第3章微分

Composites of Three or More Functions3つ以上の関数の合成

We can now combine the chain rule with other rules for differentiating functions, but when we are differentiating the composition of three or more functions, we need to apply the chain rule more than once. If we look at this situation in general terms, we can generate a formula, but we do not need to remember it, as we can simply apply the chain rule multiple times.

連鎖律をほかの微分法と組み合わせられるようになった。しかし、3つ以上の関数の合成を微分するときには、連鎖律を複数回使う必要がある。一般的な形で考えれば公式を作れるが、それ自体を暗記する必要はない。単に連鎖律を繰り返し使えばよい。

In general terms, first we let

一般的には、まず次のようにおく。

k (x) = h (f (g (x))) .

k (x) = h (f (g (x)))

Then, applying the chain rule once we obtain

連鎖律を1回使うと、

k^{'} (x) = \frac{d}{d x} (h (f (g (x))) = h' (f (g (x))) \cdot \frac{d}{d x} f ((g (x))) .

k^{'} (x) = \frac{d}{d x} (h (f (g (x))) = h' (f (g (x))) \cdot \frac{d}{d x} f ((g (x)))

Applying the chain rule again, we obtain

もう一度連鎖律を使うと、

k^{'} (x) = h^{'} (f (g (x)) f^{'} (g (x)) g^{'} (x)) .

k^{'} (x) = h^{'} (f (g (x)) f^{'} (g (x)) g^{'} (x))

Notice that the derivative of the composition of three functions has three parts. (Similarly, the derivative of the composition of four functions has four parts, and so on.) Also, remember, we can always work from the outside in, taking one derivative at a time.

3つの関数の合成の導関数には、3つの因子があることに注目しよう。同様に、4つの関数なら4つの因子がある。常に外側から内側へ、1つずつ微分して進めばよい。

Example 3.55例題 3.55

Differentiating a Composite of Three Functions3つの関数の合成を微分する

Find the derivative of

k (x) = {cos}^{4} ({7 x}^{2} + 1) .

k (x) = {cos}^{4} ({7 x}^{2} + 1)

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

First, rewrite

k (x)

まず、

k (x)

を次のように書き直す。

k (x) = {(cos (7 x^{2} + 1))}^{4} .

k (x) = {(cos (7 x^{2} + 1))}^{4}

Then apply the power rule several times.

次に、連鎖律を使い、べき関数と内側の関数を順に微分する。

\begin{matrix} k^{'} (x) & = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (\frac{d}{d x} cos (7 x^{2} + 1)) & Apply the chain rule. \\ = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (− sin (7 x^{2} + 1)) (\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 1)) & Apply the chain rule. \\ = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (− sin (7 x^{2} + 1)) (14 x) & Apply the chain rule. \\ = −56 x sin (7 x^{2} + 1) {cos}^{3} (7 x^{2} + 1) & Simplify. \end{matrix}

\begin{matrix} k^{'} (x) & = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (\frac{d}{d x} cos (7 x^{2} + 1)) & 合成関数の微分法を用いる。 \\ = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (− sin (7 x^{2} + 1)) (\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 1)) & 合成関数の微分法を用いる。 \\ = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (− sin (7 x^{2} + 1)) (14 x) & 合成関数の微分法を用いる。 \\ = −56 x sin (7 x^{2} + 1) {cos}^{3} (7 x^{2} + 1) & 整理する。 \end{matrix}

Example 3.56例題 3.56

Using the Chain Rule in a Velocity Problem速度の問題に連鎖律を使う

A particle moves along a coordinate axis. Its position at time t is given by

s (t) = sin (2 t) + cos (3 t) .

What is the velocity of the particle at time

t = \frac{π}{6} ?

座標軸上を動く質点の、時刻tにおける位置を

s (t) = sin (2 t) + cos (3 t)

で表す。時刻

t = \frac{π}{6}

での速度を求めなさい。

Solution解き方

To find

v (t),

the velocity of the particle at time

t,

we must differentiate

s (t) .

Thus,

時刻

t

における質点の速度

v (t)

を求めるには、

s (t)

を微分する。したがって、

v (t) = s^{'} (t) = 2 cos (2 t) - 3 sin (3 t) .

v (t) = s^{'} (t) = 2 cos (2 t) - 3 sin (3 t)

Substituting

t = \frac{π}{6}

into

v (t),

we obtain

v (\frac{π}{6}) = −2 .

v (t)

に

t = \frac{π}{6}

を代入すると、

v (\frac{π}{6}) = −2

となる。

Proof証明

At this point, we present a very informal proof of the chain rule. For simplicity’s sake we ignore certain issues: For example, we assume that

g (x) \neq g (a)

for

x \neq a

in some open interval containing

a .

