第3章微分

Key Concepts重要な概念

The slope of the tangent line to a curve measures the instantaneous rate of change of a curve. We can calculate it by finding the limit of the difference quotient or the difference quotient with increment $h .$
曲線の接線の傾きは、曲線の瞬間変化率を表す。差商、または増分 $h$ を使った差商の極限を求めることで計算できる。
The derivative of a function $f (x)$ at a value $a$ is found using either of the definitions for the slope of the tangent line.
関数 $f (x)$ の値 $a$ における微分係数は、接線の傾きの二つの定義のどちらを使っても求められる。
Velocity is the rate of change of position. As such, the velocity $v (t)$ at time $t$ is the derivative of the position $s (t)$ at time $t .$ Average velocity is given by
速度は位置の変化率である。したがって、時刻 $t$ の速度 $v (t)$ は、位置 $s (t)$ の時刻 $t$ における微分係数である。平均速度は次の式で与えられる。

$v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .$
$v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a}$

Instantaneous velocity is given by
瞬間速度は、次の式で与えられる。

$v (a) = s^{'} (a) = lim_{t \to a} \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .$
$v (a) = s^{'} (a) = lim_{t \to a} \frac{s (t) - s (a)}{t - a}$
We may estimate a derivative by using a table of values.
微分係数は、値の表を使って推定できる。

Key Equations重要な式

Difference quotient 差商	$Q = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$
Difference quotient with increment $h$ 増分 $h$ を使った差商	$Q = \frac{f (a + h) - f (a)}{a + h - a} = \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$
Slope of tangent line 接線の傾き	$m_{tan} = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ $m_{tan} = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$
Derivative of $f (x)$ at $a$ $f (x)$ の $a$ における微分係数	$f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$
Average velocity 平均速度	$v_{a ve} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a}$
Instantaneous velocity 瞬間速度	$v (a) = s^{'} (a) = lim_{t \to a} \frac{s (t) - s (a)}{t - a}$

Exercises 1–10練習問題 1–10

For the following exercises, use Equation 3.1 to find the slope of the secant line between the values

x_{1}

and

x_{2}

for each function

y = f (x) .

次の各関数

y = f (x)

