表せる。

f^{″} (x), f ‴ (x), f^{(4)} (x),…, f^{(n)} (x)

y^{″} (x), y ‴ (x), y^{(4)} (x),…, y^{(n)} (x)

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}, \frac{d^{4} y}{d x^{4}},…, \frac{d^{n} y}{d x^{n}} .

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}, \frac{d^{4} y}{d x^{4}},…, \frac{d^{n} y}{d x^{n}}

It is interesting to note that the notation for

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

may be viewed as an attempt to express

\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})

more compactly. Analogously,

\frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})) = \frac{d}{d x} (\frac{d^{2} y}{d x^{2}}) = \frac{d^{3} y}{d x^{3}} .

英語のヒント

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

という記法は、

\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})

をより簡潔に表そうとしたものと見ることができる。同様に、

\frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})) = \frac{d}{d x} (\frac{d^{2} y}{d x^{2}}) = \frac{d^{3} y}{d x^{3}}

である。

Example 3.15例題 3.15

Finding a Second Derivative2階導関数を求める

For

f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1,

find

f^{″} (x) .

f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1

について、

f^{″} (x)

を求めなさい。

Solution解き方

First find

f^{'} (x) .

まず

f^{'} (x)

を求める。

\begin{matrix} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{(2 {(x + h)}^{2} - 3 (x + h) + 1) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{h} & \begin{matrix} Substitute f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1 \\ and \\ f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - 3 (x + h) + 1 \\ into f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} . \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} \frac{4 x h + 2 h^{2} - 3 h}{h} & Simplify the numerator. \\ = lim_{h \to 0} (4 x + 2 h - 3) & \begin{matrix} Factor out the h in the numerator \\ and cancel with the h in the \\ denominator. \end{matrix} \\ = 4 x - 3 & Take the limit. \end{matrix}

\begin{matrix} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{(2 {(x + h)}^{2} - 3 (x + h) + 1) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{h} & \begin{matrix} 代入する値： f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1 \\ および \\ f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - 3 (x + h) + 1 \\ 代入先： f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} . \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} \frac{4 x h + 2 h^{2} - 3 h}{h} & 分子を整理する。 \\ = lim_{h \to 0} (4 x + 2 h - 3) & \begin{array}{l} 分子からhをくくり出し、 \\ 分母のhと約分する。 \end{array} \\ = 4 x - 3 & 極限をとる。 \end{matrix}

Next, find

f^{″} (x)

by taking the derivative of

f^{'} (x) = 4 x - 3 .

次に、

f^{'} (x) = 4 x - 3

を微分して

f^{″} (x)

を求める。

\begin{matrix} f^{″} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{f^{'} (x + h) - f^{'} (x)}{h} & \begin{matrix} Use f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} with f^{'} (x) in \\ place of f (x) . \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} \frac{(4 (x + h) - 3) - (4 x - 3)}{h} & \begin{matrix} Substitute f^{'} (x + h) = 4 (x + h) - 3 and \\ f^{'} (x) = 4 x - 3. \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} 4 & Simplify. \\ = 4 & Take the limit. \end{matrix}

\begin{matrix} f^{″} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{f^{'} (x + h) - f^{'} (x)}{h} & \begin{array}{l} 導関数の定義 f′(x)=lim[h→0] \\ (f(x+h)−f(x))/h を用い、 \\ fの代わりにf′を微分する。 \end{array} \\ = lim_{h \to 0} \frac{(4 (x + h) - 3) - (4 x - 3)}{h} & \begin{matrix} 代入する値： f^{'} (x + h) = 4 (x + h) - 3 および \\ f^{'} (x) = 4 x - 3. \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} 4 & 整理する。 \\ = 4 & 極限をとる。 \end{matrix}

Example 3.16例題 3.16

Finding Acceleration加速度を求める

The position of a particle along a coordinate axis at time

t

(in seconds) is given by

s (t) = 3 t^{2} - 4 t + 1

(in meters). Find the function that describes its acceleration at time

t .

