第3章微分

Derivatives of Other Trigonometric Functionsその他の三角関数の導関数

Since the remaining four trigonometric functions may be expressed as quotients involving sine, cosine, or both, we can use the quotient rule to find formulas for their derivatives.

英語のヒント

残る4つの三角関数は、正弦・余弦の一方または両方を使った商で表せる。そのため、商の微分法を使って、それぞれの導関数の公式を求められる。

Example 3.42例題 3.42

The Derivative of the Tangent Function正接関数の導関数

Find the derivative of

f (x) = tan x .

f (x) = tan x

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

Start by expressing

tan x

as the quotient of

sin x

and

cos x :

まず

tan x

を、

sin x

と

cos x

の商で表す。

f (x) = tan x = \frac{sin x}{cos x} .

f (x) = tan x = \frac{sin x}{cos x}

Now apply the quotient rule to obtain

ここで商の微分法を使うと、

f^{'} (x) = \frac{cos x cos x - (− sin x) sin x}{{(cos x)}^{2}} .

f^{'} (x) = \frac{cos x cos x - (− sin x) sin x}{{(cos x)}^{2}}

Simplifying, we obtain

整理すると、

f^{'} (x) = \frac{{cos}^{2} x + {sin}^{2} x}{{cos}^{2} x} .

f^{'} (x) = \frac{{cos}^{2} x + {sin}^{2} x}{{cos}^{2} x}

Recognizing that

{cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1,

by the Pythagorean theorem, we now have

ピタゴラスの定理から

{cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1

なので、

f^{'} (x) = \frac{1}{{cos}^{2} x} .

f^{'} (x) = \frac{1}{{cos}^{2} x}

Finally, use the identity

sec x = \frac{1}{cos x}

to obtain

最後に、恒等式

sec x = \frac{1}{cos x}

を使うと、

f^{'} (x) = {sec}^{2} x .

f^{'} (x) = {sec}^{2} x

The derivatives of the remaining trigonometric functions may be obtained by using similar techniques. We provide these formulas in the following theorem.

残りの三角関数の導関数も、同様の方法で求められる。次の定理に公式をまとめる。

Example 3.43例題 3.43

Finding the Equation of a Tangent Line接線の方程式を求める

Find the equation of a line tangent to the graph of

f (x) = cot x

x = \frac{π}{4} .

x = \frac{π}{4}

における

f (x) = cot x

のグラフの接線の方程式を求めなさい。

Solution解き方

To find the equation of the tangent line, we need a point and a slope at that point. To find the point, compute

接線の方程式を求めるには、通る点とその点での傾きが必要である。まず、点の座標を計算する。

f (\frac{π}{4}) = cot \frac{π}{4} = 1 .

f (\frac{π}{4}) = cot \frac{π}{4} = 1

Thus the tangent line passes through the point

(\frac{π}{4}, 1) .

Next, find the slope by finding the derivative of

f (x) = cot x

and evaluating it at

\frac{π}{4} :

したがって、接線は点

(\frac{π}{4}, 1)

を通る。次に

f (x) = cot x

を微分し、

\frac{π}{4} :

での値を求めて傾きを得る。

f^{'} (x) = − {csc}^{2} x and f^{'} (\frac{π}{4}) = − {csc}^{2} (\frac{π}{4}) = −2 .

f^{'} (x) = − {csc}^{2} x および f^{'} (\frac{π}{4}) = − {csc}^{2} (\frac{π}{4}) = −2

Using the point-slope equation of the line, we obtain

点と傾きによる直線の方程式を使うと、

y - 1 = −2 (x - \frac{π}{4})

or equivalently,

同じ式を整理すると、

y = −2 x + 1 + \frac{π}{2} .

y = −2 x + 1 + \frac{π}{2}

Example 3.44例題 3.44

Finding the Derivative of Trigonometric Functions三角関数を含む関数の導関数を求める

Find the derivative of

f (x) = csc x + x tan x .

f (x) = csc x + x tan x

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

To find this derivative, we must use both the sum rule and the product rule. Using the sum rule, we find

この導関数には、和の微分法と積の微分法の両方が必要になる。まず和の微分法を使うと、

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (csc x) + \frac{d}{d x} (x tan x) .

