第3章微分

3.4 Derivatives as Rates of Change3.4　変化率としての導関数

Learning Objectives学習目標

Determine a new value of a quantity from the old value and the amount of change.
元の値と変化量から、新しい値を求める。
Calculate the average rate of change and explain how it differs from the instantaneous rate of change.
平均変化率を計算し、瞬間変化率との違いを説明する。
Apply rates of change to displacement, velocity, and acceleration of an object moving along a straight line.
変化率を、直線上を動く物体の変位・速度・加速度に適用する。
Predict the future population from the present value and the population growth rate.
現在の人口・個体数と増加率から、将来の規模を予測する。
Use derivatives to calculate marginal cost and revenue in a business situation.
導関数を使い、企業の限界費用と限界収入を計算する。

In this section we look at some applications of the derivative by focusing on the interpretation of the derivative as the rate of change of a function. These applications include acceleration and velocity in physics, population growth rates in biology, and marginal functions in economics.

英語のヒント

この節では、導関数を関数の変化率と捉えることに焦点を当て、いくつかの応用を学ぶ。物理学での加速度と速度、生物学での個体数の増加率、経済学での限界関数などがその例である。

Amount of Change Formula変化量を使った近似公式

One application for derivatives is to estimate an unknown value of a function at a point by using a known value of a function at some given point together with its rate of change at the given point. If

f (x)

is a function defined on an interval

[a, a + h],

then the amount of change of

f (x)

over the interval is the change in the

y

values of the function over that interval and is given by

英語のヒント

導関数の応用の1つは、ある点での関数値とその点での変化率を使い、近くの点での未知の関数値を推定することである。

f (x)

が区間

[a, a + h]

で定義されているとする。この区間における

f (x)

の変化量は、区間の両端での関数の

y

の値の差であり、次式で表される。

f (a + h) - f (a) .

f (a + h) - f (a)

The average rate of change of the function

f

over that same interval is the ratio of the amount of change over that interval to the corresponding change in the

x

values. It is given by

同じ区間における関数

f

の平均変化率は、この変化量を、それに対応する

x

の値の変化量で割った比である。次式で表される。

\frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

\frac{f (a + h) - f (a)}{h}

As we already know, the instantaneous rate of change of

f (x)

a

is its derivative

すでに学んだように、

a

における

f (x)

の瞬間変化率は、微分係数

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

For small enough values of

h, f^{'} (a) \approx \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

We can then solve for

f (a + h)

to get the amount of change formula:

hが十分小さければ、

h, f^{'} (a) \approx \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

と近似できる。これを

f (a + h)

について解くと、変化量を使った近似公式が得られる。

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h .

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h

(3.10)

We can use this formula if we know only

f (a)

and

f^{'} (a)

and wish to estimate the value of

f (a + h) .

For example, we may use the current population of a city and the rate at which it is growing to estimate its population in the near future. As we can see in Figure 3.22, we are approximating

f (a + h)

by the

y

coordinate at

a + h

on the line tangent to

f (x)

x = a .

Observe that the accuracy of this estimate depends on the value of

h

as well as the value of

f^{'} (a) .

英語のヒント

この公式は、

f (a)

と

f^{'} (a)

がわかっていて、

f (a + h)

を推定したいときに使える。例えば、都市の現在の人口とその増加率から、近い将来の人口を推定できる。図3.22でわかるように、

f (a + h)

を、

x = a

における

f (x)

の接線上で、横座標が

a + h

となる点の

y

座標で近似している。この推定の精度は、

f^{'} (a)

の値だけでなく

h

の値にも依存することに注意しよう。

座標平面のx軸上にaとa+hが示され、関数fの曲線が(a,f(a))と(a+h,f(a+h))を通る。(a,f(a))での接線は、その点の微分係数を傾きとし、(a+h,f(a)+f′(a)h)を通る。x=a+hにおける曲線と接線の間の縦の線分は、f(a+h)をf(a)+f′(a)hで推定したときの誤差を表す。 — Figure 3.22図 3.22
The new value of a changed quantity equals the original value plus the rate of change times the interval of change: $f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h.$
変化後の値は、「元の値＋変化率×変化させた幅」で近似できる。 $f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h.$

Example 3.33例題 3.33

Estimating the Value of a Function関数の値を推定する

f (3) = 2

and

f^{'} (3) = 5,

estimate

f (3.2) .

f (3) = 2

、

f^{'} (3) = 5

のとき、

f (3.2)

を推定しなさい。

Solution解き方

Begin by finding

h .

We have

h = 3.2 - 3 = 0.2 .

