第3章微分

Derivatives of Inverse Trigonometric Functions逆三角関数の導関数

We now turn our attention to finding derivatives of inverse trigonometric functions. These derivatives will prove invaluable in the study of integration later in this text. The derivatives of inverse trigonometric functions are quite surprising in that their derivatives are actually algebraic functions. Previously, derivatives of algebraic functions have proven to be algebraic functions and derivatives of trigonometric functions have been shown to be trigonometric functions. Here, for the first time, we see that the derivative of a function need not be of the same type as the original function.

英語のヒント

次は逆三角関数の導関数を求めよう。これらは、この先の積分の学習で非常に役立つ。逆三角関数を微分すると、実は代数関数になる。これは少し意外な結果である。これまでは、代数関数の導関数は代数関数であり、三角関数の導関数は三角関数だった。ここで初めて、導関数が元の関数と同じ種類とは限らないことがわかる。

Example 3.63例題 3.63

Derivative of the Inverse Sine Function逆正弦関数の導関数

Use the inverse function theorem to find the derivative of

g (x) = {sin}^{−1} x .

逆関数定理を使って、

g (x) = {sin}^{−1} x

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

Since for

x

in the interval

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], f (x) = sin x

is the inverse of

g (x) = {sin}^{−1} x,

begin by finding

f^{'} (x) .

Since

x

を区間

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

に制限したとき、f(x)=sin xは

g (x) = {sin}^{−1} x

の逆関数である。そこで、まず

f^{'} (x)

を求める。

f^{'} (x) = cos x and f^{'} (g (x)) = cos ({sin}^{−1} x) = \sqrt{1 - x^{2}},

f^{'} (x) = cos x および f^{'} (g (x)) = cos ({sin}^{−1} x) = \sqrt{1 - x^{2}}

we see that

よって、

g^{'} (x) = \frac{d}{d x} ({sin}^{−1} x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} .

g^{'} (x) = \frac{d}{d x} ({sin}^{−1} x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Analysis考察

To see that

cos ({sin}^{−1} x) = \sqrt{1 - x^{2}},

consider the following argument. Set

{sin}^{−1} x = θ .

In this case,

sin θ = x

where

- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2} .

We begin by considering the case where

0 < θ < \frac{π}{2} .

Since

θ

is an acute angle, we may construct a right triangle having acute angle

θ,

a hypotenuse of length

1

and the side opposite angle

θ

having length

x .

From the Pythagorean theorem, the side adjacent to angle

θ

has length

\sqrt{1 - x^{2}} .

This triangle is shown in Figure 3.29. Using the triangle, we see that

cos ({sin}^{−1} x) = cos θ = \sqrt{1 - x^{2}} .

英語のヒント

cos ({sin}^{−1} x) = \sqrt{1 - x^{2}}

となる理由を考えよう。

{sin}^{−1} x = θ

とおくと、

- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}

の範囲で

sin θ = x

である。まず

0 < θ < \frac{π}{2}

の場合を考える。

θ

は鋭角なので、角

θ

、斜辺の長さ

1

、角

θ

の向かい側の辺の長さ

x

を持つ直角三角形を作れる。ピタゴラスの定理より、角

θ

に隣り合う辺の長さは

\sqrt{1 - x^{2}}

である。この三角形を図3.29に示す。これを使うと

cos ({sin}^{−1} x) = cos θ = \sqrt{1 - x^{2}}

とわかる。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 3.29図 3.29

Using a right triangle having acute angle

θ,

a hypotenuse of length

1,

and the side opposite angle

θ

having length

x,

we can see that

cos ({sin}^{−1} x) = cos θ = \sqrt{1 - x^{2}} .