We begin by applying the limit definition of the derivative to the function

h (x)

to obtain

h^{'} (a) :

英語のヒント

ここで、連鎖律の証明の概略を示す。簡単にするため、いくつかの問題は扱わない。例えば、

a

を含むある開区間内で、

x \neq a

なら

g (x) \neq g (a)

であると仮定する。まず、関数

h (x)

に極限による導関数の定義を使い、

h^{'} (a) :

を求める。

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{x - a} .

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{x - a}

Rewriting, we obtain

書き直すと、

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} \cdot \frac{g (x) - g (a)}{x - a} .

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} \cdot \frac{g (x) - g (a)}{x - a}

Although it is clear that

次の等式が成り立つことは明らかだが、

lim_{x \to a} \frac{g (x) - g (a)}{x - a} = g^{'} (a),

lim_{x \to a} \frac{g (x) - g (a)}{x - a} = g^{'} (a)

it is not obvious that

次の等式が成り立つことは、すぐには明らかでない。

lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} = f^{'} (g (a)) .

lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} = f^{'} (g (a))

To see that this is true, first recall that since g is differentiable at

a, g

is also continuous at

a .

Thus,

これを確かめるため、まず

g

はaで微分可能なので、

a

で連続でもあることを思い出そう。したがって、

lim_{x \to a} g (x) = g (a) .

lim_{x \to a} g (x) = g (a)

Next, make the substitution

y = g (x)

and

b = g (a)

and use change of variables in the limit to obtain

次に

y = g (x)

、

b = g (a)

とおき、極限の変数を置き換えると、

lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} = lim_{y \to b} \frac{f (y) - f (b)}{y - b} = f^{'} (b) = f^{'} (g (a)) .

lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} = lim_{y \to b} \frac{f (y) - f (b)}{y - b} = f^{'} (b) = f^{'} (g (a))

Finally,

最後に、

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} \cdot \frac{g (x) - g (a)}{x - a} = f^{'} (g (a)) g^{'} (a) .

h^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} \cdot \frac{g (x) - g (a)}{x - a} = f^{'} (g (a)) g^{'} (a)

□

Example 3.57例題 3.57

Using the Chain Rule with Functional Values関数の値が与えられた場合に連鎖律を使う

Let

h (x) = f (g (x)) .

g (1) = 4, g^{'} (1) = 3,

and

f^{'} (4) = 7,

find

h^{'} (1) .

h (x) = f (g (x))

とする。

g (1) = 4, g^{'} (1) = 3

かつ

f^{'} (4) = 7

のとき、

h^{'} (1)

を求めなさい。

Solution解き方

Use the chain rule, then substitute.

連鎖律を使い、そのあと値を代入する。

\begin{matrix} h^{'} (1) & = f^{'} (g (1)) g^{'} (1) & Apply the chain rule. \\ = f^{'} (4) \cdot 3 & Substitute g (1) = 4 and g^{'} (1) = 3 . \\ = 7 \cdot 3 & Substitute f' (4) = 7. \\ = 21 & Simplify. \end{matrix}

\begin{matrix} h^{'} (1) & = f^{'} (g (1)) g^{'} (1) & 合成関数の微分法を用いる。 \\ = f^{'} (4) \cdot 3 & 代入する値： g (1) = 4 および g^{'} (1) = 3 . \\ = 7 \cdot 3 & 代入する値： f' (4) = 7. \\ = 21 & 整理する。 \end{matrix}

The Chain Rule Using Leibniz’s Notationライプニッツの記法による連鎖律

As with other derivatives that we have seen, we can express the chain rule using Leibniz’s notation. This notation for the chain rule is used heavily in physics applications.

これまでの導関数と同じように、連鎖律もライプニッツの記法で表せる。この形は、物理学への応用でよく使われる。

For h (x) = f (g (x)),

let

u = g (x)

and

y = h (x) = f (u) .

Thus,

h (x) = f (g (x))

について、

u = g (x)

、

y = h (x) = f (u)

とおく。すると、

h^{'} (x) = \frac{d y}{d x}, f^{'} (g (x)) = f^{'} (u) = \frac{d y}{d u} and g^{'} (x) = \frac{d u}{d x} .

h^{'} (x) = \frac{d y}{d x}, f^{'} (g (x)) = f^{'} (u) = \frac{d y}{d u} および g^{'} (x) = \frac{d u}{d x}

Consequently,

したがって、

\frac{d y}{d x} = h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} .

\frac{d y}{d x} = h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

Example 3.58例題 3.58

Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation, Example 1ライプニッツの記法で微分する：例1

Find the derivative of

y = {(\frac{x}{3 x + 2})}^{5} .

y = {(\frac{x}{3 x + 2})}^{5}

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

First, let

u = \frac{x}{3 x + 2} .

Thus,

y = u^{5} .

Next, find

\frac{d u}{d x}

and

\frac{d y}{d u} .