Thus,

まず

h

を求める。

h = 3.2 - 3 = 0.2

なので、

f (3.2) = f (3 + 0.2) \approx f (3) + (0.2) f^{'} (3) = 2 + 0.2 (5) = 3 .

f (3.2) = f (3 + 0.2) \approx f (3) + (0.2) f^{'} (3) = 2 + 0.2 (5) = 3

Motion along a Line直線上の運動

Another use for the derivative is to analyze motion along a line. We have described velocity as the rate of change of position. If we take the derivative of the velocity, we can find the acceleration, or the rate of change of velocity. It is also important to introduce the idea of speed, which is the magnitude of velocity. Thus, we can state the following mathematical definitions.

英語のヒント

導関数は、直線上の運動の解析にも使える。これまでに、速度は位置の変化率であると述べた。速度を微分すれば、速度の変化率である加速度が求まる。また、速度の大きさである「速さ」を区別して考えることも重要である。これらを数学的に次のように定義する。

Example 3.34例題 3.34

Comparing Instantaneous Velocity and Average Velocity瞬間速度と平均速度を比べる

A ball is dropped from a height of 64 feet. Its height above ground (in feet)

t

seconds later is given by

s (t) = −16 t^{2} + 64 .

高さ64フィートからボールを落とす。

t

秒後の地面からの高さを、フィート単位で

s (t) = −16 t^{2} + 64

と表す。

高さs(t)=−16t²+64のグラフ。時刻0、高さ64の点(0,64)から、時刻2で地面に達する点(2,0)まで減少する。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

What is the instantaneous velocity of the ball when it hits the ground?
ボールが地面に当たる瞬間の速度はいくらか。
What is the average velocity during its fall?
落下中の平均速度はいくらか。

Solution解き方

The first thing to do is determine how long it takes the ball to reach the ground. To do this, set

s (t) = 0 .

Solving

−16 t^{2} + 64 = 0,

we get

t = 2,

so it take 2 seconds for the ball to reach the ground.

まず、ボールが地面に達するまでの時間を求める。そのために

s (t) = 0

とおく。

−16 t^{2} + 64 = 0

を解くと

t = 2

が得られるので、地面に達するまで2秒かかる。

The instantaneous velocity of the ball as it strikes the ground is $v (2) .$ Since $v (t) = s^{'} (t) = −32 t,$ we obtain $v (2) = −64 ft/s .$
ボールが地面に当たる瞬間の速度は $v (2)$ である。 $v (t) = s^{'} (t) = −32 t$ なので、 $v (2) = −64 ft/s$ となる。
The average velocity of the ball during its fall is
落下中のボールの平均速度は、

$v_{a v e} = \frac{s (2) - s (0)}{2 - 0} = \frac{0 - 64}{2} = −32 ft/s .$
$v_{a v e} = \frac{s (2) - s (0)}{2 - 0} = \frac{0 - 64}{2} = −32 ft/s$

Example 3.35例題 3.35

Interpreting the Relationship between $v (t)$ and $a (t)$ $v (t)$ と $a (t)$ の関係を読み取る

A particle moves along a coordinate axis in the positive direction to the right. Its position at time

t

is given by

s (t) = t^{3} - 4 t + 2 .

Find

v (1)

and

a (1)

and use these values to answer the following questions.

右向きを正とする座標軸上を質点が運動している。時刻

t

の位置は

s (t) = t^{3} - 4 t + 2

で表される。

v (1)

と

a (1)

を求め、それらを使って次の問いに答えなさい。

Is the particle moving from left to right or from right to left at time $t = 1 ?$
時刻 $t = 1$ で、質点は左から右へ動いているか、それとも右から左へ動いているか。
Is the particle speeding up or slowing down at time $t = 1 ?$
時刻 $t = 1$ で、質点の速さは増しているか、それとも小さくなっているか。

Solution解き方

Begin by finding

v (t)

and

a (t) .

まず

v (t)

と

a (t)

を求める。

v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 4

and

a (t) = v^{'} (t) = s^{″} (t) = 6 t .

v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 4

、および

a (t) = v^{'} (t) = s^{″} (t) = 6 t

である。

Evaluating these functions at

t = 1,

we obtain

v (1) = −1

and

a (1) = 6 .

t = 1

を代入すると、

v (1) = −1

、

a (1) = 6

となる。

Because $v (1) < 0,$ the particle is moving from right to left.
$v (1) < 0$ なので、質点は右から左へ動いている。
Because $v (1) < 0$ and $a (1) > 0,$ velocity and acceleration are acting in opposite directions. In other words, the particle is being accelerated in the direction opposite the direction in which it is traveling, causing $| v (t) |$ to decrease. The particle is slowing down.
$v (1) < 0$ かつ $a (1) > 0$ なので、速度と加速度は逆向きである。つまり、進行方向と逆向きに加速され、 $| v (t) |$ が減少する。質点の速さは小さくなっている。

Example 3.36例題 3.36

Position and Velocity位置と速度

The position of a particle moving along a coordinate axis is given by

s (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 4, t \geq 0 .