について、式3.1を使い、

x_{1}

と

x_{2}

に対応する2点を結ぶ割線の傾きを求めなさい。

Exercise 1問題 1

f (x) = 4 x + 7; x_{1} = 2, x_{2} = 5

f (x) = 4 x + 7; x_{1} = 2, x_{2} = 5

Solution解き方

4

4

Exercise 2問題 2

f (x) = 8 x - 3; x_{1} = −1, x_{2} = 3

f (x) = 8 x - 3; x_{1} = −1, x_{2} = 3

Exercise 3問題 3

f (x) = x^{2} + 2 x + 1; x_{1} = 3, x_{2} = 3.5

f (x) = x^{2} + 2 x + 1; x_{1} = 3, x_{2} = 3.5

Solution解き方

8.5

8.5

Exercise 4問題 4

f (x) = − x^{2} + x + 2; x_{1} = 0.5, x_{2} = 1.5

f (x) = − x^{2} + x + 2; x_{1} = 0.5, x_{2} = 1.5

Exercise 5問題 5

f (x) = \frac{4}{3 x - 1}; x_{1} = 1, x_{2} = 3

f (x) = \frac{4}{3 x - 1}; x_{1} = 1, x_{2} = 3

Solution解き方

- \frac{3}{4}

- \frac{3}{4}

Exercise 6問題 6

f (x) = \frac{x - 7}{2 x + 1}; x_{1} = 0, x_{2} = 2

f (x) = \frac{x - 7}{2 x + 1}; x_{1} = 0, x_{2} = 2

Exercise 7問題 7

f (x) = \sqrt{x}; x_{1} = 1, x_{2} = 16

f (x) = \sqrt{x}; x_{1} = 1, x_{2} = 16

Solution解き方

0.2

0.2

Exercise 8問題 8

f (x) = \sqrt{x - 9}; x_{1} = 10, x_{2} = 13

f (x) = \sqrt{x - 9}; x_{1} = 10, x_{2} = 13

Exercise 9問題 9

f (x) = x^{1 / 3} + 1; x_{1} = 0, x_{2} = 8

f (x) = x^{1 / 3} + 1; x_{1} = 0, x_{2} = 8

Solution解き方

0.25

0.25

Exercise 10問題 10

f (x) = 6 x^{2 / 3} + 2 x^{1 / 3}; x_{1} = 1, x_{2} = 27

f (x) = 6 x^{2 / 3} + 2 x^{1 / 3}; x_{1} = 1, x_{2} = 27

Exercises 11–20練習問題 11–20

For the following functions,

次の各関数について、以下を行いなさい。

use Equation 3.4 to find the slope of the tangent line $m_{tan} = f^{'} (a),$ and
式3.4を使って、接線の傾き $m_{tan} = f^{'} (a)$ を求める。
find the equation of the tangent line to $f$ at $x = a .$
$x = a$ における $f$ の接線の方程式を求める。

Exercise 11問題 11

f (x) = 3 - 4 x, a = 2

f (x) = 3 - 4 x, a = 2

Solution解き方

−4

y = 3 - 4 x

−4

y = 3 - 4 x

Exercise 12問題 12

f (x) = \frac{x}{5} + 6, a = −1

f (x) = \frac{x}{5} + 6, a = −1

Exercise 13問題 13

f (x) = x^{2} + x, a = 1

f (x) = x^{2} + x, a = 1

Solution解き方

3

y = 3 x - 1

3

y = 3 x - 1

Exercise 14問題 14

f (x) = 1 - x - x^{2}, a = 0

f (x) = 1 - x - x^{2}, a = 0

Exercise 15問題 15

f (x) = \frac{7}{x}, a = 3

f (x) = \frac{7}{x}, a = 3

Solution解き方

\frac{−7}{9}

y = \frac{−7}{9} x + \frac{14}{3}

\frac{−7}{9}

y = \frac{−7}{9} x + \frac{14}{3}

Exercise 16問題 16

f (x) = \sqrt{x + 8}, a = 1

f (x) = \sqrt{x + 8}, a = 1

Exercise 17問題 17

f (x) = 2 - 3 x^{2}, a = −2

f (x) = 2 - 3 x^{2}, a = −2

Solution解き方

12

y = 12 x + 14

12

y = 12 x + 14

Exercise 18問題 18

f (x) = \frac{−3}{x - 1}, a = 4

f (x) = \frac{−3}{x - 1}, a = 4

Exercise 19問題 19

f (x) = \frac{2}{x + 3}, a = −4

f (x) = \frac{2}{x + 3}, a = −4

Solution解き方

−2

y = −2 x - 10

−2

y = −2 x - 10

Exercise 20問題 20

f (x) = \frac{3}{x^{2}}, a = 3

f (x) = \frac{3}{x^{2}}, a = 3

Exercises 21–30練習問題 21–30

For the following functions

y = f (x),

find

f^{'} (a)

using Equation 3.5.

次の各関数

y = f (x)

について、式3.5を使い

f^{'} (a)