Using the quotient rule,

まず

u = \frac{x}{3 x + 2}

とおくと、

y = u^{5}

となる。次に

\frac{d u}{d x}

と

\frac{d y}{d u}

を求める。商の微分法より、

\frac{d u}{d x} = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}}

and

また、

\frac{d y}{d u} = 5 u^{4} .

\frac{d y}{d u} = 5 u^{4}

Finally, we put it all together.

最後に、これらを組み合わせる。

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} & Apply the chain rule. \\ = 5 u^{4} \cdot \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} & Substitute \frac{d y}{d u} = 5 u^{4} and \frac{d u}{d x} = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} . \\ = 5 {(\frac{x}{3 x + 2})}^{4} \cdot \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} & Substitute u = \frac{x}{3 x + 2} . \\ = \frac{10 x^{4}}{{(3 x + 2)}^{6}} & Simplify. \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} & 合成関数の微分法を用いる。 \\ = 5 u^{4} \cdot \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} & 代入する値： \frac{d y}{d u} = 5 u^{4} および \frac{d u}{d x} = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} . \\ = 5 {(\frac{x}{3 x + 2})}^{4} \cdot \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} & 代入する値： u = \frac{x}{3 x + 2} . \\ = \frac{10 x^{4}}{{(3 x + 2)}^{6}} & 整理する。 \end{matrix}

It is important to remember that, when using the Leibniz form of the chain rule, the final answer must be expressed entirely in terms of the original variable given in the problem.

英語のヒント

ライプニッツの形で連鎖律を使うときは、最終的な答えを、問題で最初に与えられた変数だけで表す必要があることを忘れないように。

Example 3.59例題 3.59

Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation, Example 2ライプニッツの記法で微分する：例2

Find the derivative of

y = tan (4 x^{2} - 3 x + 1) .

y = tan (4 x^{2} - 3 x + 1)

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

First, let

u = 4 x^{2} - 3 x + 1 .

Then

y = tan u .

Next, find

\frac{d u}{d x}

and

\frac{d y}{d u} :

まず

u = 4 x^{2} - 3 x + 1

とおくと、

y = tan u

となる。次に

\frac{d u}{d x}

と

\frac{d y}{d u} :

を求める。

\frac{d u}{d x} = 8 x - 3 and \frac{d y}{d u} = {sec}^{2} u .

\frac{d u}{d x} = 8 x - 3 および \frac{d y}{d u} = {sec}^{2} u

Finally, we put it all together.

最後に、これらを組み合わせる。

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} & Apply the chain rule. \\ = {sec}^{2} u \cdot (8 x - 3) & Use \frac{d u}{d x} = 8 x - 3 and \frac{d y}{d u} = {sec}^{2} u . \\ = {sec}^{2} (4 x^{2} - 3 x + 1) \cdot (8 x - 3) & Substitute u = 4 x^{2} - 3 x + 1 . \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} & 合成関数の微分法を用いる。 \\ = {sec}^{2} u \cdot (8 x - 3) & 用いる関係： \frac{d u}{d x} = 8 x - 3 および \frac{d y}{d u} = {sec}^{2} u . \\ = {sec}^{2} (4 x^{2} - 3 x + 1) \cdot (8 x - 3) & 代入する値： u = 4 x^{2} - 3 x + 1 . \end{matrix}

Key Concepts重要な概念

The chain rule allows us to differentiate compositions of two or more functions. It states that for $h (x) = f (g (x)),$
連鎖律を使えば、2つ以上の関数の合成を微分できる。 $h (x) = f (g (x))$ に対して、

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) .$
$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$

In Leibniz’s notation this rule takes the form
ライプニッツの記法では、この法則は次の形になる。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} .$
$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
We can use the chain rule with other rules that we have learned, and we can derive formulas for some of them.
連鎖律は既習の微分法と組み合わせられ、それらの組み合わせの一部は公式として導ける。
The chain rule combines with the power rule to form a new rule:
連鎖律とべき関数の微分法を組み合わせると、次の新しい法則が得られる。

$If h (x) = {(g (x))}^{n}, then h^{'} (x) = n {(g (x))}^{n - 1} g^{'} (x) .$
$条件： h (x) = {(g (x))}^{n}, このとき h^{'} (x) = n {(g (x))}^{n - 1} g^{'} (x)$
When applied to the composition of three functions, the chain rule can be expressed as follows: If $h (x) = f (g (k (x))),$ then $h^{'} (x) = f^{'} (g (k (x))) g^{'} (k (x)) k^{'} (x) .$
3つの関数の合成に対する連鎖律は、次のように表せる。 $h (x) = f (g (k (x)))$ ならば $h^{'} (x) = f^{'} (g (k (x))) g^{'} (k (x)) k^{'} (x)$ 。