座標軸上を運動する質点の位置を、

s (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 4, t \geq 0

で表す。

Find $v (t) .$
$v (t)$ を求めなさい。
At what time(s) is the particle at rest?
質点が静止する時刻を求めなさい。
On what time intervals is the particle moving from left to right? From right to left?
左から右へ動く時間区間と、右から左へ動く時間区間を求めなさい。
Use the information obtained to sketch the path of the particle along a coordinate axis.
求めた情報を使い、座標軸上での質点の動きの概略を描きなさい。

Solution解き方

The velocity is the derivative of the position function:
速度は位置関数の導関数である。

$v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 18 t + 24 .$
$v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 18 t + 24$
The particle is at rest when $v (t) = 0,$ so set $3 t^{2} - 18 t + 24 = 0 .$ Factoring the left-hand side of the equation produces $3 (t - 2) (t - 4) = 0 .$ Solving, we find that the particle is at rest at $t = 2$ and $t = 4 .$
$v (t) = 0$ のときに質点は静止するので、 $3 t^{2} - 18 t + 24 = 0$ とおく。左辺を因数分解すると $3 (t - 2) (t - 4) = 0$ となる。これを解くと、 $t = 2$ と $t = 4$ で静止することがわかる。
The particle is moving from left to right when $v (t) > 0$ and from right to left when $v (t) < 0 .$ Figure 3.23 gives the analysis of the sign of $v (t)$ for $t \geq 0,$ but it does not represent the axis along which the particle is moving.
$v (t) > 0$ のときは左から右へ、 $v (t) < 0$ のときは右から左へ動く。図3.23は $t \geq 0$ での $v (t)$ の符号を調べたものであり、質点が動く空間の座標軸を表しているわけではない。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 3.23図 3.23
The sign of v(t) determines the direction of the particle.
v(t)の符号が質点の進む向きを決める。

Since $3 t^{2} - 18 t + 24 > 0$ on $[0, 2) \cup (4, + \infty),$ the particle is moving from left to right on these intervals.
Since $3 t^{2} - 18 t + 24 < 0$ on $(2, 4),$ the particle is moving from right to left on this interval.
$[0, 2) \cup (4, + \infty)$ では $3 t^{2} - 18 t + 24 > 0$ なので、これらの区間で質点は左から右へ動く。 $(2, 4)$ では $3 t^{2} - 18 t + 24 < 0$ なので、この区間では右から左へ動く。
Before we can sketch the graph of the particle, we need to know its position at the time it starts moving $(t = 0)$ and at the times that it changes direction $(t = 2, 4) .$ We have $s (0) = 4, s (2) = 24,$ and $s (4) = 20 .$ This means that the particle begins on the coordinate axis at 4 and changes direction at 24 and 20 on the coordinate axis. The path of the particle is shown on a coordinate axis in Figure 3.24.
質点の動きを描くには、動き始めの時刻 $(t = 0)$ と、向きが変わる時刻 $(t = 2, 4)$ での位置を知る必要がある。 $s (0) = 4, s (2) = 24$ 、 $s (4) = 20$ である。したがって質点は座標4から動き始め、座標24と20で向きを変える。図3.24に、その動きを座標軸上に示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 3.24図 3.24
The path of the particle can be determined by analyzing v(t).
v(t)を調べれば、質点の動きを決定できる。

第3章微分

3.4 Derivatives as Rates of Change3.4 変化率としての導関数

Learning Objectives学習目標

Amount of Change Formula変化量を使った近似公式

Estimating the Value of a Function関数の値を推定する

Motion along a Line直線上の運動

Comparing Instantaneous Velocity and Average Velocity瞬間速度と平均速度を比べる

Interpreting the Relationship between v(t) and a(t)v(t)とa(t)の関係を読み取る

Position and Velocity位置と速度

3.4 Derivatives as Rates of Change3.4　変化率としての導関数

Interpreting the Relationship between $v (t)$ and $a (t)$ $v (t)$ と $a (t)$ の関係を読み取る