第3章微分

3.7 Derivatives of Inverse Functions3.7　逆関数の微分

Learning Objectives学習目標

Calculate the derivative of an inverse function.
逆関数の導関数を計算する。
Recognize the derivatives of the standard inverse trigonometric functions.
基本的な逆三角関数の導関数を理解する。

In this section we explore the relationship between the derivative of a function and the derivative of its inverse. For functions whose derivatives we already know, we can use this relationship to find derivatives of inverses without having to use the limit definition of the derivative. In particular, we will apply the formula for derivatives of inverse functions to trigonometric functions. This formula may also be used to extend the power rule to rational exponents.

英語のヒント

この節では、関数の導関数と、その逆関数の導関数との関係を調べる。元の関数の導関数がわかっていれば、この関係を使うことで、極限による定義に戻らずに逆関数を微分できる。特に、逆関数の微分公式を三角関数に適用する。また、この公式を使い、べき関数の微分法を有理数の指数へ拡張する。

The Derivative of an Inverse Function逆関数の導関数

We begin by considering a function and its inverse. If

f (x)

is both invertible and differentiable, it seems reasonable that the inverse of

f (x)

is also differentiable. Figure 3.28 shows the relationship between a function

f (x)

and its inverse

f^{−1} (x) .

Look at the point

(a, f^{−1} (a))

on the graph of

f^{−1} (x)

having a tangent line with a slope of

{(f^{−1})}^{'} (a) = \frac{p}{q} .

This point corresponds to a point

(f^{−1} (a), a)

on the graph of

f (x)

having a tangent line with a slope of

f^{'} (f^{−1} (a)) = \frac{q}{p} .

Thus, if

f^{−1} (x)

is differentiable at

a,

then it must be the case that

英語のヒント

まず、関数とその逆関数を考える。

f (x)

が逆関数を持ち、かつ微分可能なら、

f (x)

の逆関数も微分できそうに思える。図3.28は、関数

f (x)

と逆関数

f^{−1} (x)

の関係を示している。

f^{−1} (x)

のグラフ上の点

(a, f^{−1} (a))

に注目する。この点の接線の傾きは

{(f^{−1})}^{'} (a) = \frac{p}{q}

である。対応する

f (x)

のグラフ上の点

(f^{−1} (a), a)

では、接線の傾きは

f^{'} (f^{−1} (a)) = \frac{q}{p}

となる。したがって、

f^{−1} (x)

が

a

で微分可能であれば、次の関係が成り立たなければならない。

{(f^{−1})}^{'} (a) = \frac{1}{f^{'} (f^{−1} (a))} .

{(f^{−1})}^{'} (a) = \frac{1}{f^{'} (f^{−1} (a))}

関数f(x)と逆関数f⁻¹(x)のグラフは、直線y=xについて対称である。f(x)の点(f⁻¹(a),a)における接線と、f⁻¹(x)の点(a,f⁻¹(a))における接線も、同じ直線について対称となる。一方の傾きがp/qなら、他方の傾きはq/pになる。対応する点での微分係数は、このように互いに逆数の関係にある。 — Figure 3.28図 3.28
The tangent lines of a function and its inverse are related; so, too, are the derivatives of these functions.
関数と逆関数の接線には関係があり、それぞれの導関数にも関係がある。

We may also derive the formula for the derivative of the inverse by first recalling that

x = f (f^{−1} (x)) .

Then by differentiating both sides of this equation (using the chain rule on the right), we obtain

逆関数の微分公式は、

x = f (f^{−1} (x))

を使っても導ける。両辺を微分し、右辺に連鎖律を使うと、

1 = f^{'} (f^{−1} (x)) (f^{−1})^{'} (x) .

1 = f^{'} (f^{−1} (x)) (f^{−1})^{'} (x)

Solving for

(f^{−1})^{'} (x),

we obtain

(f^{−1})^{'} (x)

について解くと、

{(f^{−1})}^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (f^{−1} (x))} .

{(f^{−1})}^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (f^{−1} (x))}

(3.19)

We summarize this result in the following theorem.

この結果を次の定理にまとめる。

Example 3.60例題 3.60

Applying the Inverse Function Theorem逆関数定理を使う

Use the inverse function theorem to find the derivative of

g (x) = \frac{x + 2}{x} .

Compare the resulting derivative to that obtained by differentiating the function directly.

逆関数定理を使って、

g (x) = \frac{x + 2}{x}

の導関数を求めなさい。その関数を直接微分した結果と比較しなさい。

Solution解き方

The inverse of

g (x) = \frac{x + 2}{x}

f (x) = \frac{2}{x - 1} .

Since

g^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))},

begin by finding

f^{'} (x) .

Thus,

g (x) = \frac{x + 2}{x}

の逆関数は

f (x) = \frac{2}{x - 1}

である。

g^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))}

なので、まず

f^{'} (x)

を求める。

f^{'} (x) = \frac{−2}{{(x - 1)}^{2}} and f^{'} (g (x)) = \frac{−2}{{(g (x) - 1)}^{2}} = \frac{−2}{{(\frac{x + 2}{x} - 1)}^{2}} = - \frac{x^{2}}{2} .

f^{'} (x) = \frac{−2}{{(x - 1)}^{2}} および f^{'} (g (x)) = \frac{−2}{{(g (x) - 1)}^{2}} = \frac{−2}{{(\frac{x + 2}{x} - 1)}^{2}} = - \frac{x^{2}}{2}

Finally,

最後に、

g^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))} = - \frac{2}{x^{2}} .

g^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))} = - \frac{2}{x^{2}}

We can verify that this is the correct derivative by applying the quotient rule to

g (x)

to obtain

g (x)

に商の微分法を使えば、この導関数が正しいことを確認できる。

g^{'} (x) = - \frac{2}{x^{2}} .

g^{'} (x) = - \frac{2}{x^{2}}

Example 3.61例題 3.61

Applying the Inverse Function Theorem逆関数定理を使う

Use the inverse function theorem to find the derivative of

g (x) = \sqrt[3]{x} .

