第3章微分

The Derivative of a Function at a Point一点における関数の微分係数

The type of limit we compute in order to find the slope of the line tangent to a function at a point occurs in many applications across many disciplines. These applications include velocity and acceleration in physics, marginal profit functions in business, and growth rates in biology. This limit occurs so frequently that we give this value a special name: the derivative. The process of finding a derivative is called differentiation.

英語のヒント

ある点における関数の接線の傾きを求めるために計算した極限は、多くの分野のさまざまな応用で現れる。たとえば、物理学の速度と加速度、ビジネスの限界利益関数、生物学の成長率などである。この極限は非常によく現れるので、その値に「微分係数」という特別な名前を付ける。微分係数や導関数を求める操作を「微分」という。

Example 3.4例題 3.4

Estimating a Derivative微分係数を推定する

For

f (x) = x^{2},

use a table to estimate

f^{'} (3)

using Equation 3.5.

f (x) = x^{2}

について、表を作り、式3.5を使って

f^{'} (3)

を推定しなさい。

Solution解き方

Create a table using values of

x

just below

3

and just above

3 .

x

として、

3

をわずかに下回る値と、

3 .

をわずかに上回る値を使って表を作る。

$x$	$\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$
$2.9$	$5.9$
$2.99$	$5.99$
$2.999$	$5.999$
$3.001$	$6.001$
$3.01$	$6.01$
$3.1$	$6.1$

After examining the table, we see that a good estimate is

f^{'} (3) = 6.

表を調べると、

f^{'} (3) = 6.

がよい推定値だと分かる。

Example 3.5例題 3.5

Finding a Derivative微分係数を求める

For

f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1,

find

f^{'} (2)

by using Equation 3.5.

f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1

について、式3.5を使って

f^{'} (2)

を求めなさい。

Solution解き方

Substitute the given function and value directly into the equation.

与えられた関数と値を、そのまま式に代入する。

\begin{matrix} f^{'} (2) & = lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} & Apply the definition. \\ = lim_{x \to 2} \frac{(3 x^{2} - 4 x + 1) - 5}{x - 2} & Substitute f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 and f (2) = 5 . \\ = lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (3 x + 2)}{x - 2} & Simplify and factor the numerator. \\ = lim_{x \to 2} (3 x + 2) & Cancel the common factor. \\ = 8 & Evaluate the limit. \end{matrix}

\begin{matrix} f^{'} (2) & = lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} & 定義を用いる。 \\ = lim_{x \to 2} \frac{(3 x^{2} - 4 x + 1) - 5}{x - 2} & 代入する値： f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 および f (2) = 5 . \\ = lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (3 x + 2)}{x - 2} & 分子を整理して因数分解する。 \\ = lim_{x \to 2} (3 x + 2) & 共通因子を約分する。 \\ = 8 & 極限を求める。 \end{matrix}

Example 3.6例題 3.6

Revisiting the Derivative微分係数を別の定義から求める

For

f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1,

find

f^{'} (2)

by using Equation 3.6.

f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1

について、式3.6を使って

f^{'} (2)

を求めなさい。

Solution解き方

Using this equation, we can substitute two values of the function into the equation, and we should get the same value as in Example 3.5.

この式には関数の二つの値を代入でき、例題3.5と同じ値が得られるはずである。

\begin{matrix} f^{'} (2) & = lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} & Apply the definition. \\ = lim_{h \to 0} \frac{(3 {(2 + h)}^{2} - 4 (2 + h) + 1) - 5}{h} & \begin{matrix} Substitute f (2) = 5 and \\ f (2 + h) = 3 {(2 + h)}^{2} - 4 (2 + h) + 1 . \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 8 h}{h} & Simplify the numerator. \\ = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h + 8)}{h} & Factor the numerator. \\ = lim_{h \to 0} (3 h + 8) & Cancel the common factor. \\ = 8 & Evaluate the limit. \end{matrix}

\begin{matrix} f^{'} (2) & = lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} & 定義を用いる。 \\ = lim_{h \to 0} \frac{(3 {(2 + h)}^{2} - 4 (2 + h) + 1) - 5}{h} & \begin{matrix} 代入する値： f (2) = 5 および \\ f (2 + h) = 3 {(2 + h)}^{2} - 4 (2 + h) + 1 . \end{matrix} \\ = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 8 h}{h} & 分子を整理する。 \\ = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h + 8)}{h} & 分子を因数分解する。 \\ = lim_{h \to 0} (3 h + 8) & 共通因子を約分する。 \\ = 8 & 極限を求める。 \end{matrix}

The results are the same whether we use Equation 3.5 or Equation 3.6.

