第3章微分

Key Concepts重要な概念

• On the basis of the assumption that the exponential function $y=b^x,b>0$ is continuous everywhere and differentiable at 0, this function is differentiable everywhere and there is a formula for its derivative.

  指数関数$y=b^x,b>0$がいたるところ連続で、0で微分可能であるという仮定から、この関数がいたるところ微分可能であるとわかり、その導関数の公式を得られる。
• We can use a formula to find the derivative of $y=\text{ln}x,$ and the relationship ${\text{log}}_{b}x=\frac{\text{ln}x}{\text{ln}b}$ allows us to extend our differentiation formulas to include logarithms with arbitrary bases.

  公式により$y=\text{ln}x$の導関数を求められる。また、関係式${\text{log}}_{b}x=\frac{\text{ln}x}{\text{ln}b}$を使えば、任意の底の対数にも微分公式を拡張できる。
• Logarithmic differentiation allows us to differentiate functions of the form $y=g{(x)}^{f(x)}$ or very complex functions by taking the natural logarithm of both sides and exploiting the properties of logarithms before differentiating.

  対数微分法では、両辺の自然対数を取り、微分する前に対数の性質を使うことで、$y=g{(x)}^{f(x)}$の形の関数や、非常に複雑な関数を微分できる。

Key Equations重要な式

Exercises 346–362練習問題 346–362

For the following exercises, use logarithmic differentiation to find $\frac{dy}{dx}.$

次の問題では、対数微分法を使って$\frac{dy}{dx}$を求めなさい。

Exercise 346問題 346

$y=x^{\sqrt{x}}$

$y=x^{\sqrt{x}}$

Exercise 347問題 347

$y={\left(\text{sin}2x\right)}^{4x}$

$y={\left(\text{sin}2x\right)}^{4x}$

Solution解き方

${\left(\text{sin}2x\right)}^{4x}\left[4·\text{ln}\left(\text{sin}2x\right)+8x·\text{cot}2x\right]$

${\left(\text{sin}2x\right)}^{4x}\left[4·\text{ln}\left(\text{sin}2x\right)+8x·\text{cot}2x\right]$

Exercise 348問題 348

$y={\left(\text{ln}x\right)}^{\text{ln}x}$

$y={\left(\text{ln}x\right)}^{\text{ln}x}$

Exercise 349問題 349

$y=x^{{\text{log}}_{2}x}$

$y=x^{{\text{log}}_{2}x}$

Solution解き方

$x^{{\text{log}}_{2}x}·\frac{2\text{ln}x}{x\text{ln}2}$

$x^{{\text{log}}_{2}x}·\frac{2\text{ln}x}{x\text{ln}2}$

Exercise 350問題 350

$y={\left(x^2-1\right)}^{\text{ln}x}$

$y={\left(x^2-1\right)}^{\text{ln}x}$

Exercise 351問題 351

$y=x^{\text{cot}x}$

$y=x^{\text{cot}x}$

Solution解き方

$x^{\text{cot}x}·\left[\text{−}{\text{csc}}^{2}x·\text{ln}x+\frac{\text{cot}x}{x}\right]$

$x^{\text{cot}x}·\left[\text{−}{\text{csc}}^{2}x·\text{ln}x+\frac{\text{cot}x}{x}\right]$

Exercise 352問題 352

$y=\frac{x+11}{\sqrt[3]{x^2-4}}$

$y=\frac{x+11}{\sqrt[3]{x^2-4}}$

Exercise 353問題 353

$y=x^{\mathrm{-1}\text{/}2}{\left(x^2+3\right)}^{2\text{/}3}{\left(3x-4\right)}^4$

$y=x^{\mathrm{-1}\text{/}2}{\left(x^2+3\right)}^{2\text{/}3}{\left(3x-4\right)}^4$

Solution解き方

$x^{\mathrm{-1}\text{/}2}{\left(x^2+3\right)}^{2\text{/}3}{\left(3x-4\right)}^4·\left[\frac{\mathrm{-1}}{2x}+\frac{4x}{3\left(x^2+3\right)}+\frac{12}{3x-4}\right]$

$x^{\mathrm{-1}\text{/}2}{\left(x^2+3\right)}^{2\text{/}3}{\left(3x-4\right)}^4·\left[\frac{\mathrm{-1}}{2x}+\frac{4x}{3\left(x^2+3\right)}+\frac{12}{3x-4}\right]$

Exercise 354問題 354

[T] Find an equation of the tangent line to the graph of $f\left(x\right)=4x{e}^{\left(x^2-1\right)}$ at the point where

[T] $f\left(x\right)=4x{e}^{\left(x^2-1\right)}$のグラフについて、次に指定するx座標の点での接線の方程式を求めなさい。

$x=\mathrm{-1}.$ Graph both the function and the tangent line.