座標軸に沿って動く粒子の、時刻

t

秒における位置を

s (t) = 3 t^{2} - 4 t + 1

メートルとする。時刻

t

での加速度を表す関数を求めなさい。

Solution解き方

Since

v (t) = s^{'} (t)

and

a (t) = v^{'} (t) = s^{″} (t),

we begin by finding the derivative of

s (t) :

v (t) = s^{'} (t)

かつ

a (t) = v^{'} (t) = s^{″} (t)

なので、まず

s (t)

の導関数を求める。

\begin{matrix} s^{'} (t) & = lim_{h \to 0} \frac{s (t + h) - s (t)}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{3 {(t + h)}^{2} - 4 (t + h) + 1 - (3 t^{2} - 4 t + 1)}{h} \\ = 6 t - 4. \end{matrix}

Next,

次に、

\begin{matrix} s^{″} (t) & = lim_{h \to 0} \frac{s^{'} (t + h) - s^{'} (t)}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{6 (t + h) - 4 - (6 t - 4)}{h} \\ = 6. \end{matrix}

Thus,

a = 6 {m/s}^{2} .

したがって、

a = 6 {m/s}^{2}

である。

Key Concepts重要な概念

The derivative of a function $f (x)$ is the function whose value at $x$ is $f^{'} (x) .$
関数 $f (x)$ の導関数とは、 $x$ に対して $f^{'} (x)$ という値を与える関数である。
The graph of a derivative of a function $f (x)$ is related to the graph of $f (x) .$ Where $f (x)$ has a tangent line with positive slope, $f^{'} (x) > 0 .$ Where $f (x)$ has a tangent line with negative slope, $f^{'} (x) < 0 .$ Where $f (x)$ has a horizontal tangent line, $f^{'} (x) = 0 .$
関数 $f (x)$ の導関数のグラフは、 $f (x)$ のグラフと関連している。 $f (x)$ の接線の傾きが正なら $f^{'} (x) > 0$ 、 $f (x)$ の接線の傾きが負なら $f^{'} (x) < 0$ となる。 $f (x)$ の接線が水平なら $f^{'} (x) = 0$ である。
If a function is differentiable at a point, then it is continuous at that point. A function is not differentiable at a point if it is not continuous at the point, if it has a vertical tangent line at the point, or if the graph has a sharp corner or cusp.
ある点で微分可能なら、関数はその点で連続である。その点で連続でない場合、鉛直な接線をもつ場合、グラフに鋭い角や尖点がある場合には、微分できない。
Higher-order derivatives are derivatives of derivatives, from the second derivative to the $n th$ derivative.
高階導関数とは、導関数をさらに微分して得る、第2次から第 $n$ 次までの導関数である。

Key Equations重要な式

The derivative function

導関数

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Exercises 54–63練習問題 54–63

For the following exercises, use the definition of a derivative to find

f^{'} (x) .

次の問題では、導関数の定義を使って

f^{'} (x)

を求めなさい。

Exercise 54問題 54

f (x) = 6

f (x) = 6

Exercise 55問題 55

f (x) = 2 - 3 x

f (x) = 2 - 3 x

Solution解き方

−3

−3

Exercise 56問題 56

f (x) = \frac{2 x}{7} + 1

f (x) = \frac{2 x}{7} + 1

Exercise 57問題 57

f (x) = 4 x^{2}

f (x) = 4 x^{2}

Solution解き方

8 x

8 x

Exercise 58問題 58

f (x) = 5 x - x^{2}

f (x) = 5 x - x^{2}

Exercise 59問題 59

f (x) = \sqrt{2 x}

f (x) = \sqrt{2 x}

Solution解き方

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

Exercise 60問題 60

f (x) = \sqrt{x - 6}

f (x) = \sqrt{x - 6}

Exercise 61問題 61

f (x) = \frac{9}{x}

f (x) = \frac{9}{x}

Solution解き方

\frac{−9}{x^{2}}

\frac{−9}{x^{2}}

Exercise 62問題 62

f (x) = x + \frac{1}{x}

f (x) = x + \frac{1}{x}

Exercise 63問題 63

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

Solution解き方

\frac{−1}{2 x^{3 / 2}}

\frac{−1}{2 x^{3 / 2}}

Exercises 64–67練習問題 64–67

For the following exercises, use the graph of

y = f (x)

to sketch the graph of its derivative

f^{'} (x) .