式3.5と式3.6のどちらを使っても、結果は同じになる。

Velocities and Rates of Change速度と変化率

Now that we can evaluate a derivative, we can use it in velocity applications. Recall that if

s (t)

is the position of an object moving along a coordinate axis, the average velocity of the object over a time interval

[a, t]

t > a

[t, a]

t < a

is given by the difference quotient

微分係数を求められるようになったので、速度の問題に応用しよう。

s (t)

が座標軸に沿って動く物体の位置を表すとき、時間区間

[a, t]

（

t > a

の場合）、または

[t, a]

（

t < a

の場合）における物体の平均速度は、次の差商で与えられる。

v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .

v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a}

(3.7)

As the values of

t

approach

a,

the values of

v_{ave}

approach the value we call the instantaneous velocity at

a .

That is, instantaneous velocity at

a,

denoted

v (a),

is given by

t

の値が

a

に近づくと、

v_{ave}

の値は、

a

における瞬間速度と呼ばれる値に近づく。すなわち、

a

における瞬間速度を

v (a)

と書くと、次のように与えられる。

v (a) = s^{'} (a) = lim_{t \to a} \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .

v (a) = s^{'} (a) = lim_{t \to a} \frac{s (t) - s (a)}{t - a}

(3.8)

To better understand the relationship between average velocity and instantaneous velocity, see Figure 3.8. In this figure, the slope of the tangent line (shown in red) is the instantaneous velocity of the object at time

t = a

whose position at time

t

is given by the function

s (t) .

The slope of the secant line (shown in green) is the average velocity of the object over the time interval

[a, t] .

平均速度と瞬間速度の関係をよりよく理解するため、図3.8を見よう。時刻

t

における位置が関数

s (t)

で与えられる物体について、この図の赤い接線の傾きは、時刻

t = a

の瞬間速度を表す。緑の割線の傾きは、時間区間

[a, t]

における物体の平均速度である。

直交座標平面のt軸に0、a、t₁が示されている。第1象限に関数y=s(t)のグラフと、接線・割線と記された2本の直線がある。接線は点(a,s(a))で曲線に接し、割線は(a,s(a))と(t₁,s(t₁))の2点を通る。 — Figure 3.8図 3.8
The slope of the secant line is the average velocity over the interval $[a, t] .$ The slope of the tangent line is the instantaneous velocity.
割線の傾きは、区間 $[a, t]$ における平均速度である。接線の傾きは瞬間速度である。

We can use Equation 3.5 to calculate the instantaneous velocity, or we can estimate the velocity of a moving object by using a table of values. We can then confirm the estimate by using Equation 3.7.

瞬間速度は、式3.5を使って計算できる。また、値の表を使って運動する物体の速度を推定してから、式3.7でその推定を確かめてもよい。

Example 3.7例題 3.7

Estimating Velocity速度を推定する

A lead weight on a spring is oscillating up and down. Its position at time

t

with respect to a fixed horizontal line is given by

s (t) = sin t

(Figure 3.9). Use a table of values to estimate

v (0) .

Check the estimate by using Equation 3.5.

英語のヒント

ばねにつけた鉛のおもりが上下に振動している。固定された水平線を基準とする、時刻

t

のおもりの位置を

s (t) = sin t

とする（図3.9）。値の表を作って

v (0)

を推定しなさい。式3.5を使って、その推定を確かめなさい。

下向きにつり下げられたばねの先に、おもりがついている。おもりの少し上には、0と記された水平の破線がある。 — Figure 3.9図 3.9
A lead weight suspended from a spring in vertical oscillatory motion.
ばねにつり下げた鉛のおもりが、鉛直方向に振動している。

Solution解き方

We can estimate the instantaneous velocity at

t = 0

by computing a table of average velocities using values of

t

approaching

0,

as shown in Table 3.1.