鋭角

θ

、斜辺の長さ

1

、角

θ

の向かい側の辺の長さ

x

を持つ直角三角形から、

cos ({sin}^{−1} x) = cos θ = \sqrt{1 - x^{2}}

とわかる。

In the case where

- \frac{π}{2} < θ < 0,

we make the observation that

0 < − θ < \frac{π}{2}

and hence

- \frac{π}{2} < θ < 0

の場合は、

0 < − θ < \frac{π}{2}

に注目する。したがって、

cos ({sin}^{−1} x) = cos θ = cos (− θ) = \sqrt{1 - x^{2}} .

cos ({sin}^{−1} x) = cos θ = cos (− θ) = \sqrt{1 - x^{2}}

Now if

θ = \frac{π}{2}

θ = - \frac{π}{2}, x = 1

x = −1,

and since in either case

cos θ = 0

and

\sqrt{1 - x^{2}} = 0,

we have

端点では、

θ = \frac{π}{2}

のときx=1、

θ = - \frac{π}{2}

のとき

x = −1

である。どちらの場合も

cos θ = 0

かつ

\sqrt{1 - x^{2}} = 0

なので、

cos ({sin}^{−1} x) = cos θ = \sqrt{1 - x^{2}} .

cos ({sin}^{−1} x) = cos θ = \sqrt{1 - x^{2}}

Finally, if

θ = 0

x = 0

and

cos θ = \sqrt{1 - 0} = 1

最後に、

θ = 0

ならば

x = 0

であり、

cos θ = \sqrt{1 - 0} = 1

である。

Consequently, in all cases,

cos ({sin}^{−1} x) = \sqrt{1 - x^{2}} .

したがって、すべての場合について

cos ({sin}^{−1} x) = \sqrt{1 - x^{2}}

である。

Example 3.64例題 3.64

Applying the Chain Rule to the Inverse Sine Function逆正弦関数に連鎖律を使う

Apply the chain rule to the formula derived in Example 3.61 to find the derivative of

h (x) = {sin}^{−1} (g (x))

and use this result to find the derivative of

h (x) = {sin}^{−1} (2 x^{3}) .

例題3.61で導いた公式に連鎖律を適用し、

h (x) = {sin}^{−1} (g (x))

の導関数を求めなさい。その結果を使って、

h (x) = {sin}^{−1} (2 x^{3})

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

Applying the chain rule to

h (x) = {sin}^{−1} (g (x)),

we have

h (x) = {sin}^{−1} (g (x))

に連鎖律を使うと、

h^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - {(g (x))}^{2}}} g^{'} (x) .

h^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - {(g (x))}^{2}}} g^{'} (x)

Now let

g (x) = 2 x^{3},

g^{'} (x) = 6 x^{2} .

Substituting into the previous result, we obtain

ここで

g (x) = 2 x^{3}

とおくと、

g^{'} (x) = 6 x^{2}

となる。先ほどの結果に代入すると、

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \cdot 6 x^{2} \\ = \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} . \end{matrix}

The derivatives of the remaining inverse trigonometric functions may also be found by using the inverse function theorem. These formulas are provided in the following theorem.

残る逆三角関数の導関数も、逆関数定理で求められる。次の定理に公式をまとめる。

Example 3.65例題 3.65

Applying Differentiation Formulas to an Inverse Tangent Function逆正接関数に微分公式を使う

Find the derivative of

f (x) = {tan}^{−1} (x^{2}) .

f (x) = {tan}^{−1} (x^{2})

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

Let

g (x) = x^{2},

g^{'} (x) = 2 x .

Substituting into Equation 3.24, we obtain

g (x) = x^{2}

とおくと、

g^{'} (x) = 2 x

である。式3.24に代入すると、

f^{'} (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot (2 x) .

f^{'} (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot (2 x)

Simplifying, we have

整理すると、

f^{'} (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}} .

f^{'} (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}

Example 3.66例題 3.66

Applying Differentiation Formulas to an Inverse Sine Function逆正弦関数に微分公式を使う

Find the derivative of

h (x) = x^{2} {sin}^{−1} x .

h (x) = x^{2} {sin}^{−1} x

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

By applying the product rule, we have

積の微分法を使うと、

h^{'} (x) = 2 x {sin}^{−1} x + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot x^{2} .

h^{'} (x) = 2 x {sin}^{−1} x + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot x^{2}

Example 3.67例題 3.67

Applying the Inverse Tangent Function逆正接関数の応用

The position of a particle at time

t

is given by

s (t) = {tan}^{−1} (\frac{1}{t})

for

t \geq \frac{1}{2} .