次の問題では、

y = f (x)

のグラフを使い、導関数

f^{'} (x)

のグラフの概形を描きなさい。

Exercise 64問題 64

関数f(x)は(−2,20)から減少し、原点を通っておよそ(0.5,−1)で極小となる。そこから増加し、(1,0)を通って(2.25,2)で極大となる。その後は再び減少し、(3,0)を通って(4,−20)へ伸びる。

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Exercise 65問題 65

関数f(x)は(−1.5,20)から減少し、(0,10)を通る。この点では微分係数が0に見える。その後も減少して(1.7,0)を通り、(3,−17)で最小となる。そこから急に増加し、(3.8,0)を通って(4,20)へ伸びる。

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Solution解き方

曲線は第3象限から増加して原点に接する。その後減少して(2,−16)で最小となり、再び増加する。x=3でx軸を横切った後も増加し続ける。

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Exercise 66問題 66

関数f(x)は(−2.25,−20)から急に増加し、(−2,0)を通って(−1.4,8)で極大となる。その後、原点まで減少する。グラフはy軸について対称であり、そこから(1.4,8)まで増加した後、(2,0)を通って(2.25,−20)へ減少する。

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Exercise 67問題 67

曲線は(−3,−1)付近から増加し、およそ(−1.5,0)を通って(0,1)で最大となる。その後減少し、およそ(1.5,0)を通って(3,−1)付近へ伸びる。

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Solution解き方

曲線は(−3,0)から増加して(−1.5,1)で最大となり、原点を通って(1.5,−1)まで減少する。その後増加し、x=3でx軸に達する。

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Exercises 68–73練習問題 68–73

For the following exercises, the given limit represents the derivative of a function

y = f (x)

x = a .

Find

f (x)

and

a .

次の各極限は、関数

y = f (x)

の

x = a

における微分係数を表している。

f (x)

と

a

を求めなさい。

Exercise 68問題 68

lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{2 / 3} - 1}{h}

lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{2 / 3} - 1}{h}

Exercise 69問題 69

lim_{h \to 0} \frac{[3 {(2 + h)}^{2} + 2] - 14}{h}

lim_{h \to 0} \frac{[3 {(2 + h)}^{2} + 2] - 14}{h}

Solution解き方

f (x) = 3 x^{2} + 2, a = 2

f (x) = 3 x^{2} + 2, a = 2

Exercise 70問題 70

lim_{h \to 0} \frac{cos (π + h) + 1}{h}

lim_{h \to 0} \frac{cos (π + h) + 1}{h}

Exercise 71問題 71

lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{4} - 16}{h}

lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{4} - 16}{h}

Solution解き方

f (x) = x^{4}, a = 2

f (x) = x^{4}, a = 2

Exercise 72問題 72

lim_{h \to 0} \frac{[2 {(3 + h)}^{2} - (3 + h)] - 15}{h}

lim_{h \to 0} \frac{[2 {(3 + h)}^{2} - (3 + h)] - 15}{h}

Exercise 73問題 73

lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h}

lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h}

Solution解き方

f (x) = e^{x}, a = 0

f (x) = e^{x}, a = 0

Exercises 74–77練習問題 74–77

For the following functions,

次の各関数について、以下を行いなさい。

sketch the graph and
グラフの概形を描く。
use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at $x = 1 .$
微分係数の定義を使い、この関数が $x = 1$ で微分可能でないことを示す。

Exercise 74問題 74

f (x) = {\begin{cases} 2 \sqrt{x}, 0 \leq x \leq 1 \\ 3 x - 1, x > 1 \end{cases}

f (x) = {\begin{cases} 2 \sqrt{x}, 0 \leq x \leq 1 \\ 3 x - 1, x > 1 \end{cases}

Exercise 75問題 75

f (x) = {\begin{cases} 3, x < 1 \\ 3 x, x \geq 1 \end{cases}

f (x) = {\begin{cases} 3, x < 1 \\ 3 x, x \geq 1 \end{cases}

Solution解き方

グラフは(1,3)まではy=3の水平線であり、その点から先は傾き3の直線として増加する。

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lim_{h \to 1^{-}} \frac{3 - 3}{h} \neq lim_{h \to 1^{+}} \frac{3 h}{h}

lim_{h \to 1^{-}} \frac{3 - 3}{h} \neq lim_{h \to 1^{+}} \frac{3 h}{h}

Exercise 76問題 76

f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 2, x \leq 1 \\ x, x > 1 \end{cases}

f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 2, x \leq 1 \\ x, x > 1 \end{cases}

