第3章微分

Key Concepts重要な概念

The derivative of a constant function is zero.
定数関数の導関数は0である。
The derivative of a power function is a function in which the power on $x$ becomes the coefficient of the term and the power on $x$ in the derivative decreases by 1.
べき関数の導関数は、元の $x$ の指数が項の係数となり、 $x$ の指数が1だけ小さくなる関数である。
The derivative of a constant c multiplied by a function f is the same as the constant multiplied by the derivative.
関数fを定数c倍した関数の導関数は、fの導関数をc倍したものに等しい。
The derivative of the sum of a function f and a function g is the same as the sum of the derivative of f and the derivative of g.
関数fと関数gの和の導関数は、fの導関数とgの導関数の和に等しい。
The derivative of the difference of a function f and a function g is the same as the difference of the derivative of f and the derivative of g.
関数fと関数gの差の導関数は、fの導関数とgの導関数の差に等しい。
The derivative of a product of two functions is the derivative of the first function times the second function plus the derivative of the second function times the first function.
2つの関数の積の導関数は、「第1の関数の導関数×第2の関数」と「第2の関数の導関数×第1の関数」の和である。
The derivative of the quotient of two functions is the derivative of the first function times the second function minus the derivative of the second function times the first function, all divided by the square of the second function.
2つの関数の商の導関数は、「第1の関数の導関数×第2の関数」から「第2の関数の導関数×第1の関数」を引き、全体を第2の関数の2乗で割ったものである。
We used the limit definition of the derivative to develop formulas that allow us to find derivatives without resorting to the definition of the derivative. These formulas can be used singly or in combination with each other.
極限による導関数の定義を使って、その定義に毎回立ち戻らずに導関数を求められる公式を導いた。これらの公式は、単独でも、組み合わせても使える。

Exercises 106–117練習問題 106–117

For the following exercises, find

f^{'} (x)

for each function.

次の問題では、各関数の

f^{'} (x)

を求めなさい。

Exercise 106問題 106

f (x) = x^{7} + 10

f (x) = x^{7} + 10

Exercise 107問題 107

f (x) = 5 x^{3} - x + 1

f (x) = 5 x^{3} - x + 1

Solution解き方

f^{'} (x) = 15 x^{2} - 1

f^{'} (x) = 15 x^{2} - 1

Exercise 108問題 108

f (x) = 4 x^{2} - 7 x

f (x) = 4 x^{2} - 7 x

Exercise 109問題 109

f (x) = 8 x^{4} + 9 x^{2} - 1

f (x) = 8 x^{4} + 9 x^{2} - 1

Solution解き方

f^{'} (x) = 32 x^{3} + 18 x

f^{'} (x) = 32 x^{3} + 18 x

Exercise 110問題 110

f (x) = x^{4} + \frac{2}{x}

f (x) = x^{4} + \frac{2}{x}

Exercise 111問題 111

f (x) = 3 x (18 x^{4} + \frac{13}{x + 1})

f (x) = 3 x (18 x^{4} + \frac{13}{x + 1})

Solution解き方

f^{'} (x) = 270 x^{4} + \frac{39}{{(x + 1)}^{2}}

f^{'} (x) = 270 x^{4} + \frac{39}{{(x + 1)}^{2}}

Exercise 112問題 112

f (x) = (x + 2) (2 x^{2} - 3)

f (x) = (x + 2) (2 x^{2} - 3)

Exercise 113問題 113

f (x) = x^{2} (\frac{2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}})

f (x) = x^{2} (\frac{2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}})

Solution解き方

f^{'} (x) = \frac{−5}{x^{2}}

f^{'} (x) = \frac{−5}{x^{2}}

Exercise 114問題 114

f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{3}

f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{3}

Exercise 115問題 115

f (x) = \frac{4 x^{3} - 2 x + 1}{x^{2}}

f (x) = \frac{4 x^{3} - 2 x + 1}{x^{2}}

Solution解き方

f^{'} (x) = \frac{4 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x}{x^{4}}

f^{'} (x) = \frac{4 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x}{x^{4}}

Exercise 116問題 116

f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4}

f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4}

Exercise 117問題 117

f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 7 x + 1}

f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 7 x + 1}

Solution解き方

f^{'} (x) = \frac{− x^{2} - 18 x + 64}{{(x^{2} - 7 x + 1)}^{2}}

f^{'} (x) = \frac{− x^{2} - 18 x + 64}{{(x^{2} - 7 x + 1)}^{2}}

Exercises 118–121練習問題 118–121

For the following exercises, find the equation of the tangent line

T (x)

to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

次の問題では、指定された点における、与えられた関数のグラフの接線

T (x)

