第3章微分

Finding Tangent Lines Implicitly陰関数の微分で接線を求める

Now that we have seen the technique of implicit differentiation, we can apply it to the problem of finding equations of tangent lines to curves described by equations.

陰関数の微分法を学んだので、方程式で表された曲線の接線の方程式を求める問題に使ってみよう。

Example 3.71例題 3.71

Finding a Tangent Line to a Circle円の接線を求める

Find the equation of the line tangent to the curve

x^{2} + y^{2} = 25

at the point

(3, −4) .

曲線

x^{2} + y^{2} = 25

上の点

(3, −4)

における接線の方程式を求めなさい。

Solution解き方

Although we could find this equation without using implicit differentiation, using that method makes it much easier. In Example 3.68, we found

\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} .

陰関数の微分を使わなくても求められるが、使えばはるかに簡単である。例題3.68では、

\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}

を求めた。

The slope of the tangent line is found by substituting

(3, −4)

into this expression. Consequently, the slope of the tangent line is

\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{(3, −4)} \end{array} = - \frac{3}{−4} = \frac{3}{4} .

この式に

(3, −4)

を代入すると、接線の傾きが求まる。したがって、傾きは

\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{(3, −4)} \end{array} = - \frac{3}{−4} = \frac{3}{4}

である。

Using the point

(3, −4)

and the slope

\frac{3}{4}

in the point-slope equation of the line, we obtain the equation

y = \frac{3}{4} x - \frac{25}{4}

(Figure 3.31).

点

(3, −4)

と傾き

\frac{3}{4}

を、点と傾きによる直線の方程式に代入すると、

y = \frac{3}{4} x - \frac{25}{4}

を得る（図3.31）。

原点を中心とする半径5の円と、点(3,−4)における接線。 — Figure 3.31図 3.31
The line $y = \frac{3}{4} x - \frac{25}{4}$ is tangent to $x^{2} + y^{2} = 25$ at the point (3, −4).
直線 $y = \frac{3}{4} x - \frac{25}{4}$ は、点(3,−4)で $x^{2} + y^{2} = 25$ に接する。

Example 3.72例題 3.72

Finding the Equation of the Tangent Line to a Curve曲線の接線の方程式を求める

Find the equation of the line tangent to the graph of

y^{3} + x^{3} - 3 x y = 0

at the point

(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})

(Figure 3.32). This curve is known as the folium (or leaf) of Descartes.

英語のヒント

点

(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})

における

y^{3} + x^{3} - 3 x y = 0

のグラフの接線の方程式を求めなさい（図3.32）。この曲線は、デカルトの葉線（葉の形の曲線）と呼ばれる。

自分自身と交差して輪を作るデカルトの葉線。原点で交差している。点(3/2,3/2)における接線も示されている。 — Figure 3.32図 3.32
Finding the tangent line to the folium of Descartes at $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) .$
デカルトの葉線の点 $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ における接線を求める。

Solution解き方

Begin by finding

\frac{d y}{d x} .

まず

\frac{d y}{d x}

を求める。

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (y^{3} + x^{3} - 3 x y) & = & \frac{d}{d x} (0) \\ 3 y^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} - (3 y + \frac{d y}{d x} 3 x) & = & 0 \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{3 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 3 x} . \end{matrix}

Next, substitute

(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})

into

\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 3 x}

to find the slope of the tangent line:

次に、

\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 3 x}

に

(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})

を代入して、接線の傾きを求める。

\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})} \end{array} = −1 .

\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})} \end{array} = −1

Finally, substitute into the point-slope equation of the line to obtain

最後に、点と傾きによる直線の方程式に代入すると、

y = − x + 3 .

y = − x + 3

Example 3.73例題 3.73

Applying Implicit Differentiation陰関数の微分の応用

In a simple video game, a rocket travels in an elliptical orbit whose path is described by the equation

4 x^{2} + 25 y^{2} = 100 .

The rocket can fire missiles along lines tangent to its path. The object of the game is to destroy an incoming asteroid traveling along the positive x-axis toward

(0, 0) .

If the rocket fires a missile when it is located at

(3, \frac{8}{5}),

where will it intersect the x-axis?

英語のヒント

ある簡単なビデオゲームで、ロケットが

4 x^{2} + 25 y^{2} = 100

という楕円軌道を進んでいる。ロケットは、進路の接線に沿ってミサイルを発射できる。ゲームの目的は、x軸の正の部分を

(0, 0)

へ向かって飛んでくる小惑星を破壊することである。ロケットが

(3, \frac{8}{5})

にいるときにミサイルを発射すると、ミサイルの進路はどこでx軸と交わるか。

Solution解き方

To solve this problem, we must determine where the line tangent to the graph of

この問題では、次の楕円の接線がどこでx軸と交わるかを求める。

4 x^{2} + 25 y^{2} = 100

(3, \frac{8}{5})

intersects the x-axis. Begin by finding

\frac{d y}{d x}

implicitly.