Find the velocity of the particle at time

t = 1 .

質点の時刻

t

における位置を、

t \geq \frac{1}{2}

の範囲で

s (t) = {tan}^{−1} (\frac{1}{t})

と表す。時刻

t = 1

での質点の速度を求めなさい。

Solution解き方

Begin by differentiating

s (t)

in order to find

v (t) .

Thus,

v (t)

を求めるため、まず

s (t)

を微分する。

v (t) = s^{'} (t) = \frac{1}{1 + {(\frac{1}{t})}^{2}} \cdot \frac{−1}{t^{2}} .

v (t) = s^{'} (t) = \frac{1}{1 + {(\frac{1}{t})}^{2}} \cdot \frac{−1}{t^{2}}

Simplifying, we have

整理すると、

v (t) = - \frac{1}{t^{2} + 1} .

v (t) = - \frac{1}{t^{2} + 1}

Thus,

v (1) = - \frac{1}{2} .

したがって、

v (1) = - \frac{1}{2}

である。

Key Concepts重要な概念

The inverse function theorem allows us to compute derivatives of inverse functions without using the limit definition of the derivative.
逆関数定理を使うと、極限による導関数の定義を使わずに逆関数の導関数を求められる。
We can use the inverse function theorem to develop differentiation formulas for the inverse trigonometric functions.
逆関数定理を使って、逆三角関数の微分公式を導ける。

Key Equations重要な式

Inverse function theorem 逆関数定理	${(f^{−1})}^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (f^{−1} (x))}$ whenever $f^{'} (f^{−1} (x)) \neq 0$ and $f (x)$ is differentiable. $f (x)$ が微分可能で $f^{'} (f^{−1} (x)) \neq 0$ のとき、 ${(f^{−1})}^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (f^{−1} (x))}$ 。
Power rule with rational exponents 有理数乗の微分法	$\frac{d}{d x} (x^{m / n}) = \frac{m}{n} x^{(m / n) - 1} .$ $\frac{d}{d x} (x^{m / n}) = \frac{m}{n} x^{(m / n) - 1}$
Derivative of inverse sine function 逆正弦関数の導関数	$\frac{d}{d x} {sin}^{−1} x = \frac{1}{\sqrt{1 - {(x)}^{2}}}$
Derivative of inverse cosine function 逆余弦関数の導関数	$\frac{d}{d x} {cos}^{−1} x = \frac{−1}{\sqrt{1 - {(x)}^{2}}}$
Derivative of inverse tangent function 逆正接関数の導関数	$\frac{d}{d x} {tan}^{−1} x = \frac{1}{1 + {(x)}^{2}}$
Derivative of inverse cotangent function 逆余接関数の導関数	$\frac{d}{d x} {cot}^{−1} x = \frac{−1}{1 + {(x)}^{2}}$
Derivative of inverse secant function 逆正割関数の導関数	$\frac{d}{d x} {sec}^{−1} x = \frac{1}{\| x \| \sqrt{{(x)}^{2} - 1}}$
Derivative of inverse cosecant function 逆余割関数の導関数	$\frac{d}{d x} {csc}^{−1} x = \frac{−1}{\| x \| \sqrt{{(x)}^{2} - 1}}$

Exercises 260–263練習問題 260–263

For the following exercises, use the graph of

y = f (x)

次の問題では、

y = f (x)