Exercise 77問題 77

f (x) = {\begin{cases} 2 x, x \leq 1 \\ \frac{2}{x}, x > 1 \end{cases}

f (x) = {\begin{cases} 2 x, x \leq 1 \\ \frac{2}{x}, x > 1 \end{cases}

Solution解き方

グラフは第3象限から傾き2の直線として原点を通り、(1,2)に達する。その先はy=2/xの曲線に沿い、下に凸の形で減少する。

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lim_{h \to 1^{-}} \frac{2 h}{h} \neq lim_{h \to 1^{+}} \frac{\frac{2}{x + h} - \frac{2}{x}}{h} .

lim_{h \to 1^{-}} \frac{2 h}{h} \neq lim_{h \to 1^{+}} \frac{\frac{2}{x + h} - \frac{2}{x}}{h}

Exercises 78–80練習問題 78–80

For the following graphs,

次の各グラフについて、以下を調べなさい。

determine for which values of $x = a$ the $lim_{x \to a} f (x)$ exists but $f$ is not continuous at $x = a,$ and
$lim_{x \to a} f (x)$ は存在するが、 $f$ が $x = a$ で連続でないのは、どの $x = a$ の値かを求める。
determine for which values of $x = a$ the function is continuous but not differentiable at $x = a .$
関数が $x = a$ で連続だが微分可能でないのは、どの $x = a$ の値かを求める。

Exercise 78問題 78

グラフは(−6,2)から増加し、(−5.3,4)付近で極大となった後、端点を含む(−4,3)まで伸びる。次の部分は(−4,−2)から始まり、ゆっくり増加して(−2.25,0)、(−1,4)を通り、(−0.1,5.3)付近で極大となる。その後は減少し、端点を含む(2,−1)まで伸びる。さらに(2,5)から始まる部分は、(2.6,6)まで増加し、(4.5,−3)まで減少する。(4,2)のところに不連続がある。

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Exercise 79問題 79

グラフは(−3,−1)から増加し、端点を含む(−1,3)で終わる。次の部分は(−1,1)から始まり、急に増加して、端点を含む(0,4)で終わる。さらに(0,3)から始まり、(1,1)まで直線的に減少する。ただしx=1では不連続で、関数値は2である。その先は(1,1)から(2,3.5)まで直線的に増加し、そこから(3,2)まで直線的に減少する。

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Solution解き方

x = 1,

x = 2

x = 1

x = 2

Exercise 80問題 80

Use the graph to evaluate a.

f^{'} (−0.5),

f^{'} (0),

f^{'} (1),

f^{'} (2),

and e.

f^{'} (3),

if it exists.

グラフを使い、(a)

f^{'} (−0.5)

、(b)

f^{'} (0)

、(c)

f^{'} (1)

、(d)

f^{'} (2)

、(e)

f^{'} (3)

を、それぞれ存在する場合に求めなさい。

グラフは(−3,0)から(0,3)まで直線的に増加し、そこで極大となる。その後、(2,1)まで直線的に減少し、そこから(4,5)まで直線的に増加する。

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Exercises 81–83練習問題 81–83

For the following functions, use

f^{″} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f^{'} (x + h) - f^{'} (x)}{h}

to find

f^{″} (x) .

次の関数について、

f^{″} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f^{'} (x + h) - f^{'} (x)}{h}

を使って

f^{″} (x)

を求めなさい。

Exercise 81問題 81

f (x) = 2 - 3 x

f (x) = 2 - 3 x

Solution解き方

0

0

Exercise 82問題 82

f (x) = 4 x^{2}

f (x) = 4 x^{2}

Exercise 83問題 83

f (x) = x + \frac{1}{x}

f (x) = x + \frac{1}{x}

Solution解き方

\frac{2}{x^{3}}

\frac{2}{x^{3}}

Exercises 84–89練習問題 84–89

For the following exercises, use a calculator to graph

f (x) .