楕円は

4 x^{2} + 25 y^{2} = 100

、接点は

(3, \frac{8}{5})

である。まず陰関数の微分で

\frac{d y}{d x}

を求める。

Differentiating, we have

微分すると、

8 x + 50 y \frac{d y}{d x} = 0 .

8 x + 50 y \frac{d y}{d x} = 0

Solving for

\frac{d y}{d x},

we have

\frac{d y}{d x}

について解くと、

\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{25 y} .

\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{25 y}

The slope of the tangent line is

\frac{d y}{d x} |_{(3, \frac{8}{5})} = - \frac{3}{10} .

The equation of the tangent line is

y = - \frac{3}{10} x + \frac{5}{2} .

To determine where the line intersects the x-axis, solve

0 = - \frac{3}{10} x + \frac{5}{2} .

The solution is

x = \frac{25}{3} .

The missile intersects the x-axis at the point

(\frac{25}{3}, 0) .

接線の傾きは

\frac{d y}{d x} |_{(3, \frac{8}{5})} = - \frac{3}{10}

であり、接線の方程式は

y = - \frac{3}{10} x + \frac{5}{2}

となる。x軸との交点を求めるため、

0 = - \frac{3}{10} x + \frac{5}{2}

を解く。解は

x = \frac{25}{3}

なので、ミサイルは点

(\frac{25}{3}, 0)

でx軸と交わる。

Key Concepts重要な概念

We use implicit differentiation to find derivatives of implicitly defined functions (functions defined by equations).
陰関数の微分法は、方程式によって陰に定められた関数の導関数を求める方法である。
By using implicit differentiation, we can find the equation of a tangent line to the graph of a curve.
陰関数の微分を使えば、曲線の接線の方程式を求められる。

Exercises 300–309練習問題 300–309

For the following exercises, use implicit differentiation to find

\frac{d y}{d x} .

次の問題では、陰関数の微分を使って

\frac{d y}{d x}

を求めなさい。

Exercise 300問題 300

x^{2} - y^{2} = 4

x^{2} - y^{2} = 4

Exercise 301問題 301

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

Solution解き方

\frac{d y}{d x} = \frac{−2 x}{y}

\frac{d y}{d x} = \frac{−2 x}{y}

Exercise 302問題 302

x^{2} y = y - 7

x^{2} y = y - 7

Exercise 303問題 303

3 x^{3} + 9 x y^{2} = 5 x^{3}

3 x^{3} + 9 x y^{2} = 5 x^{3}

Solution解き方

\frac{d y}{d x} = \frac{x}{3 y} - \frac{y}{2 x}

\frac{d y}{d x} = \frac{x}{3 y} - \frac{y}{2 x}

Exercise 304問題 304

x y - cos (x y) = 1

x y - cos (x y) = 1

Exercise 305問題 305

y \sqrt{x + 4} = x y + 8

y \sqrt{x + 4} = x y + 8

Solution解き方

\frac{d y}{d x} = \frac{y - \frac{y}{2 \sqrt{x + 4}}}{\sqrt{x + 4} - x}

\frac{d y}{d x} = \frac{y - \frac{y}{2 \sqrt{x + 4}}}{\sqrt{x + 4} - x}

Exercise 306問題 306

− x y - 2 = \frac{x}{7}

− x y - 2 = \frac{x}{7}

Exercise 307問題 307

y sin (x y) = y^{2} + 2

y sin (x y) = y^{2} + 2

Solution解き方

\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} cos (x y)}{2 y - sin (x y) - x y cos x y}

\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} cos (x y)}{2 y - sin (x y) - x y cos x y}

Exercise 308問題 308

{(x y)}^{2} + 3 x = y^{2}

{(x y)}^{2} + 3 x = y^{2}

Exercise 309問題 309

x^{3} y + x y^{3} = −8

x^{3} y + x y^{3} = −8

Solution解き方

\frac{d y}{d x} = \frac{−3 x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + 3 x y^{2}}

\frac{d y}{d x} = \frac{−3 x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + 3 x y^{2}}

Exercises 310–325練習問題 310–325

For the following exercises, find the equation of the tangent line to the graph of the given equation at the indicated point. Use a calculator or computer software to graph the function and the tangent line.