を求めなさい。

Exercise 21問題 21

f (x) = 5 x + 4, a = −1

f (x) = 5 x + 4, a = −1

Solution解き方

5

5

Exercise 22問題 22

f (x) = −7 x + 1, a = 3

f (x) = −7 x + 1, a = 3

Exercise 23問題 23

f (x) = x^{2} + 9 x, a = 2

f (x) = x^{2} + 9 x, a = 2

Solution解き方

13

13

Exercise 24問題 24

f (x) = 3 x^{2} - x + 2, a = 1

f (x) = 3 x^{2} - x + 2, a = 1

Exercise 25問題 25

f (x) = \sqrt{x}, a = 4

f (x) = \sqrt{x}, a = 4

Solution解き方

\frac{1}{4}

\frac{1}{4}

Exercise 26問題 26

f (x) = \sqrt{x - 2}, a = 6

f (x) = \sqrt{x - 2}, a = 6

Exercise 27問題 27

f (x) = \frac{1}{x}, a = 2

f (x) = \frac{1}{x}, a = 2

Solution解き方

- \frac{1}{4}

- \frac{1}{4}

Exercise 28問題 28

f (x) = \frac{1}{x - 3}, a = −1

f (x) = \frac{1}{x - 3}, a = −1

Exercise 29問題 29

f (x) = \frac{1}{x^{3}}, a = 1

f (x) = \frac{1}{x^{3}}, a = 1

Solution解き方

−3

−3

Exercise 30問題 30

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, a = 4

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, a = 4

Exercises 31–34練習問題 31–34

For the following exercises, given the function

y = f (x),

次の問題では、関数

y = f (x)

について以下を行いなさい。

find the slope of the secant line $P Q$ for each point $Q (x, f (x))$ with $x$ value given in the table.
表に示す $x$ の値に対応する各点 $Q (x, f (x))$ について、割線 $P Q$ の傾きを求める。
Use the answers from a. to estimate the value of the slope of the tangent line at $P .$
(a)の答えから、 $P$ における接線の傾きを推定する。
Use the answer from b. to find the equation of the tangent line to $f$ at point $P .$
(b)の答えを用いて、点 $P$ における $f$ の接線の方程式を求める。

Exercise 31問題 31

[T]

f (x) = x^{2} + 3 x + 4, P (1, 8)

(Round to

6

decimal places.)

[T]

f (x) = x^{2} + 3 x + 4, P (1, 8)

（小数第

6

位までの値に丸める。）

x	Slope $m_{P Q}$ 傾き $m_{P Q}$	x	Slope $m_{P Q}$ 傾き $m_{P Q}$
1.1	(i)	0.9	(vii)
1.01	(ii)	0.99	(viii)
1.001	(iii)	0.999	(ix)
1.0001	(iv)	0.9999	(x)
1.00001	(v)	0.99999	(xi)
1.000001	(vi)	0.999999	(xii)

Solution解き方

(i) 5.100000,

(ii) 5.010000,

(iii) 5.001000,

(iv) 5.000100,

(v) 5.000010,

(vi) 5.000001,

(vii) 4.900000,

(viii) 4.990000,

(ix) 4.999000,

(x) 4.999900,

(xi) 4.999990,

(x) 4.999999

m_{tan} = 5

y = 5 x + 3

(i) 5.100000

(ii) 5.010000

(iii) 5.001000

(iv) 5.000100

(v) 5.000010

(vi) 5.000001

(vii) 4.900000

(viii) 4.990000

(ix) 4.999000

(x) 4.999900

(xi) 4.999990

(x) 4.999999

m_{tan} = 5

y = 5 x + 3

Exercise 32問題 32

[T]

f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 1}, P (0, −1)

[T]

f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 1}, P (0, −1)

x	Slope $m_{P Q}$ 傾き $m_{P Q}$	x	Slope $m_{P Q}$ 傾き $m_{P Q}$
0.1	(i)	$−0.1$	(vii)
0.01	(ii)	$−0.01$	(viii)
0.001	(iii)	$−0.001$	(ix)
0.0001	(iv)	$−0.0001$	(x)
0.00001	(v)	$−0.00001$	(xi)
0.000001	(vi)	$−0.000001$	(xii)

Exercise 33問題 33

[T]

f (x) = 10 e^{0.5 x}, P (0, 10)

(Round to

4

decimal places.)