の方程式を求めなさい。グラフ電卓を使い、関数と接線のグラフを描きなさい。

Exercise 118問題 118

[T]

y = 3 x^{2} + 4 x + 1

(0, 1)

[T]

y = 3 x^{2} + 4 x + 1

、点

(0, 1)

において。

Exercise 119問題 119

[T]

y = \frac{2}{x^{2}} + 1

(1, 3)

[T]

y = \frac{2}{x^{2}} + 1

、点

(1, 3)

において。

Solution解き方

yのグラフは、y切片1の緩やかな曲線。接線T(x)はy切片3、傾き1/2の直線である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

T (x) = - 4 x + 7

T (x) = - 4 x + 7

Exercise 120問題 120

[T]

y = \frac{2 x}{x - 1}

(−1, 1)

[T]

y = \frac{2 x}{x - 1}

、点

(−1, 1)

において。

Exercise 121問題 121

[T]

y = \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}

(1, −1)

[T]

y = \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}

、点

(1, −1)

において。

Solution解き方

yのグラフは2つの枝からなる。第3象限の枝は(−3,−1)から(−1,−5)へ緩やかに下がる。もう一方は(0.8,−5)から(3,0.2)へ、より急に上がる。接線T(x)は(0,−5)を通り、傾き4である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

T (x) = 4 x - 5

T (x) = 4 x - 5

Exercises 122–125練習問題 122–125

For the following exercises, assume that

f (x)

and

g (x)

are both differentiable functions for all

x .

Find the derivative of each of the functions

h (x) .

次の問題では、

f (x)

と

g (x)

はどの

x

でも微分可能とする。各関数

h (x)

の導関数を求めなさい。

Exercise 122問題 122

h (x) = 4 f (x) + \frac{g (x)}{7}

h (x) = 4 f (x) + \frac{g (x)}{7}

Exercise 123問題 123

h (x) = x^{3} f (x)

h (x) = x^{3} f (x)

Solution解き方

h^{'} (x) = 3 x^{2} f (x) + x^{3} f^{'} (x)

h^{'} (x) = 3 x^{2} f (x) + x^{3} f^{'} (x)

Exercise 124問題 124

h (x) = \frac{f (x) g (x)}{2}

h (x) = \frac{f (x) g (x)}{2}

Exercise 125問題 125

h (x) = \frac{3 f (x)}{g (x) + 2}

h (x) = \frac{3 f (x)}{g (x) + 2}

Solution解き方

h^{'} (x) = \frac{3 f^{'} (x) (g (x) + 2) - 3 f (x) g^{'} (x)}{{(g (x) + 2)}^{2}}

h^{'} (x) = \frac{3 f^{'} (x) (g (x) + 2) - 3 f (x) g^{'} (x)}{{(g (x) + 2)}^{2}}

Exercises 126–129練習問題 126–129

For the following exercises, assume that

f (x)

and

g (x)

are both differentiable functions with values as given in the following table. Use the following table to calculate the following derivatives.

次の問題では、

f (x)

と

g (x)

はともに微分可能で、各値は次の表のとおりとする。表を使い、指定された導関数の値を求めなさい。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$3$	$5$	$−2$	$0$
$g (x)$	$2$	$3$	$−4$	$6$
$f^{'} (x)$	$−1$	$7$	$8$	$−3$
$g^{'} (x)$	$4$	$1$	$2$	$9$

Exercise 126問題 126

Find

h^{'} (1)

h (x) = x f (x) + 4 g (x) .

h (x) = x f (x) + 4 g (x)

のとき、

h^{'} (1)

を求めなさい。

Exercise 127問題 127

Find

h^{'} (2)

h (x) = \frac{f (x)}{g (x)} .

h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}

のとき、

h^{'} (2)

を求めなさい。

Solution解き方

\frac{16}{9}

\frac{16}{9}

Exercise 128問題 128

Find

h^{'} (3)

h (x) = 2 x + f (x) g (x) .

h (x) = 2 x + f (x) g (x)

のとき、

h^{'} (3)

を求めなさい。

Exercise 129問題 129

Find

h^{'} (4)

h (x) = \frac{1}{x} + \frac{g (x)}{f (x)} .

h (x) = \frac{1}{x} + \frac{g (x)}{f (x)}

のとき、

h^{'} (4)

を求めなさい。

Solution解き方

Undefined

定義されない。

Exercises 130–132練習問題 130–132

For the following exercises, use the following figure to find the indicated derivatives, if they exist.