次の問題では、与えられた方程式のグラフ上の指定点で、接線の方程式を求めなさい。電卓またはコンピュータで、曲線と接線を描きなさい。

Exercise 310問題 310

[T]

x^{4} y - x y^{3} = −2, (−1, −1)

[T]

x^{4} y - x y^{3} = −2, (−1, −1)

Exercise 311問題 311

[T]

x^{2} y^{2} + 5 x y = 14, (2, 1)

[T]

x^{2} y^{2} + 5 x y = 14, (2, 1)

Solution解き方

4つの象限それぞれに曲線の枝がある。接線T(x)は傾き−1/2、y切片2の直線である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

y = \frac{−1}{2} x + 2

y = \frac{−1}{2} x + 2

Exercise 312問題 312

[T]

tan (x y) = y, (\frac{π}{4}, 1)

[T]

tan (x y) = y, (\frac{π}{4}, 1)

Exercise 313問題 313

[T]

x y^{2} + sin (π y) - 2 x^{2} = 10, (2, −3)

[T]

x y^{2} + sin (π y) - 2 x^{2} = 10, (2, −3)

Solution解き方

第1象限と第4象限に、x軸について対称な2本の曲線がある。第1象限の曲線は(0.3,5)から(1.5,3.5)を経て(5,4)へ進む。接線T(x)の傾きは1/(π+12)、y切片は−(3π+38)/(π+12)である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

y = \frac{1}{π + 12} x - \frac{3 π + 38}{π + 12}

y = \frac{1}{π + 12} x - \frac{3 π + 38}{π + 12}

Exercise 314問題 314

[T]

\frac{x}{y} + 5 x - 7 = - \frac{3}{4} y, (1, 2)

[T]

\frac{x}{y} + 5 x - 7 = - \frac{3}{4} y, (1, 2)

Exercise 315問題 315

[T]

x y + sin (x) = 1, (\frac{π}{2}, 0)

[T]

x y + sin (x) = 1, (\frac{π}{2}, 0)

Solution解き方

グラフは第3象限の(−5,0)付近から始まり、x=−4までは0付近にある。その後は(0,−5)付近まで減少し、x=0を漸近線とする。右側の枝は(0,5)付近から(1,0)まで減少し、その後少し増加してから再び下がり、(5,0)付近に至る。接線T(x)はy=0に一致する。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

y = 0

y = 0

Exercise 316問題 316

[T] The graph of a folium of Descartes with equation

2 x^{3} + 2 y^{3} - 9 x y = 0

is given in the following graph.

[T] 方程式

2 x^{3} + 2 y^{3} - 9 x y = 0

で表されるデカルトの葉線を、次のグラフに示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Find the equation of the tangent line at the point $(2, 1) .$ Graph the tangent line along with the folium.
点 $(2, 1)$ での接線の方程式を求め、葉線と同じ図に描きなさい。
Find the equation of the normal line to the tangent line in a. at the point $(2, 1) .$
点 $(2, 1)$ で、(a)の接線に垂直な法線の方程式を求めなさい。

Exercise 317問題 317

For the equation

x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = 0,

方程式

x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = 0

について、以下に答えなさい。

Find the equation of the normal to the tangent line at the point $(1, 1) .$
点 $(1, 1)$ における法線の方程式を求めなさい。
At what other point does the normal line in a. intersect the graph of the equation?
(a)の法線は、ほかにどの点でこの方程式のグラフと交わるか。

Solution解き方

y = − x + 2

(3, −1)

y = − x + 2

(3, −1)

Exercise 318問題 318

Find all points on the graph of

y^{3} - 27 y = x^{2} - 90

at which the tangent line is vertical.

y^{3} - 27 y = x^{2} - 90

のグラフ上で、接線が鉛直になる点をすべて求めなさい。

Exercise 319問題 319

For the equation

x^{2} + x y + y^{2} = 7,

方程式

x^{2} + x y + y^{2} = 7

について、以下に答えなさい。

Find the $x$ -intercept(s).
$x$ 軸との交点を求めなさい。
Find the slope of the tangent line(s) at the x-intercept(s).
x軸との各交点における接線の傾きを求めなさい。
What does the value(s) in b. indicate about the tangent line(s)?
(b)の値から、接線について何がわかるか。

Solution解き方

(\pm \sqrt{7}, 0)

−2

c. They are parallel since the slope is the same at both intercepts.

(\pm \sqrt{7}, 0)

−2

　c. 両方の交点で傾きが同じなので、接線は平行である。

Exercise 320問題 320

Find the equation of the tangent line to the graph of the equation

{sin}^{−1} x + {sin}^{−1} y = \frac{π}{6}

at the point

(0, \frac{1}{2}) .

方程式

{sin}^{−1} x + {sin}^{−1} y = \frac{π}{6}

のグラフ上の点

(0, \frac{1}{2})

における接線の方程式を求めなさい。

Exercise 321問題 321

Find the equation of the tangent line to the graph of the equation

{tan}^{−1} (x + y) = x^{2} + \frac{π}{4}

at the point

(0, 1) .