表3.1のように、

t

を

0

に近づける値を使って平均速度の表を作れば、

t = 0

における瞬間速度を推定できる。

Average velocities using values of t approaching 0tを0に近づけたときの平均速度

Table 3.1表 3.1
$t$	$\frac{sin t - sin 0}{t - 0} = \frac{sin t}{t}$
$−0.1$	$0.998334166$
$−0.01$	$0.9999833333$
$−0.001$	$0.999999833$
$0.001$	$0.999999833$
$0.01$	$0.9999833333$
$0.1$	$0.998334166$

From the table we see that the average velocity over the time interval

[−0.1, 0]

0.998334166,

the average velocity over the time interval

[−0.01, 0]

0.9999833333,

and so forth. Using this table of values, it appears that a good estimate is

v (0) = 1 .

英語のヒント

表から、時間区間

[−0.1, 0]

の平均速度は

0.998334166

、時間区間

[−0.01, 0]

の平均速度は

0.9999833333

、というように読み取れる。この表の値を見ると、

v (0) = 1

がよい推定値だと考えられる。

By using Equation 3.5, we can see that

式3.5を使うと、次のことが分かる。

v (0) = s^{'} (0) = lim_{t \to 0} \frac{sin t - sin 0}{t - 0} = lim_{t \to 0} \frac{sin t}{t} = 1 .

v (0) = s^{'} (0) = lim_{t \to 0} \frac{sin t - sin 0}{t - 0} = lim_{t \to 0} \frac{sin t}{t} = 1

Thus, in fact,

v (0) = 1 .

したがって、実際に

v (0) = 1

である。

As we have seen throughout this section, the slope of a tangent line to a function and instantaneous velocity are related concepts. Each is calculated by computing a derivative and each measures the instantaneous rate of change of a function, or the rate of change of a function at any point along the function.

この節を通して見たように、関数の接線の傾きと瞬間速度は、互いに関連する概念である。どちらも微分係数を計算して求められ、関数の瞬間の変化率、すなわち関数上のある点における変化率を測るものである。

Example 3.8例題 3.8

Chapter Opener: Estimating Rate of Change of Velocity章の導入問題：速度の変化率を推定する

Image omitted because its reuse rights could not be verified.権利の確認ができないため画像を割愛。

Figure 3.10図 3.10

(credit: modification of work by Codex41, Flickr)

（出典：Codex41／Flickrの作品を改変）

Reaching a top speed of

270.49

mph, the Hennessey Venom GT is one of the fastest cars in the world. In tests it went from

0

60

mph in

3.05

seconds, from

0 to 100

mph in

5.88

seconds, from

0 to 200

mph in

14.51

seconds, and from

0 to 229.9

mph in

19.96

seconds. Use this data to draw a conclusion about the rate of change of velocity (that is, its acceleration) as it approaches

229.9

mph. Does the rate at which the car is accelerating appear to be increasing, decreasing, or constant?

最高時速

270.49

マイルに達するヘネシー・ヴェノムGTは、世界最速級の自動車である。試験走行では、時速

0

マイルから

60

マイルまで

3.05

秒、時速

0 〜 100

マイルまで

5.88

秒、時速

0 〜 200

マイルまで

14.51

秒、時速

0 〜 229.9

マイルまで

19.96

秒で加速した。このデータを使い、時速

229.9

マイルに近づくにつれて速度の変化率、すなわち加速度がどうなるか考えなさい。車が加速する割合は、増加・減少・一定のどれに見えるだろうか。

Solution解き方

First observe that

60

mph =

88

ft/s,

100

mph

\approx 146.67

ft/s,

200

mph

\approx 293.33

ft/s, and

229.9

mph

\approx 337.19

ft/s. We can summarize the information in a table.

まず、

60

mph =

88

ft/s、

100

mph

\approx 146.67

ft/s、

200

mph

\approx 293.33

ft/s、

229.9

mph

\approx 337.19

ft/sであることを確認する。この情報を表にまとめよう。

$v (t)$ at different values of ttの各値に対する $v (t)$

Table 3.2表 3.2
$t$	$v (t)$
$0$	$0$
$3.05$	$88$
$5.88$	$146.67$
$14.51$	$293.33$
$19.96$	$337.19$

Now compute the average acceleration of the car in feet per second per second on intervals of the form

[t, 19.96]

t

approaches

19.96,

as shown in the following table.

