第3章微分

3.8 Implicit Differentiation3.8　陰関数の微分

Learning Objectives学習目標

Find the derivative of a complicated function by using implicit differentiation.
陰関数の微分を使い、複雑な関数の導関数を求める。
Use implicit differentiation to determine the equation of a tangent line.
陰関数の微分を使い、接線の方程式を求める。

We have already studied how to find equations of tangent lines to functions and the rate of change of a function at a specific point. In all these cases we had the explicit equation for the function and differentiated these functions explicitly. Suppose instead that we want to determine the equation of a tangent line to an arbitrary curve or the rate of change of an arbitrary curve at a point. In this section, we solve these problems by finding the derivatives of functions that define

y

implicitly in terms of

x .

英語のヒント

これまでに、関数のグラフの接線の方程式や、ある点での変化率を求める方法を学んだ。いずれも、関数が陽に表された式を使って微分していた。では、一般の曲線の接線の方程式や、ある点での変化率を求めたい場合はどうだろう。この節では、

y

を

x

によって陰に定める関係式から導関数を求め、これらの問題を解く。

Implicit Differentiation陰関数の微分

In most discussions of math, if the dependent variable

y

is a function of the independent variable

x,

we express y in terms of

x .

If this is the case, we say that

y

is an explicit function of

x .

For example, when we write the equation

y = x^{2} + 1,

we are defining y explicitly in terms of

x .

On the other hand, if the relationship between the function

y

and the variable

x

is expressed by an equation where

y

is not expressed entirely in terms of

x,

we say that the equation defines y implicitly in terms of

x .

For example, the equation

y - x^{2} = 1

defines the function

y = x^{2} + 1

implicitly.

英語のヒント

数学では普通、従属変数

y

が独立変数

x

の関数なら、yを

x

の式で表す。この場合、

y

は

x

の陽関数であるという。例えば、

y = x^{2} + 1

と書けば、yを

x

によって陽に定めている。一方、関数

y

と変数

x

の関係を、

y

が

x

だけの式になっていない方程式で表したとき、その方程式はyを

x

によって陰に定めているという。例えば、方程式

y - x^{2} = 1

は、関数

y = x^{2} + 1

を陰に定める。

Implicit differentiation allows us to find slopes of tangents to curves that are clearly not functions (they fail the vertical line test). We are using the idea that portions of

y

are functions that satisfy the given equation, but that

y

is not actually a function of

x .

陰関数の微分法では、全体としては関数のグラフではない曲線、つまり垂直線テストを満たさない曲線の接線の傾きも求められる。

y

全体は

x

の関数ではなくても、

y

の一部分は、与えられた方程式を満たす関数として扱える、という考え方を使う。

In general, an equation defines a function implicitly if the function satisfies that equation. An equation may define many different functions implicitly. For example, the functions

一般に、ある関数が方程式を満たすなら、その方程式はその関数を陰に定めているという。1つの方程式が、多くの異なる関数を陰に定めることもある。例えば、次の関数と、

y = \sqrt{25 - x^{2}}

and

y = {\begin{matrix} \sqrt{25 - x^{2}} if - 5 < x < 0 \\ − \sqrt{25 - x^{2}} if 0 < x < 5 \end{matrix},

which are illustrated in Figure 3.30, are just three of the many functions defined implicitly by the equation

x^{2} + y^{2} = 25 .

y = \sqrt{25 - x^{2}}

および

y = {\begin{matrix} \sqrt{25 - x^{2}} 条件： - 5 < x < 0 \\ − \sqrt{25 - x^{2}} 条件： 0 < x < 5 \end{matrix}

は、方程式

x^{2} + y^{2} = 25

が陰に定める多くの関数のうち、3つの例にすぎない。これらを図3.30に示す。

原点を中心とする半径5の円と、その一部からなる関数のグラフ。まず円全体、次に第1・第2象限の上半円、次に第3・第4象限の下半円、最後に第2象限と第4象限の部分だけを組み合わせたグラフが示される。 — Figure 3.30図 3.30
The equation $x^{2} + y^{2} = 25$ defines many functions implicitly.
方程式 $x^{2} + y^{2} = 25$ は、多くの関数を陰に定める。

If we want to find the slope of the line tangent to the graph of

x^{2} + y^{2} = 25

at the point

(3, 4),

we could evaluate the derivative of the function

y = \sqrt{25 - x^{2}}

x = 3 .

On the other hand, if we want the slope of the tangent line at the point

(3, −4),

we could use the derivative of

y = − \sqrt{25 - x^{2}} .

However, it is not always easy to solve for a function defined implicitly by an equation. Fortunately, the technique of implicit differentiation allows us to find the derivative of an implicitly defined function without ever solving for the function explicitly. The process of finding

\frac{d y}{d x}

using implicit differentiation is described in the following problem-solving strategy.