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (csc x) + \frac{d}{d x} (x tan x)

In the first term,

\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x,

and by applying the product rule to the second term we obtain

第1項は

\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x

である。第2項には積の微分法を使うと、

\frac{d}{d x} (x tan x) = (1) (tan x) + ({sec}^{2} x) (x) .

\frac{d}{d x} (x tan x) = (1) (tan x) + ({sec}^{2} x) (x)

Therefore, we have

したがって、

f^{'} (x) = − csc x cot x + tan x + x {sec}^{2} x .

f^{'} (x) = − csc x cot x + tan x + x {sec}^{2} x

Higher-Order Derivatives高階導関数

The higher-order derivatives of

sin x

and

cos x

follow a repeating pattern. By following the pattern, we can find any higher-order derivative of

sin x

and

cos x .

sin x

と

cos x

の高階導関数には、繰り返しの規則性がある。この規則をたどれば、

sin x

と

cos x

の何階の導関数でも求められる。

Example 3.45例題 3.45

Finding Higher-Order Derivatives of $y = sin x$ $y = sin x$ の高階導関数を求める

Find the first four derivatives of

y = sin x .

y = sin x

の1階から4階までの導関数を求めなさい。

Solution解き方

Each step in the chain is straightforward:

順に微分していけばよい。

\begin{matrix} y & = & sin x \\ \frac{d y}{d x} & = & cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = & − sin x \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & = & − cos x \\ \frac{d^{4} y}{d x^{4}} & = & sin x . \end{matrix}

Example 3.46例題 3.46

Using the Pattern for Higher-Order Derivatives of $y = sin x$ $y = sin x$ の高階導関数の規則性を使う

Find

\frac{d^{74}}{d x^{74}} (sin x) .

\frac{d^{74}}{d x^{74}} (sin x)

を求めなさい。

Solution解き方

We can see right away that for the 74th derivative of

sin x, 74 = 4 (18) + 2,

sin xの74階導関数については、

sin x, 74 = 4 (18) + 2

に着目すれば、すぐに次がわかる。

\frac{d^{74}}{d x^{74}} (sin x) = \frac{d^{72 + 2}}{d x^{72 + 2}} (sin x) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} (sin x) = − sin x .

\frac{d^{74}}{d x^{74}} (sin x) = \frac{d^{72 + 2}}{d x^{72 + 2}} (sin x) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} (sin x) = − sin x

Example 3.47例題 3.47

An Application to Acceleration加速度への応用

A particle moves along a coordinate axis in such a way that its position at time

t

is given by

s (t) = 2 - sin t .

Find

v (π / 4)

and

a (π / 4) .

Compare these values and decide whether the particle is speeding up or slowing down.

座標軸上を動く質点の、時刻

t

における位置は

s (t) = 2 - sin t

で与えられる。

v (π / 4)

と

a (π / 4)

を求めなさい。値を比べ、質点の速さが増しているか、小さくなっているか判断しなさい。

Solution解き方

First find

v (t) = s^{'} (t) :

まず

v (t) = s^{'} (t) :

を求める。

v (t) = s^{'} (t) = − cos t .

v (t) = s^{'} (t) = − cos t

Thus,

したがって、

v (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} .

v (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}}

Next, find

a (t) = v^{'} (t) .

Thus,

a (t) = v^{'} (t) = sin t

and we have

次に

a (t) = v^{'} (t)

を求める。

a (t) = v^{'} (t) = sin t

であるから、

a (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .

a (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}

Since

v (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} < 0

and

a (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0,

we see that velocity and acceleration are acting in opposite directions; that is, the object is being accelerated in the direction opposite to the direction in which it is travelling. Consequently, the particle is slowing down.