[T]

f (x) = 10 e^{0.5 x}, P (0, 10)

（小数第

4

位までの値に丸める。）

x	Slope $m_{P Q}$ 傾き $m_{P Q}$
$−0.1$	(i)
$−0.01$	(ii)
$−0.001$	(iii)
$−0.0001$	(iv)
$−0.00001$	(v)
−0.000001	(vi)

Solution解き方

(i) 4.8771,

(ii) 4.9875 (iii) 4.9988,

(iv) 4.9999,

(v) 4.9999,

(vi) 4.9999

m_{tan} = 5

y = 5 x + 10

(i) 4.8771

(ii) 4.9875 (iii) 4.9988

(iv) 4.9999

(v) 4.9999

(vi) 4.9999

m_{tan} = 5

y = 5 x + 10

Exercise 34問題 34

[T]

f (x) = tan (x), P (π, 0)

[T]

f (x) = tan (x), P (π, 0)

x	Slope $m_{P Q}$ 傾き $m_{P Q}$
3.1	(i)
3.14	(ii)
3.141	(iii)
3.1415	(iv)
3.14159	(v)
3.141592	(vi)

Exercises 35–40練習問題 35–40

[T] For the following position functions

y = s (t),

an object is moving along a straight line, where

t

is in seconds and

s

is in meters. Find

[T] 次の位置関数

y = s (t)

に従って、物体が直線上を動く。

t

の単位は秒、

s

の単位はメートルとする。次を求めなさい。

the simplified expression for the average velocity from $t = 2$ to $t = 2 + h;$
$t = 2$ から $t = 2 + h$ までの平均速度を表す式を、整理した形で求める。
the average velocity between $t = 2$ and $t = 2 + h,$ where $(i) h = 0.1,$ $(ii) h = 0.01,$ $(iii) h = 0.001,$ and $(iv) h = 0.0001;$ and
$t = 2$ から $t = 2 + h$ までの平均速度を、 $(i) h = 0.1$ 、 $(ii) h = 0.01$ 、 $(iii) h = 0.001$ 、 $(iv) h = 0.0001$ について求める。
use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t = 2$ second.
(a)の答えを使い、 $t = 2$ 秒における瞬間速度を推定する。

Exercise 35問題 35

s (t) = \frac{1}{3} t + 5

s (t) = \frac{1}{3} t + 5

Solution解き方

\frac{1}{3};

(i) 0. \bar{3}

m/s,

(ii) 0. \bar{3}

m/s,

(iii) 0. \bar{3}

m/s,

(iv) 0. \bar{3}

m/s; c.

0. \bar{3} = \frac{1}{3}

m/s

(a)

\frac{1}{3}

　(b)

(i) 0. \bar{3}

m/s、

(ii) 0. \bar{3}

m/s、

(iii) 0. \bar{3}

m/s、

(iv) 0. \bar{3}

m/s。　(c)

0. \bar{3} = \frac{1}{3}

m/s。

Exercise 36問題 36

s (t) = t^{2} - 2 t

s (t) = t^{2} - 2 t

Exercise 37問題 37

s (t) = 2 t^{3} + 3

s (t) = 2 t^{3} + 3

Solution解き方

2 (h^{2} + 6 h + 12);

(i) 25.22

m/s,

(ii) 24.12

m/s,

(iii) 24.01

m/s,

(iv) 24

m/s; c.

24

m/s

(a)

2 (h^{2} + 6 h + 12)

　(b)

(i) 25.22

m/s、

(ii) 24.12

m/s、

(iii) 24.01

m/s、

(iv) 24

m/s。　(c)

24

m/s。

Exercise 38問題 38

s (t) = \frac{16}{t^{2}} - \frac{4}{t}

s (t) = \frac{16}{t^{2}} - \frac{4}{t}

Exercise 39問題 39

Use the following graph to evaluate a.

f^{'} (1)

and b.

f^{'} (6) .

次のグラフから、(a)

f^{'} (1)

、(b)

f^{'} (6)

を求めなさい。

つながった2本の線分のグラフ。1本目は(1,0)から(4,6)、2本目は(4,6)から(8,8)へ伸びる。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

1.25;

0.5

1.25

0.5

Exercise 40問題 40

Use the following graph to evaluate a.

f^{'} (−3)

and b.

f^{'} (1.5) .