英語のヒント

x^{2} + y^{2} = 25

のグラフ上の点

(3, 4)

で接線の傾きを求めるなら、関数

y = \sqrt{25 - x^{2}}

の導関数を

x = 3

で計算すればよい。一方、点

(3, −4)

での接線の傾きには、

y = − \sqrt{25 - x^{2}}

の導関数を使える。しかし、方程式で陰に定められた関数を、いつも簡単に解き出せるとは限らない。幸い、陰関数の微分法を使えば、関数を陽に表すことなく導関数を求められる。次に、陰関数の微分で

\frac{d y}{d x}

を求める手順を示す。

Implicit Differentiation陰関数の微分の手順

To perform implicit differentiation on an equation that defines a function

y

implicitly in terms of a variable

x,

use the following steps:

関数

y

を変数

x

によって陰に定める方程式を微分するには、次の手順を使う。

Take the derivative of both sides of the equation. Keep in mind that y is a function of x. Consequently, whereas $\frac{d}{d x} (sin x) = cos x, \frac{d}{d x} (sin y) = cos y \frac{d y}{d x}$ because we must use the chain rule to differentiate $sin y$ with respect to $x .$
方程式の両辺を微分する。yがxの関数であることを忘れない。例えば $\frac{d}{d x} (sin x) = cos x, \frac{d}{d x} (sin y) = cos y \frac{d y}{d x}$ となる。 $sin y$ を $x$ で微分するには、連鎖律が必要だからである。
Rewrite the equation so that all terms containing $\frac{d y}{d x}$ are on the left and all terms that do not contain $\frac{d y}{d x}$ are on the right.
$\frac{d y}{d x}$ を含む項をすべて左辺へ、 $\frac{d y}{d x}$ を含まない項をすべて右辺へ移す。
Factor out $\frac{d y}{d x}$ on the left.
左辺から $\frac{d y}{d x}$ をくくり出す。
Solve for $\frac{d y}{d x}$ by dividing both sides of the equation by an appropriate algebraic expression.
両辺を適切な代数式で割り、 $\frac{d y}{d x}$ について解く。

Example 3.68例題 3.68

Using Implicit Differentiation陰関数の微分を使う

Assuming that

y

is defined implicitly by the equation

x^{2} + y^{2} = 25,

find

\frac{d y}{d x} .

y

が方程式

x^{2} + y^{2} = 25

で陰に定められているとして、

\frac{d y}{d x}

を求めなさい。

Solution解き方

Follow the steps in the problem-solving strategy.

上の問題解決の手順に従う。

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) & = & \frac{d}{d x} (25) & Step 1. Differentiate both sides of the equation. \\ \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) & = & 0 & \begin{matrix} Step 1.1. Use the sum rule on the left. \\ On the right \frac{d}{d x} (25) = 0 . \end{matrix} \\ 2 x + 2 y \frac{d y}{d x} & = & 0 & \begin{matrix} Step 1.2. Take the derivatives, so \frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x \\ and \frac{d}{d x} (y^{2}) = 2 y \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ 2 y \frac{d y}{d x} & = & −2 x & \begin{matrix} Step 2. Keep the terms with \frac{d y}{d x} on the left. \\ Move the remaining terms to the right. \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} & = & - \frac{x}{y} & \begin{matrix} Step 4. Divide both sides of the equation by \\ 2 y . (Step 3 does not apply in this case.) \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) & = & \frac{d}{d x} (25) & 手順1：方程式の両辺を微分する。 \\ \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) & = & 0 & \begin{matrix} 手順1.1：左辺に和の微分法を用いる。 \\ 右辺では \frac{d}{d x} (25) = 0 . \end{matrix} \\ 2 x + 2 y \frac{d y}{d x} & = & 0 & \begin{matrix} 手順1.2：微分を計算すると、 \frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x \\ および \frac{d}{d x} (y^{2}) = 2 y \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ 2 y \frac{d y}{d x} & = & −2 x & \begin{array}{l} 手順2：dy/dxを含む項を左辺へ、 \\ それ以外の項を右辺へ移す。 \end{array} \\ \frac{d y}{d x} & = & - \frac{x}{y} & \begin{array}{l} 手順4：両辺を2yで割る。 \\ この場合、手順3は不要である。 \end{array} \end{matrix}

Example 3.69例題 3.69

Using Implicit Differentiation and the Product Rule陰関数の微分と積の微分法を使う

Assuming that

y

is defined implicitly by the equation

x^{3} sin y + y = 4 x + 3,

find

\frac{d y}{d x} .