英語のヒント

v (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} < 0

かつ

a (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0

なので、速度と加速度は逆向きである。つまり、物体は進行方向と逆向きに加速されている。したがって、質点の速さは小さくなる。

Key Concepts重要な概念

We can find the derivatives of sin x and cos x by using the definition of derivative and the limit formulas found earlier. The results are
導関数の定義と、先に学んだ極限の公式を使い、sin xとcos xの導関数を求められる。結果は次のとおり。

$\frac{d}{d x} sin x = cos x \frac{d}{d x} cos x = − sin x .$
$\frac{d}{d x} sin x = cos x \frac{d}{d x} cos x = − sin x$
With these two formulas, we can determine the derivatives of all six basic trigonometric functions.
この2つの公式から、基本的な6つの三角関数すべての導関数を求められる。

Key Equations重要な式

Derivative of sine function 正弦関数の導関数	$\frac{d}{d x} (sin x) = cos x$
Derivative of cosine function 余弦関数の導関数	$\frac{d}{d x} (cos x) = − sin x$
Derivative of tangent function 正接関数の導関数	$\frac{d}{d x} (tan x) = {sec}^{2} x$
Derivative of cotangent function 余接関数の導関数	$\frac{d}{d x} (cot x) = − {csc}^{2} x$
Derivative of secant function 正割関数の導関数	$\frac{d}{d x} (sec x) = sec x tan x$
Derivative of cosecant function 余割関数の導関数	$\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x$

Exercises 175–184練習問題 175–184

For the following exercises, find

\frac{d y}{d x}

for the given functions.

次の問題では、与えられた関数の

\frac{d y}{d x}

を求めなさい。

Exercise 175問題 175

y = x^{2} - sec x + 1

y = x^{2} - sec x + 1

Solution解き方

\frac{d y}{d x} = 2 x - sec x tan x

\frac{d y}{d x} = 2 x - sec x tan x

Exercise 176問題 176

y = 3 csc x + \frac{5}{x}

y = 3 csc x + \frac{5}{x}

Exercise 177問題 177

y = x^{2} cot x

y = x^{2} cot x

Solution解き方

\frac{d y}{d x} = 2 x cot x - x^{2} {csc}^{2} x

\frac{d y}{d x} = 2 x cot x - x^{2} {csc}^{2} x

Exercise 178問題 178

y = x - x^{3} sin x

y = x - x^{3} sin x

Exercise 179問題 179

y = \frac{sec x}{x}

y = \frac{sec x}{x}

Solution解き方

\frac{d y}{d x} = \frac{x sec x tan x - sec x}{x^{2}}

\frac{d y}{d x} = \frac{x sec x tan x - sec x}{x^{2}}

Exercise 180問題 180

y = sin x tan x

y = sin x tan x

Exercise 181問題 181

y = (x + cos x) (1 - sin x)

y = (x + cos x) (1 - sin x)

Solution解き方

\frac{d y}{d x} = (1 - sin x) (1 - sin x) - cos x (x + cos x)

\frac{d y}{d x} = (1 - sin x) (1 - sin x) - cos x (x + cos x)

Exercise 182問題 182

y = \frac{tan x}{1 - sec x}

y = \frac{tan x}{1 - sec x}

Exercise 183問題 183

y = \frac{1 - cot x}{1 + cot x}

y = \frac{1 - cot x}{1 + cot x}

Solution解き方

\frac{d y}{d x} = \frac{2 {csc}^{2} x}{{(1 + cot x)}^{2}}

\frac{d y}{d x} = \frac{2 {csc}^{2} x}{{(1 + cot x)}^{2}}

Exercise 184問題 184

y = cos x (1 + csc x)

y = cos x (1 + csc x)

Exercises 185–190練習問題 185–190

For the following exercises, find the equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of

x .

Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

次の問題では、指定された

x

の値における、各関数のグラフの接線の方程式を求めなさい。その後、電卓で関数と接線を描き、接線の方程式が正しいか確かめなさい。

Exercise 185問題 185

[T]

f (x) = − sin x, x = 0

[T]

f (x) = − sin x, x = 0

Solution解き方

y = − x

y = − x

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 186問題 186

[T]

f (x) = csc x, x = \frac{π}{2}

[T]

f (x) = csc x, x = \frac{π}{2}

Exercise 187問題 187

[T]

f (x) = 1 + cos x, x = \frac{3 π}{2}

[T]

f (x) = 1 + cos x, x = \frac{3 π}{2}

Solution解き方

y = x + \frac{2 - 3 π}{2}

y = x + \frac{2 - 3 π}{2}

余弦関数を上に1だけ平行移動したグラフと、傾き1、y切片(2−3π)/2の接線T(x)。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 188問題 188

[T]

f (x) = sec x, x = \frac{π}{4}

[T]

f (x) = sec x, x = \frac{π}{4}

Exercise 189問題 189

[T]

f (x) = x^{2} - tan x, x = 0

[T]

f (x) = x^{2} - tan x, x = 0

Solution解き方

y = − x

y = − x

グラフは(−1,3)から原点へ減少し、その後は(1,−0.5)付近まで緩やかに下がる。そこからは非常に急に減少する。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 190問題 190

[T]

f (x) = 5 cot x, x = \frac{π}{4}

[T]

f (x) = 5 cot x, x = \frac{π}{4}

Exercises 191–204練習問題 191–204

For the following exercises, find

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

for the given functions.

次の問題では、与えられた関数の

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

を求めなさい。

Exercise 191問題 191

y = x sin x - cos x

y = x sin x - cos x

Solution解き方

3 cos x - x sin x

3 cos x - x sin x

Exercise 192問題 192

y = sin x cos x

y = sin x cos x

Exercise 193問題 193

y = x - \frac{1}{2} sin x

y = x - \frac{1}{2} sin x

Solution解き方

\frac{1}{2} sin x

\frac{1}{2} sin x

Exercise 194問題 194

y = \frac{1}{x} + tan x

y = \frac{1}{x} + tan x

Exercise 195問題 195

y = 2 csc x

y = 2 csc x

Solution解き方

2 csc x ({csc}^{2} x + {cot}^{2} x)

2 csc x ({csc}^{2} x + {cot}^{2} x)

Exercise 196問題 196

y = {sec}^{2} x

y = {sec}^{2} x

Exercise 197問題 197

Find all

x

values on the graph of

f (x) = −3 sin x cos x

where the tangent line is horizontal.

f (x) = −3 sin x cos x

のグラフ上で、接線が水平になる

x

の値をすべて求めなさい。

Solution解き方

\frac{(2 n + 1) π}{4}, where n is an integer

\frac{(2 n + 1) π}{4}, ここで n は整数

Exercise 198問題 198

Find all

x

values on the graph of

f (x) = x - 2 cos x

for

0 < x < 2 π

where the tangent line has slope 2.

0 < x < 2 π

の範囲で、

f (x) = x - 2 cos x

のグラフの接線の傾きが2になる

x

の値をすべて求めなさい。

Exercise 199問題 199

Let

f (x) = cot x .

Determine the points on the graph of

f

for

0 < x < 2 π

where the tangent line(s) is (are) parallel to the line

y = −2 x .

f (x) = cot x

とする。

0 < x < 2 π

の範囲で、接線が直線

y = −2 x

に平行になる、

f

のグラフ上の点を求めなさい。

Solution解き方

(\frac{π}{4}, 1), (\frac{3 π}{4}, −1), (\frac{5 π}{4}, 1), (\frac{7 π}{4}, - 1)

(\frac{π}{4}, 1), (\frac{3 π}{4}, −1), (\frac{5 π}{4}, 1), (\frac{7 π}{4}, - 1)