Determine the function

f^{'} (x),

then use a calculator to graph

f^{'} (x) .

次の問題では、電卓を使って

f (x)

のグラフを描きなさい。導関数

f^{'} (x)

を求め、次に電卓を使って

f^{'} (x)

のグラフを描きなさい。

Exercise 84問題 84

[T]

f (x) = - \frac{5}{x}

[T]

f (x) = - \frac{5}{x}

Exercise 85問題 85

[T]

f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 4 .

[T]

f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 4

Solution解き方

f^{'} (x) = 6 x + 2

f^{'} (x) = 6 x + 2

f(x)のグラフは、y切片が4で上向きに開く放物線。f′(x)のグラフは、y切片が2、傾きが6の直線である。

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Exercise 86問題 86

[T]

f (x) = \sqrt{x} + 3 x

[T]

f (x) = \sqrt{x} + 3 x

Exercise 87問題 87

[T]

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x}}

[T]

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x}}

Solution解き方

f^{'} (x) = - \frac{1}{{(2 x)}^{3 / 2}}

f^{'} (x) = - \frac{1}{{(2 x)}^{3 / 2}}

f(x)のグラフは第1象限にあり、x=0とy=0を漸近線とする。f′(x)のグラフは第4象限にあり、同じくx=0とy=0を漸近線とする。

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Exercise 88問題 88

[T]

f (x) = 1 + x + \frac{1}{x}

[T]

f (x) = 1 + x + \frac{1}{x}

Exercise 89問題 89

[T]

f (x) = x^{3} + 1

[T]

f (x) = x^{3} + 1

Solution解き方

f^{'} (x) = 3 x^{2}

f^{'} (x) = 3 x^{2}

f(x)は、三乗の関数のグラフを上へ1だけ平行移動したもの。f′(x)は、通常の二乗の関数よりやや急に立ち上がる放物線である。

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Exercises 90–99練習問題 90–99

For the following exercises, describe what the two expressions represent in terms of each of the given situations. Be sure to include units.

次の各状況について、二つの式が何を表すか説明しなさい。必ず単位も示すこと。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$
$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$
$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$
$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Exercise 90問題 90

P (x)

denotes the population of a city at time

x

in years.

P (x)

は、年を単位とする時刻

x

における都市の人口を表す。

Exercise 91問題 91

C (x)

denotes the total amount of money (in thousands of dollars) spent on concessions by

x

customers at an amusement park.

C (x)

は、遊園地の客

x

人が売店で使う金額の総額を、千ドル単位で表す。

Solution解き方

a. Average rate at which customers spent on concessions in thousands per customer. b. Rate (in thousands per customer) at which

x

customers spent money on concessions in thousands per customer.

(a) 客数が変わる区間での、売店で使う総額の平均変化率。単位は千ドル／人。　(b) 客数が

x

人のときの、売店で使う総額の変化率。単位は同じく千ドル／人。

Exercise 92問題 92

R (x)

denotes the total cost (in thousands of dollars) of manufacturing

x

clock radios.

R (x)

は、時計付きラジオを

x

台製造する総費用を、千ドル単位で表す。

Exercise 93問題 93

g (x)

denotes the grade (in percentage points) received on a test, given

x

hours of studying.

g (x)

は、

x

時間勉強したときの試験の得点率を、パーセントポイントで表す。

Solution解き方

a. Average grade received on the test with an average study time between two values. b. Rate (in percentage points per hour) at which the grade on the test increased or decreased for a given average study time of

x

hours.

(a) 二つの勉強時間の間での得点率の平均変化率。　(b) 勉強時間が

x

時間のときに、試験の得点率が増減する割合。単位はパーセントポイント／時間。

Exercise 94問題 94

B (x)

denotes the cost (in dollars) of a sociology textbook at university bookstores in the United States in

x

years since

1990 .

B (x)

は、

1990 .

年から

x

年後に、米国の大学の書店で販売される社会学の教科書の価格を、ドル単位で表す。

Exercise 95問題 95

p (x)

denotes atmospheric pressure in Torrs at an altitude of

x

feet.

p (x)

は、高度

x

フィートにおける大気圧をTorr単位で表す。

Solution解き方

a. Average change of atmospheric pressure between two different altitudes. b. Rate (torr per foot) at which atmospheric pressure is increasing or decreasing at

x

feet.