次のグラフから、(a)

f^{'} (−3)

、(b)

f^{'} (1.5)

を求めなさい。

つながった2本の線分のグラフ。1本目は(−4,3)から(1,3)、2本目は(1,3)から(1.5,4)へ伸びる。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercises 41–53練習問題 41–53

For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at

x = a

for each of the given functions.

次の各関数について、極限による微分係数の定義を用い、

x = a

では微分係数が存在しないことを示しなさい。

Exercise 41問題 41

f (x) = x^{1 / 3}, x = 0

f (x) = x^{1 / 3}, x = 0

Solution解き方

lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{1 / 3} - 0}{x - 0} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^{2 / 3}} = \infty

lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{1 / 3} - 0}{x - 0} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^{2 / 3}} = \infty

Exercise 42問題 42

f (x) = x^{2 / 3}, x = 0

f (x) = x^{2 / 3}, x = 0

Exercise 43問題 43

f (x) = {\begin{matrix} 1, x < 1 \\ x, x \geq 1 \end{matrix}, x = 1

f (x) = {\begin{matrix} 1, x < 1 \\ x, x \geq 1 \end{matrix}, x = 1

Solution解き方

lim_{x \to 1^{-}} \frac{1 - 1}{x - 1} = 0 \neq 1 = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{x - 1}

lim_{x \to 1^{-}} \frac{1 - 1}{x - 1} = 0 \neq 1 = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{x - 1}

Exercise 44問題 44

f (x) = \frac{| x |}{x}, x = 0

f (x) = \frac{| x |}{x}, x = 0

Exercise 45問題 45

[T] The position in feet of a race car along a straight track after

t

seconds is modeled by the function

s (t) = 8 t^{2} - \frac{1}{16} t^{3} .

[T] 直線のコースを走るレーシングカーの

t

秒後の位置を、フィート単位で関数

s (t) = 8 t^{2} - \frac{1}{16} t^{3}

によって表す。

Find the average velocity of the vehicle over the following time intervals to four decimal places:
次の時間区間における車の平均速度を、小数第4位まで求める。
1. [4, 4.1]
  [4, 4.1]
2. [4, 4.01]
  [4, 4.01]
3. [4, 4.001]
  [4, 4.001]
4. [4, 4.0001]
  [4, 4.0001]
Use a. to draw a conclusion about the instantaneous velocity of the vehicle at $t = 4$ seconds.
(a)から、 $t = 4$ 秒における車の瞬間速度について結論を述べる。

Solution解き方

(i) 61.7244

ft/s,

(ii) 61.0725

ft/s

(iii) 61.0072

ft/s

(iv) 61.0007

ft/s b. At

4

seconds the race car is traveling at a rate/velocity of

61

ft/s.

(a)

(i) 61.7244

ft/s、

(ii) 61.0725

ft/s、

(iii) 61.0072

ft/s、

(iv) 61.0007

ft/s。　(b)

4

秒のとき、レーシングカーは

61

ft/sの速度で走っている。

Exercise 46問題 46

[T] The distance in feet that a ball rolls down an incline is modeled by the function

s (t) = 14 t^{2},

where t is seconds after the ball begins rolling.

[T] 球が斜面を転がり下りる距離を、フィート単位で関数

s (t) = 14 t^{2}

によって表す。tは球が転がり始めてからの秒数である。

Find the average velocity of the ball over the following time intervals:
次の時間区間における球の平均速度を求める。
1. [5, 5.1]
  [5, 5.1]
2. [5, 5.01]
  [5, 5.01]
3. [5, 5.001]
  [5, 5.001]
4. [5, 5.0001]
  [5, 5.0001]
Use the answers from a. to draw a conclusion about the instantaneous velocity of the ball at $t = 5$ seconds.
(a)の答えから、 $t = 5$ 秒における球の瞬間速度について結論を述べる。

Exercise 47問題 47

Two vehicles start out traveling side by side along a straight road. Their position functions, shown in the following graph, are given by

s = f (t)

and

s = g (t),

where

s

is measured in feet and

t

is measured in seconds.