Exercise 200問題 200

[T] A mass on a spring bounces up and down in simple harmonic motion, modeled by the function

s (t) = −6 cos t

where

s

is measured in inches and

t

is measured in seconds. Find the rate at which the spring is oscillating at

t = 5

[T] ばねにつながれた物体が上下に単振動しており、位置は

s (t) = −6 cos t

でモデル化される。

s

の単位はインチ、

t

の単位は秒である。

t = 5

秒における位置の変化率、すなわち速度を求めなさい。

Exercise 201問題 201

Let the position of a swinging pendulum in simple harmonic motion be given by

s (t) = a cos t + b sin t

where

a

and

b

are constants,

t

measures time in seconds, and

s

measures position in centimeters. If the position is 0 cm and the velocity is 3 cm/s when

t = 0

, find the values of

a

and

b

単振動する振り子の位置を、

s (t) = a cos t + b sin t

で表す。

a

と

b

は定数、

t

は秒単位の時刻、

s

はセンチメートル単位の位置である。

t = 0

のとき位置が0 cm、速度が3 cm/sなら、

a

と

b

を求めなさい。

Solution解き方

a = 0, b = 3

a = 0, b = 3

Exercise 202問題 202

After a diver jumps off a diving board, the edge of the board oscillates with position given by

s (t) = −5 cos t

cm at

t

seconds after the jump.

選手が飛び込み板から跳び出すと、板の先端が振動する。跳び出してから

t

秒後の位置は、

s (t) = −5 cos t

cmで与えられる。

Sketch one period of the position function for $t \geq 0 .$
$t \geq 0$ で、位置関数のグラフを1周期分描きなさい。
Find the velocity function.
速度関数を求めなさい。
Sketch one period of the velocity function for $t \geq 0 .$
$t \geq 0$ で、速度関数のグラフを1周期分描きなさい。
Determine the times when the velocity is 0 over one period.
1周期の間で、速度が0になる時刻を求めなさい。
Find the acceleration function.
加速度関数を求めなさい。
Sketch one period of the acceleration function for $t \geq 0 .$
$t \geq 0$ で、加速度関数のグラフを1周期分描きなさい。

Exercise 203問題 203

The number of hamburgers sold at a fast-food restaurant in Pasadena, California, is given by

y = 10 + 5 sin x

where

y

is the number of hamburgers sold and

x

represents the number of hours after the restaurant opened at 11 a.m. until 11 p.m., when the store closes. Find

y'

and determine the intervals where the number of burgers being sold is increasing.

カリフォルニア州パサデナのファストフード店で売れるハンバーガーの個数を、

y = 10 + 5 sin x

で表す。

y

は販売個数、

x

は午前11時の開店から午後11時の閉店までの経過時間である。

y'

を求め、売れる個数が増加する時間区間を求めなさい。

Solution解き方

y^{'} = 5 cos (x),

increasing on

(0, \frac{π}{2}), (\frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}),

and

(\frac{7 π}{2}, 12)

y^{'} = 5 cos (x)

。

(0, \frac{π}{2}), (\frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2})

および

(\frac{7 π}{2}, 12)

で増加する。

Exercise 204問題 204

[T] The amount of rainfall per month in Phoenix, Arizona, can be approximated by

y (t) = 0.5 + 0.3 cos t,

where

t

is months since January. Find

y^{'}

and use a calculator to determine the intervals where the amount of rain falling is decreasing.

[T] アリゾナ州フェニックスの月ごとの降水量は、

y (t) = 0.5 + 0.3 cos t

で近似できる。

t

は1月からの経過月数である。

y^{'}

を求め、電卓を使って降水量が減少する区間を求めなさい。

第3章微分

Derivatives of Other Trigonometric Functionsその他の三角関数の導関数

The Derivative of the Tangent Function正接関数の導関数

Finding the Equation of a Tangent Line接線の方程式を求める

Finding the Derivative of Trigonometric Functions三角関数を含む関数の導関数を求める

Higher-Order Derivatives高階導関数

Finding Higher-Order Derivatives of y=sinxy=sinxの高階導関数を求める

Using the Pattern for Higher-Order Derivatives of y=sinxy=sinxの高階導関数の規則性を使う

An Application to Acceleration加速度への応用

Key Concepts重要な概念

Key Equations重要な式

Finding Higher-Order Derivatives of $y = sin x$ $y = sin x$ の高階導関数を求める

Using the Pattern for Higher-Order Derivatives of $y = sin x$ $y = sin x$ の高階導関数の規則性を使う