次の問題では、図を使い、指定された導関数の値を求めなさい。存在しない場合は、その旨を答えなさい。

関数f(x)とg(x)のグラフ。f(x)は(−1,5)から(3,1)まで直線的に減少し、その後は(5,3)まで直線的に増加する。g(x)は原点から(2.5,2.5)まで直線的に増加し、その後はy=2.5で一定になる。

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Exercise 130問題 130

Let

h (x) = f (x) + g (x) .

Find

h (x) = f (x) + g (x)

とする。次を求めなさい。

$h^{'} (1),$
$h^{'} (1)$
$h^{'} (3),$ and
$h^{'} (3)$ 、および
$h^{'} (4) .$
$h^{'} (4)$

Exercise 131問題 131

Let

h (x) = f (x) g (x) .

Find

h (x) = f (x) g (x)

とする。次を求めなさい。

$h^{'} (1),$
$h^{'} (1)$
$h^{'} (3),$ and
$h^{'} (3)$ 、および
$h^{'} (4) .$
$h^{'} (4)$

Solution解き方

2,

b. does not exist, c.

2.5

2

　b. 存在しない。　c.

2.5

Exercise 132問題 132

Let

h (x) = \frac{f (x)}{g (x)} .

Find

h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}

とする。次を求めなさい。

$h^{'} (1),$
$h^{'} (1)$
$h^{'} (3),$ and
$h^{'} (3)$ 、および
$h^{'} (4) .$
$h^{'} (4)$

Exercises 133–149練習問題 133–149

For the following exercises,

次の問題では、以下に答えなさい。

evaluate $f^{'} (a),$ and
$f^{'} (a)$ の値を求める。
graph the function $f (x)$ and the tangent line at $x = a .$
関数 $f (x)$ と、 $x = a$ における接線のグラフを描く。

Exercise 133問題 133

[T]

f (x) = 2 x^{3} + 3 x - x^{2}, a = 2

[T]

f (x) = 2 x^{3} + 3 x - x^{2}, a = 2

Solution解き方

a. 23, b.

y = 23 x - 28

a. 23, b.

y = 23 x - 28

原点を通る、少し変形した3次関数のグラフ。接線は(0,−28)を通り、傾き23である。

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Exercise 134問題 134

[T]

f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}, a = 1

[T]

f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}, a = 1

Exercise 135問題 135

[T]

f (x) = x^{2} - x^{12} + 3 x + 2, a = 0

[T]

f (x) = x^{2} - x^{12} + 3 x + 2, a = 0

Solution解き方

a. 3, b.

y = 3 x + 2

a. 3, b.

y = 3 x + 2

グラフは第3象限から急増し、x=−0.9付近でx軸と交わる。その後は増加が緩やかになり、(0,2)を通って(1,5)まで上がる。そこから急に減少し、x=1.2付近でx軸と交わる。

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Exercise 136問題 136

[T]

f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}, a = −1

[T]

f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}, a = −1

Exercise 137問題 137

Find the equation of the tangent line to the graph of

f (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x - 3

x = −1 .

x = −1

における

f (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x - 3

のグラフの接線の方程式を求めなさい。

Solution解き方

y = −7 x - 3

y = −7 x - 3

Exercise 138問題 138

Find the equation of the tangent line to the graph of

f (x) = x^{2} + \frac{4}{x} - 10

x = 8 .

x = 8

における

f (x) = x^{2} + \frac{4}{x} - 10

のグラフの接線の方程式を求めなさい。

Exercise 139問題 139

Find the equation of the tangent line to the graph of

f (x) = (3 x - x^{2}) (3 - x - x^{2})

x = 1 .

x = 1

における

f (x) = (3 x - x^{2}) (3 - x - x^{2})

のグラフの接線の方程式を求めなさい。

Solution解き方

y = −5 x + 7

y = −5 x + 7

Exercise 140問題 140

Find the point on the graph of

f (x) = x^{3}

such that the tangent line at that point has an

x

intercept of 6.

f (x) = x^{3}

のグラフ上で、接線の

x

切片が6になる点を求めなさい。

Exercise 141問題 141

Find the equation of the line passing through the point

P (3, 3)

and tangent to the graph of

f (x) = \frac{6}{x - 1} .