$x=\mathrm{-1}$とする。関数と接線を同じ図に描きなさい。

Exercise 355問題 355

[T] Find the equation of the line that is normal to the graph of $f\left(x\right)=x·5^x$ at the point where $x=1.$ Graph both the function and the normal line.

[T] $x=1$における$f\left(x\right)=x·5^x$のグラフの法線の方程式を求めなさい。関数と法線を同じ図に描きなさい。

Solution解き方

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

$y=\frac{\mathrm{-1}}{5+5\text{ln}5}x+\left(5+\frac{1}{5+5\text{ln}5}\right)$

$y=\frac{\mathrm{-1}}{5+5\text{ln}5}x+\left(5+\frac{1}{5+5\text{ln}5}\right)$

Exercise 356問題 356

[T] Find the equation of the tangent line to the graph of $x^3-x\text{ln}y+y^3=2x+5$ at the point (2, 1). (Hint: Use implicit differentiation to find $\frac{dy}{dx}.)$ Graph both the curve and the tangent line.

[T] 方程式$x^3-x\text{ln}y+y^3=2x+5$のグラフ上の点(2,1)における接線の方程式を求めなさい。ヒント：陰関数の微分で$\frac{dy}{dx}.)$を求める。曲線と接線を同じ図に描きなさい。

Exercise 357問題 357

Consider the function $y=x^{1\text{/}x}$ for $x>0.$

$x>0$に対する関数$y=x^{1\text{/}x}$を考える。

1. Determine the points on the graph where the tangent line is horizontal.

   グラフ上で、接線が水平になる点を求めなさい。
2. Determine the points on the graph where $y^{\prime }>0$ and those where $y^{\prime }<0.$

   グラフ上で、$y^{\prime }>0$となる点と、$y^{\prime }<0$となる点を求めなさい。

Solution解き方

a. $x=e~2.718$ b. $y\text{'}>0\text{on}(0,e);y\text{'}<0\text{on}(e,\infty )$

a. $x=e~2.718$ b. $y\text{'}>0\text{適用先：}(0,e);y\text{'}<0\text{適用先：}(e,\infty )$

Exercise 358問題 358

The formula $I\left(t\right)=\frac{\text{sin}t}{e^t}$ is the formula for a decaying alternating current.

式$I\left(t\right)=\frac{\text{sin}t}{e^t}$は、減衰する交流電流を表す。

1. Complete the following table with the appropriate values.
   

   次の表に適切な値を入れなさい。

   $t$	$\frac{\text{sin}t}{e^t}$
   0	(i)
   $\frac{\pi }{2}$	(ii)
   $\pi$	(iii)
   $\frac{3\pi }{2}$	(iv)
   $2\pi$	(v)
   $\frac{5\pi }{2}$	(vi)
   $3\pi$	(vii)
   $\frac{7\pi }{2}$	(viii)
   $4\pi$	(ix)

2. Using only the values in the table, determine where the tangent line to the graph of $I\left(t\right)$ is horizontal.

   表の値だけを使い、$I\left(t\right)$のグラフの接線が水平になる位置を求めなさい。

Exercise 359問題 359

[T] The population of Toledo, Ohio, in 2000 was approximately 500,000. Assume the population is increasing at a rate of 5% per year.

[T] 2000年のオハイオ州トレドの人口を約500,000人とする。人口は毎年5%の割合で増加していると仮定する。

1. Write the exponential function that relates the total population as a function of $t.$

   人口を$t$の関数として表す指数関数を書きなさい。
2. Use a. to determine the rate at which the population is increasing in $t$ years.

   (a)を使い、$t$年後の人口の増加率を求めなさい。
3. Use b. to determine the rate at which the population is increasing in 10 years.