(a) 二つの高度の間での、大気圧の平均変化率。　(b) 高度

x

フィートにおいて大気圧が増減する割合。単位はTorr／フィート。

Exercise 96問題 96

Sketch the graph of a function

y = f (x)

with all of the following properties:

次の性質をすべて満たす関数

y = f (x)

のグラフの概形を描きなさい。

$f^{'} (x) > 0$ for $−2 \leq x < 1$
$−2 \leq x < 1$ では $f^{'} (x) > 0$ 。
$f^{'} (2) = 0$
$f^{'} (2) = 0$
$f^{'} (x) > 0$ for $x > 2$
$x > 2$ では $f^{'} (x) > 0$ 。
$f (2) = 2$ and $f (0) = 1$
$f (2) = 2$ かつ $f (0) = 1$ 。
$lim_{x \to − \infty} f (x) = 0$ and $lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$
$lim_{x \to − \infty} f (x) = 0$ かつ $lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ 。
$f^{'} (1)$ does not exist.
$f^{'} (1)$ は存在しない。

Exercise 97問題 97

Suppose temperature

T

in degrees Fahrenheit at a height

x

in feet above the ground is given by

y = T (x) .

地面からの高さ

x

フィートにおける華氏温度

T

が、

y = T (x)

で与えられるとする。

Give a physical interpretation, with units, of $T^{'} (x) .$
$T^{'} (x)$ の物理的な意味を、単位も含めて説明する。
If we know that $T^{'} (1000) = −0.1,$ explain the physical meaning.
$T^{'} (1000) = −0.1$ であると分かっているとき、その物理的な意味を説明する。

Solution解き方

a. The rate (in degrees per foot) at which temperature is increasing or decreasing for a given height

x .

b. The rate of change of temperature as altitude changes at

1000

feet is

−0.1

degrees per foot.

(a) 高さ

x

において、温度が増減する割合。単位は華氏度／フィート。　(b) 高度

1000

フィートで、高度の変化に対する温度の変化率は、1フィート当たり

−0.1

度である。

Exercise 98問題 98

Suppose the total profit of a company is

y = P (x)

thousand dollars when

x

units of an item are sold.

ある商品が

x

個売れたとき、会社の総利益は

y = P (x)

千ドルになるとする。

What does $\frac{P (b) - P (a)}{b - a}$ for $0 < a < b$ measure, and what are the units?
$0 < a < b$ に対して、 $\frac{P (b) - P (a)}{b - a}$ は何を測っているか。単位も示す。
What does $P^{'} (x)$ measure, and what are the units?
$P^{'} (x)$ は何を測っているか。単位も示す。
Suppose that $P^{'} (30) = 5,$ what is the approximate change in profit if the number of items sold increases from $30 to 31 ?$
$P^{'} (30) = 5$ とする。販売個数が $30 から 31$ へ増えたとき、利益はおよそいくら変わるか。

Exercise 99問題 99

The graph in the following figure models the number of people

N (t)

who have come down with the flu

t

weeks after its initial outbreak in a town with a population of

50,000

citizens.

英語のヒント

次のグラフは、人口

50,000

人の町で、インフルエンザが最初に発生してから

t

週間後までに罹患した人数

N (t)

を表すモデルである。

Describe what $N^{'} (t)$ represents and how it behaves as $t$ increases.
$N^{'} (t)$ が何を表すか、また $t$ が増えるとどう変わるかを説明する。
What does the derivative tell us about how this town is affected by the flu outbreak?
この町へのインフルエンザ流行の影響について、導関数から何が分かるか。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

a. The rate at which the number of people who have come down with the flu is changing

t

weeks after the initial outbreak. b. The rate is increasing sharply up to the third week, at which point it slows down and then becomes constant.

a. 最初の発生から

t

週間後に、罹患者数が増える割合を表す。図では、この割合は初め大きくなり、第2週付近を境に小さくなって、やがて0に近づく。b. 最初は感染拡大が勢いを増すが、その後は新たに罹患する人数が減っていく。累計の罹患者数は減らず、およそ50,000人に近づく。