点

P (3, 3)

を通り、

f (x) = \frac{6}{x - 1}

のグラフに接する直線の方程式を求めなさい。

Solution解き方

y = - \frac{3}{2} x + \frac{15}{2}

y = - \frac{3}{2} x + \frac{15}{2}

Exercise 142問題 142

Determine all points on the graph of

f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1

for which

f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1

のグラフ上で、次の条件を満たす点をすべて求めなさい。

the tangent line is horizontal
接線が水平である。
the tangent line has a slope of $−1 .$
接線の傾きが $−1$ である。

Exercise 143問題 143

Find a quadratic polynomial such that

f (1) = 5, f^{'} (1) = 3

and

f^{″} (1) = −6 .

f (1) = 5, f^{'} (1) = 3

および

f^{″} (1) = −6

を満たす2次多項式を求めなさい。

Solution解き方

y = −3 x^{2} + 9 x - 1

y = −3 x^{2} + 9 x - 1

Exercise 144問題 144

A car driving along a freeway with traffic has traveled

s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t

meters in

t

seconds.

交通量のある高速道路を走る車の、

t

秒後の位置を

s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t

メートルで表す。

Determine the time in seconds when the velocity of the car is 0.
車の速度が0になる時刻を、秒単位で求めなさい。
Determine the acceleration of the car when the velocity is 0.
速度が0のときの車の加速度を求めなさい。

Exercise 145問題 145

[T] A herring swimming along a straight line has traveled

s (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 2}

feet in

t

seconds.

[T] 直線に沿って泳ぐニシンの、

t

秒後の移動距離は

s (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 2}

フィートである。

Determine the velocity of the herring when it has traveled 3 seconds.

泳ぎ始めて3秒後のニシンの速度を求めなさい。

Solution解き方

\frac{12}{121}

or 0.0992 ft/s

\frac{12}{121}

ft/s、すなわち約0.0992 ft/s。

Exercise 146問題 146

The population in millions of arctic flounder in the Atlantic Ocean is modeled by the function

P (t) = \frac{8 t + 3}{0.2 t^{2} + 1},

where

t

is measured in years.

大西洋の寒冷域のカレイの個体数を、百万匹単位で

P (t) = \frac{8 t + 3}{0.2 t^{2} + 1}

とモデル化する。

t

の単位は年である。

Determine the initial flounder population.
最初のカレイの個体数を求めなさい。
Determine $P^{'} (10)$ and briefly interpret the result.
$P^{'} (10)$ を求め、その意味を簡潔に説明しなさい。

Exercise 147問題 147

[T] The concentration of antibiotic in the bloodstream

t

hours after being injected is given by the function

C (t) = \frac{2 t^{2} + t}{t^{3} + 50},

where

C

is measured in milligrams per liter of blood.

英語のヒント

[T] 抗生物質を注射してから

t

時間後の血中濃度を、関数

C (t) = \frac{2 t^{2} + t}{t^{3} + 50}

で表す。

C

の単位は血液1リットル当たりのミリグラムである。

Find the rate of change of $C (t) .$
$C (t)$ の変化率を求めなさい。
Determine the rate of change for $t = 8, 12, 24,$ and $36.$
$t = 8, 12, 24$ および $36.$ のときの変化率を求めなさい。
Briefly describe what seems to be occurring as the number of hours increases.
時間が経過すると何が起きていると考えられるか、簡潔に述べなさい。

Solution解き方

\frac{−2 t^{4} - 2 t^{3} + 200 t + 50}{{(t^{3} + 50)}^{2}}

−0.02395

mg/L-hr, −0.01344 mg/L-hr, −0.003566 mg/L-hr, −0.001579 mg/L-hr c. The rate at which the concentration of drug in the bloodstream decreases is slowing to 0 as time increases.

\frac{−2 t^{4} - 2 t^{3} + 200 t + 50}{{(t^{3} + 50)}^{2}}

　b. 順に

−0.02395

、−0.01344、−0.003566、−0.001579 mg/(L・時)。　c. 時間とともに、薬物の血中濃度が減少する速さは小さくなり、0に近づく。

Exercise 148問題 148

A book publisher has a cost function given by

C (x) = \frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2}},

where x is the number of copies of a book in thousands and C is the cost, per book, measured in dollars. Evaluate

C^{'} (2)

and explain its meaning.