方程式

{tan}^{−1} (x + y) = x^{2} + \frac{π}{4}

のグラフ上の点

(0, 1)

における接線の方程式を求めなさい。

Solution解き方

y = − x + 1

y = − x + 1

Exercise 322問題 322

Find

y^{'}

and

y^{″}

for

x^{2} + 6 x y - 2 y^{2} = 3 .

x^{2} + 6 x y - 2 y^{2} = 3

について、

y^{'}

と

y^{″}

を求めなさい。

Exercise 323問題 323

[T] The number of cell phones produced when

x

dollars is spent on labor and

y

dollars is spent on capital invested by a manufacturer can be modeled by the equation

60 x^{3 / 4} y^{1 / 4} = 3240 .

[T] メーカーが労働に

x

ドル、資本に

y

ドルを支出するとき、携帯電話の生産量を一定の3240台とする条件は、

60 x^{3 / 4} y^{1 / 4} = 3240

でモデル化される。

Find $\frac{d y}{d x}$ and evaluate at the point $(81, 16) .$
$\frac{d y}{d x}$ を求め、点 $(81, 16)$ での値を計算しなさい。
Interpret the result of a.
(a)の結果を解釈しなさい。

Solution解き方

−0.5926

b. When $81 is spent on labor and $16 is spent on capital, the amount spent on capital is decreasing by $0.5926 per $1 spent on labor.

−0.5926

　b. 労働に81ドル、資本に16ドルを支出しているとき、生産量を一定に保ちながら労働への支出を1ドル増やすと、資本への支出を約0.5926ドル減らせる。

Exercise 324問題 324

[T] The number of cars produced when

x

dollars is spent on labor and

y

dollars is spent on capital invested by a manufacturer can be modeled by the equation

30 x^{1 / 3} y^{2 / 3} = 360 .

[T] メーカーが労働に

x

ドル、資本に

y

ドルを支出するとき、自動車の生産量を一定の360台とする条件は、

30 x^{1 / 3} y^{2 / 3} = 360

でモデル化される。

(Both

x

and

y

are measured in thousands of dollars.)

x

と

y

は、いずれも千ドル単位で測る。

Find $\frac{d y}{d x}$ and evaluate at the point $(27, 8) .$
$\frac{d y}{d x}$ を求め、点 $(27, 8)$ での値を計算しなさい。
Interpret the result of a.
(a)の結果を解釈しなさい。

Exercise 325問題 325

The volume of a right circular cone of radius

x

and height

y

is given by

V = \frac{1}{3} π x^{2} y .

Suppose that the volume of the cone is a constant. Find

\frac{d y}{d x}

when

x = 4

and

y = 16 .

半径

x

、高さ

y

の直円錐の体積は、

V = \frac{1}{3} π x^{2} y

である。体積を一定とするとき、

x = 4

、

y = 16

での

\frac{d y}{d x}

を求めなさい。

Solution解き方

−8

−8

Exercises 326–327練習問題 326–327

For the following exercises, consider a closed rectangular box with a square base with side

x

and height

y .

次の問題では、底面が一辺

x

の正方形、高さが

y

の、ふたのある直方体の箱を考える。

Exercise 326問題 326

Find an equation for the surface area of the rectangular box,

S (x, y) .

箱の表面積

S (x, y)

を表す式を求めなさい。

Exercise 327問題 327

If the surface area of the rectangular box is 78 square feet, find

\frac{d y}{d x}

when

x = 3

feet and

y = 5

feet.

箱の表面積が78平方フィートのとき、

x = 3

フィート、

y = 5

フィートにおける

\frac{d y}{d x}

を求めなさい。

Solution解き方

−2.67

−2.67

Exercises 328–330練習問題 328–330

For the following exercises, use implicit differentiation to determine

y^{'} .

Does the answer agree with the formulas we have previously determined?

次の問題では、陰関数の微分を使って

y^{'}

を求めなさい。答えは、これまでに求めた公式と一致するか。

Exercise 328問題 328

x = sin y

x = sin y

Exercise 329問題 329

x = cos y

x = cos y

Solution解き方

y^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

y^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Exercise 330問題 330

x = tan y

x = tan y

implicit differentiation

陰関数の微分

is a technique for computing

\frac{d y}{d x}

for a function defined by an equation, accomplished by differentiating both sides of the equation (remembering to treat the variable

y

as a function) and solving for

\frac{d y}{d x}

方程式で定められた関数について、

\frac{d y}{d x}

を求める方法。

y

を関数として扱いながら方程式の両辺を微分し、

\frac{d y}{d x}

について解く。