次の表のように、

t

を

19.96

に近づけながら、

[t, 19.96]

という形の時間区間で車の平均加速度を計算する。単位は、1秒当たりの速度変化をフィート毎秒で表すft/s²とする。

Average acceleration平均加速度

Table 3.3表 3.3
$t$	$\frac{v (t) - v (19.96)}{t - 19.96} = \frac{v (t) - 337.19}{t - 19.96}$
$0.0$	$16.89$
$3.05$	$14.74$
$5.88$	$13.53$
$14.51$	$8.05$

The rate at which the car is accelerating is decreasing as its velocity approaches

229.9

mph

(337.19

ft/s).

速度が時速

229.9

マイル、すなわち

(337.19

ft/s)に近づくにつれて、車の加速度は小さくなっている。

Example 3.9例題 3.9

Rate of Change of Temperature温度の変化率

A homeowner sets the thermostat so that the temperature in the house begins to drop from

70 ° F

9

p.m., reaches a low of

60 °

during the night, and rises back to

70 °

7

a.m. the next morning. Suppose that the temperature in the house is given by

T (t) = 0.4 t^{2} - 4 t + 70

for

0 \leq t \leq 10,

where

t

is the number of hours past

9

p.m. Find the instantaneous rate of change of the temperature at midnight.

英語のヒント

ある家の住人は、午後

9

時に室温が

70 ° F

から下がり始め、夜の間に最低

60 °

となり、翌朝の午前

7

時までに

70 °

へ戻るよう、温度調節器を設定した。室温は

0 \leq t \leq 10

の範囲で

T (t) = 0.4 t^{2} - 4 t + 70

により与えられるとする。ここで

t

は午後

9

時からの経過時間を時間単位で表す。真夜中における温度の瞬間変化率を求めなさい。

Solution解き方

Since midnight is

3

hours past

9

p.m., we want to compute

T^{'} (3) .

Refer to Equation 3.5.

真夜中は午後

9

時から

3

時間後なので、求めたいのは

T^{'} (3)

である。式3.5を参照する。

\begin{matrix} T^{'} (3) & = lim_{t \to 3} \frac{T (t) - T (3)}{t - 3} & Apply the definition. \\ = lim_{t \to 3} \frac{0.4 t^{2} - 4 t + 70 - 61.6}{t - 3} & \begin{matrix} Substitute T (t) = 0.4 t^{2} - 4 t + 70 and \\ T (3) = 61.6 . \end{matrix} \\ = lim_{t \to 3} \frac{0.4 t^{2} - 4 t + 8.4}{t - 3} & Simplify. \\ = lim_{t \to 3} \frac{0.4 (t - 3) (t - 7)}{t - 3} & = lim_{t \to 3} \frac{0.4 (t - 3) (t - 7)}{t - 3} \\ = lim_{t \to 3} 0.4 (t - 7) & Cancel. \\ = −1.6 & Evaluate the limit. \end{matrix}

\begin{matrix} T^{'} (3) & = lim_{t \to 3} \frac{T (t) - T (3)}{t - 3} & 定義を用いる。 \\ = lim_{t \to 3} \frac{0.4 t^{2} - 4 t + 70 - 61.6}{t - 3} & \begin{matrix} 代入する値： T (t) = 0.4 t^{2} - 4 t + 70 および \\ T (3) = 61.6 . \end{matrix} \\ = lim_{t \to 3} \frac{0.4 t^{2} - 4 t + 8.4}{t - 3} & 整理する。 \\ = lim_{t \to 3} \frac{0.4 (t - 3) (t - 7)}{t - 3} & = lim_{t \to 3} \frac{0.4 (t - 3) (t - 7)}{t - 3} \\ = lim_{t \to 3} 0.4 (t - 7) & 約分する。 \\ = −1.6 & 極限を求める。 \end{matrix}

The instantaneous rate of change of the temperature at midnight is

−1.6 ° F

per hour.