逆関数定理を使って、

g (x) = \sqrt[3]{x}

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

The function

g (x) = \sqrt[3]{x}

is the inverse of the function

f (x) = x^{3} .

Since

g^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))},

begin by finding

f^{'} (x) .

Thus,

関数

g (x) = \sqrt[3]{x}

は、関数

f (x) = x^{3}

の逆関数である。

g^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))}

なので、まず

f^{'} (x)

を求める。

f^{'} (x) = 3 x^{2} and f^{'} (g (x)) = 3 {(\sqrt[3]{x})}^{2} = 3 x^{2 / 3} .

f^{'} (x) = 3 x^{2} および f^{'} (g (x)) = 3 {(\sqrt[3]{x})}^{2} = 3 x^{2 / 3}

Finally,

最後に、

g^{'} (x) = \frac{1}{3 x^{2 / 3}} = \frac{1}{3} x^{−2 / 3} .

g^{'} (x) = \frac{1}{3 x^{2 / 3}} = \frac{1}{3} x^{−2 / 3}

From the previous example, we see that we can use the inverse function theorem to extend the power rule to exponents of the form

\frac{1}{n},

where

n

is a positive integer. This extension will ultimately allow us to differentiate

x^{q},

where

q

is any rational number.

英語のヒント

前の例題から、逆関数定理を使えば、

n

を正の整数とする

\frac{1}{n}

の形の指数にも、べき関数の微分法を拡張できるとわかる。この拡張によって、最終的には

q

を任意の有理数とする

x^{q}

も微分できるようになる。

Proof証明

The function

g (x) = x^{1 / n}

is the inverse of the function

f (x) = x^{n} .

Since

g^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))},

begin by finding

f^{'} (x) .

Thus,

関数

g (x) = x^{1 / n}

は、関数

f (x) = x^{n}

の逆関数である。

g^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))}

なので、まず

f^{'} (x)

を求める。

f^{'} (x) = n x^{n - 1} and f^{'} (g (x)) = n {(x^{1 / n})}^{n - 1} = n x^{(n - 1) / n} .

f^{'} (x) = n x^{n - 1} および f^{'} (g (x)) = n {(x^{1 / n})}^{n - 1} = n x^{(n - 1) / n}

Finally,

最後に、

g^{'} (x) = \frac{1}{n x^{(n - 1) / n}} = \frac{1}{n} x^{(1 - n) / n} = \frac{1}{n} x^{(1 / n) - 1} .

g^{'} (x) = \frac{1}{n x^{(n - 1) / n}} = \frac{1}{n} x^{(1 - n) / n} = \frac{1}{n} x^{(1 / n) - 1}

To differentiate

x^{m / n}

we must rewrite it as

{(x^{1 / n})}^{m}

and apply the chain rule. Thus,

x^{m / n}

を微分するには、

{(x^{1 / n})}^{m}

と書き直して連鎖律を使う。したがって、

\frac{d}{d x} (x^{m / n}) = \frac{d}{d x} ({(x^{1 / n})}^{m}) = m {(x^{1 / n})}^{m - 1} \cdot \frac{1}{n} x^{(1 / n) - 1} = \frac{m}{n} x^{(m / n) - 1} .

\frac{d}{d x} (x^{m / n}) = \frac{d}{d x} ({(x^{1 / n})}^{m}) = m {(x^{1 / n})}^{m - 1} \cdot \frac{1}{n} x^{(1 / n) - 1} = \frac{m}{n} x^{(m / n) - 1}

□

Example 3.62例題 3.62

Applying the Power Rule to a Rational Power有理数乗にべき関数の微分法を使う

Find the equation of the line tangent to the graph of

y = x^{2 / 3}

x = 8 .

x = 8

における

y = x^{2 / 3}

のグラフの接線の方程式を求めなさい。

Solution解き方

First find

\frac{d y}{d x}

and evaluate it at

x = 8 .

Since

まず

\frac{d y}{d x}

を求め、

x = 8

での値を計算する。

\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x^{−1 / 3} and \frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{x = 8} \end{array} = \frac{1}{3}

\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x^{−1 / 3} および \frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{x = 8} \end{array} = \frac{1}{3}

the slope of the tangent line to the graph at

x = 8

\frac{1}{3} .

したがって、

x = 8

での接線の傾きは

\frac{1}{3} .

である。

Substituting

x = 8

into the original function, we obtain

y = 4 .

Thus, the tangent line passes through the point

(8, 4) .

Substituting into the point-slope formula for a line, we obtain the tangent line

元の関数に

x = 8

を代入すると、

y = 4

となる。接線は点

(8, 4)

を通る。点と傾きによる直線の公式に代入し、次の接線を得る。

y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} .

y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}

第3章微分

3.7 Derivatives of Inverse Functions3.7 逆関数の微分

Learning Objectives学習目標

The Derivative of an Inverse Function逆関数の導関数

Applying the Inverse Function Theorem逆関数定理を使う

Applying the Inverse Function Theorem逆関数定理を使う

Proof証明

Applying the Power Rule to a Rational Power有理数乗にべき関数の微分法を使う

3.7 Derivatives of Inverse Functions3.7　逆関数の微分