y

が方程式

x^{3} sin y + y = 4 x + 3

で陰に定められているとして、

\frac{d y}{d x}

を求めなさい。

Solution解き方

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{3} sin y + y) & = & \frac{d}{d x} (4 x + 3) & Step 1: Differentiate both sides of the equation. \\ \frac{d}{d x} (x^{3} sin y) + \frac{d}{d x} (y) & = & 4 & \begin{matrix} Step 1.1: Apply the sum rule on the left. \\ On the right, \frac{d}{d x} (4 x + 3) = 4 . \end{matrix} \\ (\frac{d}{d x} (x^{3}) \cdot sin y + \frac{d}{d x} (sin y) \cdot x^{3}) + \frac{d y}{d x} & = & 4 & \begin{matrix} Step 1.2: Use the product rule to find \\ \frac{d}{d x} (x^{3} sin y) . Observe that \frac{d}{d x} (y) = \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ 3 x^{2} sin y + (cos y \frac{d y}{d x}) \cdot x^{3} + \frac{d y}{d x} & = & 4 & \begin{matrix} Step 1.3: We know \frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2} . Use the \\ chain rule to obtain \frac{d}{d x} (sin y) = cos y \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ x^{3} cos y \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} & = & 4 - 3 x^{2} sin y & \begin{matrix} Step 2: Keep all terms containing \frac{d y}{d x} on the \\ left. Move all other terms to the right. \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} (x^{3} cos y + 1) & = & 4 - 3 x^{2} sin y & Step 3: Factor out \frac{d y}{d x} on the left. \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{4 - 3 x^{2} sin y}{x^{3} cos y + 1} & \begin{matrix} Step 4: Solve for \frac{d y}{d x} by dividing both sides of \\ the equation by x^{3} cos y + 1 . \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{3} sin y + y) & = & \frac{d}{d x} (4 x + 3) & 手順1：方程式の両辺を微分する。 \\ \frac{d}{d x} (x^{3} sin y) + \frac{d}{d x} (y) & = & 4 & \begin{matrix} 手順1.1：左辺に和の微分法を用いる。 \\ 右辺では、 \frac{d}{d x} (4 x + 3) = 4 . \end{matrix} \\ (\frac{d}{d x} (x^{3}) \cdot sin y + \frac{d}{d x} (sin y) \cdot x^{3}) + \frac{d y}{d x} & = & 4 & \begin{matrix} 手順1.2：積の微分法で求めるもの： \\ \frac{d}{d x} (x^{3} sin y) . 次の関係に注目する： \frac{d}{d x} (y) = \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ 3 x^{2} sin y + (cos y \frac{d y}{d x}) \cdot x^{3} + \frac{d y}{d x} & = & 4 & \begin{matrix} 手順1.3：既知の関係： \frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2} . 用いる方法： \\ 合成関数の微分法から得られる式： \frac{d}{d x} (sin y) = cos y \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ x^{3} cos y \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} & = & 4 - 3 x^{2} sin y & \begin{array}{l} 手順2：dy/dxを含む項を左辺へ、 \\ それ以外の項を右辺へ移す。 \end{array} \\ \frac{d y}{d x} (x^{3} cos y + 1) & = & 4 - 3 x^{2} sin y & \begin{array}{l} 手順3：左辺からdy/dxを \\ くくり出す。 \end{array} \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{4 - 3 x^{2} sin y}{x^{3} cos y + 1} & \begin{array}{l} 手順4：両辺をx³cos y+1で割り、 \\ dy/dxについて解く。 \end{array} \end{matrix}

Example 3.70例題 3.70

Using Implicit Differentiation to Find a Second Derivative陰関数の微分で2階導関数を求める

Find

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

x^{2} + y^{2} = 25 .

x^{2} + y^{2} = 25

のとき、

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

を求めなさい。

Solution解き方

In Example 3.68, we showed that

\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} .

We can take the derivative of both sides of this equation to find

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} .

例題3.68で、

\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}

を示した。この等式の両辺を微分すれば、

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

を求められる。

\begin{matrix} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y}) & Differentiate both sides of \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} . \\ = - \frac{(1 \cdot y - x \frac{d y}{d x})}{y^{2}} & Use the quotient rule to find \frac{d}{d y} (- \frac{x}{y}) . \\ = \frac{− y + x \frac{d y}{d x}}{y^{2}} & Simplify. \\ = \frac{− y + x (- \frac{x}{y})}{y^{2}} & Substitute \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} . \\ = \frac{− y^{2} - x^{2}}{y^{3}} & Simplify. \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y}) & 両辺を微分する関係式： \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} . \\ = - \frac{(1 \cdot y - x \frac{d y}{d x})}{y^{2}} & 商の微分法で求めるもの： \frac{d}{d y} (- \frac{x}{y}) . \\ = \frac{− y + x \frac{d y}{d x}}{y^{2}} & 整理する。 \\ = \frac{− y + x (- \frac{x}{y})}{y^{2}} & 代入する値： \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} . \\ = \frac{− y^{2} - x^{2}}{y^{3}} & 整理する。 \end{matrix}

At this point we have found an expression for

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} .

If we choose, we can simplify the expression further by recalling that

x^{2} + y^{2} = 25

and making this substitution in the numerator to obtain

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{25}{y^{3}} .

これで

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

の式が求まった。必要なら、

x^{2} + y^{2} = 25

を分子に代入してさらに簡単にできる。その結果は

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{25}{y^{3}}

である。

第3章微分

3.8 Implicit Differentiation3.8 陰関数の微分

Learning Objectives学習目標

Implicit Differentiation陰関数の微分

Using Implicit Differentiation陰関数の微分を使う

Using Implicit Differentiation and the Product Rule陰関数の微分と積の微分法を使う

Using Implicit Differentiation to Find a Second Derivative陰関数の微分で2階導関数を求める

3.8 Implicit Differentiation3.8　陰関数の微分