ある出版社の費用関数を

C (x) = \frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2}}

で表す。xは本の部数を千部単位で表した値、Cは1冊当たりの費用をドルで表した値である。

C^{'} (2)

を求め、その意味を説明しなさい。

Exercise 149問題 149

[T] According to Newton’s law of universal gravitation, the force

F

between two bodies of constant mass

m_{1}

and

m_{2}

is given by the formula

F = \frac{G m_{1} m_{2}}{d^{2}},

where

G

is the gravitational constant and

d

is the distance between the bodies.

英語のヒント

[T] ニュートンの万有引力の法則によると、質量がそれぞれ一定の

m_{1}

、

m_{2}

である2つの物体の間に働く力

F

は、

F = \frac{G m_{1} m_{2}}{d^{2}}

で与えられる。

G

は万有引力定数、

d

は物体間の距離である。

Suppose that $G, m_{1}, and m_{2}$ are constants. Find the rate of change of force $F$ with respect to distance $d .$
$G, m_{1}, および m_{2}$ を定数とする。距離 $d$ に対する力 $F$ の変化率を求めなさい。
Find the rate of change of force $F$ with gravitational constant $G = 6.67 \times 10^{−11}$ ${Nm}^{2} / {kg}^{2},$ on two bodies 10 meters apart, each with a mass of 1000 kilograms.
万有引力定数を $G = 6.67 \times 10^{−11}$ ${Nm}^{2} / {kg}^{2}$ とする。ともに質量1000キログラムの物体が10メートル離れているとき、力 $F$ の距離に対する変化率を求めなさい。

Solution解き方

F' (d) = \frac{−2 G m_{1} m_{2}}{d^{3}}

−1.33 \times 10^{−7}

N/m

F' (d) = \frac{−2 G m_{1} m_{2}}{d^{3}}

−1.33 \times 10^{−7}

N/m

constant multiple rule

定数倍の微分法

the derivative of a constant c multiplied by a function f is the same as the constant multiplied by the derivative:

\frac{d}{d x} (c f (x)) = c f^{'} (x)

関数fを定数c倍した関数の導関数は、fの導関数をc倍したものに等しい。

\frac{d}{d x} (c f (x)) = c f^{'} (x)

constant rule

定数関数の微分法

the derivative of a constant function is zero:

\frac{d}{d x} (c) = 0,

where c is a constant

定数関数の導関数は0である。

\frac{d}{d x} (c) = 0

。ここでcは定数である。

difference rule

差の微分法

the derivative of the difference of a function f and a function g is the same as the difference of the derivative of f and the derivative of g:

\frac{d}{d x} (f (x) - g (x)) = f^{'} (x) - g^{'} (x)

関数fと関数gの差の導関数は、fの導関数とgの導関数の差に等しい。

\frac{d}{d x} (f (x) - g (x)) = f^{'} (x) - g^{'} (x)

power rule

べき関数の微分法

the derivative of a power function is a function in which the power on

x

becomes the coefficient of the term and the power on

x

in the derivative decreases by 1: If

n

is an integer, then

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}

べき関数を微分すると、

x

の指数が項の係数となり、

x

の指数は1だけ小さくなる。

n

が整数なら、

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}

。

product rule

積の微分法

the derivative of a product of two functions is the derivative of the first function times the second function plus the derivative of the second function times the first function:

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x)

2つの関数の積の導関数は、「第1の関数の導関数×第2の関数」と「第2の関数の導関数×第1の関数」の和である。

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x)

quotient rule

商の微分法

the derivative of the quotient of two functions is the derivative of the first function times the second function minus the derivative of the second function times the first function, all divided by the square of the second function:

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{f^{'} (x) g (x) - g^{'} (x) f (x)}{{(g (x))}^{2}}

2つの関数の商の導関数は、「第1の関数の導関数×第2の関数」から「第2の関数の導関数×第1の関数」を引き、全体を第2の関数の2乗で割ったものである。

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{f^{'} (x) g (x) - g^{'} (x) f (x)}{{(g (x))}^{2}}

sum rule

和の微分法

the derivative of the sum of a function f and a function g is the same as the sum of the derivative of f and the derivative of g:

\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = f^{'} (x) + g^{'} (x)

関数fと関数gの和の導関数は、fの導関数とgの導関数の和に等しい。

\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = f^{'} (x) + g^{'} (x)