2台の車が並んで、まっすぐな道路を走り始める。次のグラフに示す位置関数を

s = f (t)

および

s = g (t)

とする。

s

はフィート、

t

は秒で測る。

二つの関数s=g(t)とs=f(t)のグラフ。g(t)は(0,0)から始まり、およそ(2,1)を通って(4,4)へ、上向きに曲がりながら伸びる。f(t)は(0,0)と(4,4)を通る直線である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Which vehicle has traveled farther at $t = 2$ seconds?
$t = 2$ 秒までに、より遠く進んだのはどちらの車か。
What is the approximate velocity of each vehicle at $t = 3$ seconds?
$t = 3$ 秒における各車の速度は、およそいくらか。
Which vehicle is traveling faster at $t = 4$ seconds?
$t = 4$ 秒に、より速く走っているのはどちらの車か。
What is true about the positions of the vehicles at $t = 4$ seconds?
$t = 4$ 秒における2台の位置について、何がいえるか。

Solution解き方

a. The vehicle represented by

f (t),

because it has traveled

2

feet, whereas

g (t)

has traveled

1

foot. b. The velocity of

f (t)

is constant at

1

ft/s, while the velocity of

g (t)

is approximately

2

ft/s. c. The vehicle represented by

g (t),

with a velocity of approximately

4

ft/s. d. Both have traveled

4

feet in

4

seconds.

(a)

f (t)

で表される車。こちらは

2

フィート進んでいるが、

g (t)

の車は

1

フィートしか進んでいない。(b)

f (t)

の速度は

1

ft/sで一定だが、

g (t)

の速度はおよそ

2

ft/s。(c)

g (t)

で表される車。速度はおよそ

4

ft/s。(d) 両方とも

4

秒で

4

フィート進んでいる。

Exercise 48問題 48

[T] The total cost

C (x),

in hundreds of dollars, to produce

x

jars of mayonnaise is given by

C (x) = 0.000003 x^{3} + 4 x + 300 .

[T] マヨネーズを

x

瓶製造する総費用

C (x)

を、100ドル単位で

C (x) = 0.000003 x^{3} + 4 x + 300

とする。

Calculate the average cost per jar over the following intervals:
次の区間について、瓶1本当たりの平均費用の変化率を計算する。
1. [100, 100.1]
  [100, 100.1]
2. [100, 100.01]
  [100, 100.01]
3. [100, 100.001]
  [100, 100.001]
4. [100, 100.0001]
  [100, 100.0001]
Use the answers from a. to estimate the average cost to produce $100$ jars of mayonnaise.
(a)の答えを使い、 $100$ 瓶を製造する付近での、瓶1本増加当たりの費用の変化率を推定する。

Exercise 49問題 49

[T] For the function

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12,

do the following.

[T] 関数

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12

について、次を行いなさい。

Use a graphing calculator to graph f in an appropriate viewing window.
グラフ電卓を使い、適切な表示範囲でfのグラフを描く。
Use the ZOOM feature on the calculator to approximate the two values of $x = a$ for which $m_{tan} = f^{'} (a) = 0 .$
電卓のZOOM機能を使い、 $m_{tan} = f^{'} (a) = 0$ となる二つの $x = a$ の値を近似的に求める。

Solution解き方

曲線は第3象限から始まり、x=−3でx軸を横切る。増加してy=20付近で極大となった後、減少し、x=1でx軸を横切る。さらに減少してy=−13付近で極小となり、再び増加する。x=4でx軸を横切った後も増加し続ける。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

a \approx - 1.361, 2.694

a \approx - 1.361, 2.694

Exercise 50問題 50

[T] For the function

f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}},

do the following.