真夜中における温度の瞬間変化率は、1時間当たり

−1.6 ° F

である。

Example 3.10例題 3.10

Rate of Change of Profit利益の変化率

A toy company can sell

x

electronic gaming systems at a price of

p = −0.01 x + 400

dollars per gaming system. The cost of manufacturing

x

systems is given by

C (x) = 100 x + 10,000

dollars. Find the rate of change of profit when

10,000

games are produced. Should the toy company increase or decrease production?

英語のヒント

ある玩具会社は、電子ゲーム機1台の価格を

p = −0.01 x + 400

ドルにすると、

x

台販売できる。

x

台の製造費は

C (x) = 100 x + 10,000

ドルである。

10,000

台を生産するときの利益の変化率を求めなさい。この会社は生産を増やすべきか、減らすべきか。

Solution解き方

The profit

P (x)

earned by producing

x

gaming systems is

R (x) - C (x),

where

R (x)

is the revenue obtained from the sale of

x

games. Since the company can sell

x

games at

p = −0.01 x + 400

per game,

ゲーム機

x

台を生産して得られる利益

P (x)

は

R (x) - C (x)

である。ここで

R (x)

は、ゲーム機

x

台の販売によって得られる売上高である。1台当たり

p = −0.01 x + 400

ドルの価格で

x

台販売できるので、

R (x) = x p = x (−0.01 x + 400) = −0.01 x^{2} + 400 x .

R (x) = x p = x (−0.01 x + 400) = −0.01 x^{2} + 400 x

Consequently,

したがって、

P (x) = −0.01 x^{2} + 300 x - 10,000 .

P (x) = −0.01 x^{2} + 300 x - 10,000

Therefore, evaluating the rate of change of profit gives

よって、利益の変化率を計算すると、

\begin{matrix} P^{'} (10000) & = lim_{x \to 10000} \frac{P (x) - P (10000)}{x - 10000} \\ = lim_{x \to 10000} \frac{−0.01 x^{2} + 300 x - 10000 - 1990000}{x - 10000} \\ = lim_{x \to 10000} \frac{−0.01 x^{2} + 300 x - 2000000}{x - 10000} \\ = 100 . \end{matrix}

Since the rate of change of profit

P^{'} (10,000) > 0

and

P (10,000) > 0,

the company should increase production.

利益の変化率が

P^{'} (10,000) > 0

で、利益自体も

P (10,000) > 0

なので、この会社は生産を増やすべきである。

Checkpoint 3.5確認問題 3.5

A coffee shop determines that the daily profit on scones obtained by charging

s

dollars per scone is

P (s) = −20 s^{2} + 150 s - 10 .

The coffee shop currently charges

$ 3.25

per scone. Find

P^{'} (3.25),

the rate of change of profit when the price is

$ 3.25

and decide whether or not the coffee shop should consider raising or lowering its prices on scones.

英語のヒント

ある喫茶店は、スコーン1個の価格を

s

ドルにしたときの1日当たりの利益を

P (s) = −20 s^{2} + 150 s - 10

と求めた。現在、スコーン1個を

$ 3.25

で販売している。価格が

$ 3.25

のときの利益の変化率

P^{'} (3.25)

を求め、スコーンの価格を上げることと下げることのどちらを検討すべきか判断しなさい。

Solution解き方

P^{'} (3.25) = 20 > 0;

raise prices

P^{'} (3.25) = 20 > 0

なので、価格を上げる。

第3章微分

The Derivative of a Function at a Point一点における関数の微分係数

Estimating a Derivative微分係数を推定する

Finding a Derivative微分係数を求める

Revisiting the Derivative微分係数を別の定義から求める

Velocities and Rates of Change速度と変化率

Estimating Velocity速度を推定する

Average velocities using values of t approaching 0tを0に近づけたときの平均速度

Chapter Opener: Estimating Rate of Change of Velocity章の導入問題：速度の変化率を推定する

v(t) at different values of ttの各値に対するv(t)

Average acceleration平均加速度

Rate of Change of Temperature温度の変化率

Rate of Change of Profit利益の変化率

$v (t)$ at different values of ttの各値に対する $v (t)$