   (b)を使い、10年後の人口の増加率を求めなさい。

Solution解き方

a. $P=\mathrm{500,000}{\left(1.05\right)}^t$ individuals b. $P^{\prime }\left(t\right)=24395·{\left(1.05\right)}^t$ individuals per year c. $\mathrm{39,737}$ individuals per year

a. $P=\mathrm{500,000}{\left(1.05\right)}^t$ 人　b. $P^{\prime }\left(t\right)=24395·{\left(1.05\right)}^t$ 人/年　c. $\mathrm{39,737}$ 人/年。

Exercise 360問題 360

[T] An isotope of the element erbium has a half-life of approximately 12 hours. Initially there are 9 grams of the isotope present.

英語のヒント

[T] 元素エルビウムのある同位体は、半減期がおよそ12時間である。最初に、この同位体が9グラムある。

1. Write the exponential function that relates the amount of substance remaining as a function of $t,$ measured in hours.

   残っている物質の量を、時間単位の$t$の関数として表す指数関数を書きなさい。
2. Use a. to determine the rate at which the substance is decaying in $t$ hours.

   (a)を使い、$t$時間後の物質の減衰率を求めなさい。
3. Use b. to determine the rate of decay at $t=4$ hours.

   (b)を使い、$t=4$時間での減衰率を求めなさい。

Exercise 361問題 361

[T] The number of cases of influenza in New York City from the beginning of 1960 to the beginning of 1964 is modeled by the function

[T] 1960年初めから1964年初めまでのニューヨーク市のインフルエンザの症例数を、次の関数でモデル化する。

$N\left(t\right)=5.3e^{0.093t^2-0.87t},(0\le t\le 4),$ where $N\left(t\right)$ gives the number of cases (in thousands) and t is measured in years, with $t=0$ corresponding to the beginning of 1960.

$N\left(t\right)=5.3e^{0.093t^2-0.87t},(0\le t\le 4)$。$N\left(t\right)$は症例数を千件単位で表し、tの単位は年、$t=0$は1960年初めに対応する。

1. Show work that evaluates $N\left(0\right)$ and $N\left(4\right).$ Briefly describe what these values indicate about the disease in New York City.

   $N\left(0\right)$と$N\left(4\right)$を、計算過程を示して求めなさい。これらの値が、ニューヨーク市の流行について何を示すか、簡潔に説明しなさい。
2. Show work that evaluates $N^{\prime }\left(0\right)$ and $N^{\prime }\left(3\right).$ Briefly describe what these values indicate about the disease in New York City.

   $N^{\prime }\left(0\right)$と$N^{\prime }\left(3\right)$を、計算過程を示して求めなさい。これらの値が、ニューヨーク市の流行について何を示すか、簡潔に説明しなさい。

Solution解き方

a. At the beginning of 1960 there were 5.3 thousand cases of the disease in New York City. At the beginning of 1964 there were approximately 723 cases of the disease in the United States. b. At the beginning of 1960 the number of cases of the disease was decreasing at rate of $\mathrm{-4.611}$ thousand per year; at the beginning of 1963, the number of cases of the disease was decreasing at a rate of $\mathrm{-0.2808}$ thousand per year.

a. 1960年初めのニューヨーク市の症例数は5,300件だった。1964年初めには、およそ723件となる。b. 1960年初めの症例数の変化率は$\mathrm{-4.611}$千件/年、1963年初めには$\mathrm{-0.2808}$千件/年である。どちらも負なので、症例数は減少している。

Exercise 362問題 362

[T] The relative rate of change of a differentiable function $y=f\left(x\right)$ is given by $\frac{100·f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}\text{\%}.$ One model for population growth is a Gompertz growth function, given by $P\left(x\right)=a{e}^{\text{−}b·e^{\text{−}cx}}$ where $a,b,$ and $c$ are constants.

[T] 微分可能な関数$y=f\left(x\right)$の相対変化率は、$\frac{100·f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}\text{\%}$で与えられる。個体数増加のモデルの1つに、ゴンペルツ成長関数$P\left(x\right)=a{e}^{\text{−}b·e^{\text{−}cx}}$がある。$a,b$および$c$は定数である。

1. Find the relative rate of change formula for the generic Gompertz function.

   一般のゴンペルツ関数の相対変化率の公式を求めなさい。
2. Use a. to find the relative rate of change of a population in $x=20$ months when $a=204,b=0.0198,$ and $c=0.15.$

   $a=204,b=0.0198$、$c=0.15$のとき、(a)を使い、$x=20$か月での個体数の相対変化率を求めなさい。
3. Briefly interpret what the result of b. means.

   (b)の結果の意味を簡潔に説明しなさい。