[T] 関数

f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}

について、次を行いなさい。

Use a graphing calculator to graph $f$ in an appropriate viewing window.
グラフ電卓を使い、適切な表示範囲で $f$ のグラフを描く。
Use the ZOOM feature on the calculator to approximate the values of $x = a$ for which $m_{tan} = f^{'} (a) = 0 .$
電卓のZOOM機能を使い、 $m_{tan} = f^{'} (a) = 0$ となる $x = a$ の値を近似的に求める。

Exercise 51問題 51

Suppose that

N (x)

computes the number of gallons of gas used by a vehicle traveling

x

miles. Suppose the vehicle gets

30

mpg.

N (x)

は、車が

x

マイル走るときのガソリン消費量をガロン単位で求める関数とする。この車の燃費を

30

mpg（1ガロン当たりの走行マイル数）とする。

Find a mathematical expression for $N (x) .$
$N (x)$ を数式で表す。
What is $N (100)?$ Explain the physical meaning.
$N (100)?$ はいくらか。その物理的な意味を説明する。
What is $N^{'} (100) ?$ Explain the physical meaning.
$N^{'} (100)$ はいくらか。その物理的な意味を説明する。

Solution解き方

N (x) = \frac{x}{30}

\sim 3.3

gallons. When the vehicle travels

100

miles, it has used

3.3

gallons of gas. c.

\frac{1}{30} .

The rate of gas consumption in gallons per mile that the vehicle is achieving after having traveled

100

miles.

(a)

N (x) = \frac{x}{30}

。(b)

\sim 3.3

ガロン。車が

100

マイル走ると、

3.3

ガロンのガソリンを消費する。(c)

\frac{1}{30} .

。

100

マイル走った時点でのガソリン消費の割合を、1マイル当たりのガロン数で表す。

Exercise 52問題 52

[T] For the function

f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4,

do the following.

[T] 関数

f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4

について、次を行いなさい。

Use a graphing calculator to graph $f$ in an appropriate viewing window.
グラフ電卓を使い、適切な表示範囲で $f$ のグラフを描く。
Use the $nDeriv$ function, which numerically finds the derivative, on a graphing calculator to estimate $f^{'} (−2), f^{'} (−0.5), f^{'} (1.7),$ and $f^{'} (2.718) .$
グラフ電卓で微分係数を数値的に求める $nDeriv$ 機能を使い、 $f^{'} (−2), f^{'} (−0.5), f^{'} (1.7)$ および $f^{'} (2.718)$ を推定する。

Exercise 53問題 53

[T] For the function

f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1},

do the following.

[T] 関数

f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}

について、次を行いなさい。

Use a graphing calculator to graph $f$ in an appropriate viewing window.
グラフ電卓を使い、適切な表示範囲で $f$ のグラフを描く。
Use the $nDeriv$ function on a graphing calculator to find $f^{'} (−4), f^{'} (−2), f^{'} (2),$ and $f^{'} (4) .$
グラフ電卓の $nDeriv$ 機能を使い、 $f^{'} (−4), f^{'} (−2), f^{'} (2)$ および $f^{'} (4)$ を求める。

Solution解き方

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

−0.028, −0.16, 0.16, 0.028

−0.028, −0.16, 0.16, 0.028

derivative

微分係数

the slope of the tangent line to a function at a point, calculated by taking the limit of the difference quotient, is the derivative

関数のグラフのある点における接線の傾き。差商の極限として求められる値を微分係数という。

difference quotient

差商

of a function

f (x)

a

is given by

関数

f (x)

の

a

における差商は、次の式で与えられる。

\frac{f (a + h) - f (a)}{h} or \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

\frac{f (a + h) - f (a)}{h} または \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

differentiation

微分

the process of taking a derivative

微分係数や導関数を求める操作。

instantaneous rate of change

瞬間変化率

the rate of change of a function at any point along the function

a,

also called

f^{'} (a),

or the derivative of the function at

a

ある点

a

における関数の変化率。

f^{'} (a)

、すなわち

a

における関数の微分係数とも呼ばれる。