のグラフを使って以下に答えなさい。

sketch the graph of $y = f^{−1} (x),$ and
$y = f^{−1} (x)$ のグラフの概形を描く。
use part a. to estimate ${(f^{−1})}^{'} (1) .$
(a)を使って、 ${(f^{−1})}^{'} (1)$ を推定する。

Exercise 260問題 260

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 261問題 261

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

(−3,0)から始まり、(−2,1)と(1,2)を通る曲線と、その逆関数のグラフ。逆関数は直線y=xについて対称で、(0,−3)から始まり、(1,−2)と(2,1)を通る。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

{(f^{−1})}^{'} (1) ~ 2

{(f^{−1})}^{'} (1) ~ 2

Exercise 262問題 262

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 263問題 263

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

\begin{matrix} y' = \frac{- x}{\sqrt{16 - x^{2}}} \\ y' (1) = \frac{- 1}{\sqrt{16 - 1}} = \frac{- 1}{\sqrt{15}} \end{matrix}

\begin{matrix} y' = \frac{- x}{\sqrt{16 - x^{2}}} \\ y' (1) = \frac{- 1}{\sqrt{16 - 1}} = \frac{- 1}{\sqrt{15}} \end{matrix}

Exercises 264–267練習問題 264–267

For the following exercises, use the functions

y = f (x)

to find

次の問題では、関数

y = f (x)

を使って以下を求めなさい。

$\frac{d f}{d x}$ at $x = a$ and
$x = a$ における $\frac{d f}{d x}$ 。
$x = f^{−1} (y) .$
$x = f^{−1} (y)$
Then use part b. to find $\frac{d f^{−1}}{d y}$ at $y = f (a) .$
次に(b)を使い、 $y = f (a)$ における $\frac{d f^{−1}}{d y}$ を求める。

Exercise 264問題 264

f (x) = 6 x - 1, x = −2

f (x) = 6 x - 1, x = −2

Exercise 265問題 265

f (x) = 2 x^{3} - 3, x = 1

f (x) = 2 x^{3} - 3, x = 1

Solution解き方

a. 6, b.

x = f^{−1} (y) = {(\frac{y + 3}{2})}^{1 / 3},

\frac{1}{6}

a. 6, b.

x = f^{−1} (y) = {(\frac{y + 3}{2})}^{1 / 3}

\frac{1}{6}

Exercise 266問題 266

f (x) = 9 - x^{2}, 0 \leq x \leq 3, x = 2

f (x) = 9 - x^{2}, 0 \leq x \leq 3, x = 2

Exercise 267問題 267

f (x) = sin x, x = 0

f (x) = sin x, x = 0

Solution解き方

1,

x = f^{−1} (y) = {sin}^{−1} y,

1

1

x = f^{−1} (y) = {sin}^{−1} y

1

Exercises 268–273練習問題 268–273

For each of the following functions, find

{(f^{−1})}^{'} (a) .

次の各関数について、

{(f^{−1})}^{'} (a)

を求めなさい。

Exercise 268問題 268

f (x) = x^{2} + 3 x + 2, x \geq - \frac{3}{2}, a = 2

f (x) = x^{2} + 3 x + 2, x \geq - \frac{3}{2}, a = 2

Exercise 269問題 269

f (x) = x^{3} + 2 x + 3, a = 0

f (x) = x^{3} + 2 x + 3, a = 0

Solution解き方

\frac{1}{5}

\frac{1}{5}

Exercise 270問題 270

f (x) = x + \sqrt{x}, a = 2

f (x) = x + \sqrt{x}, a = 2

Exercise 271問題 271

f (x) = x - \frac{2}{x}, x < 0, a = 1

f (x) = x - \frac{2}{x}, x < 0, a = 1

Solution解き方

\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

Exercise 272問題 272

f (x) = x + sin x, a = 0

f (x) = x + sin x, a = 0

Exercise 273問題 273

f (x) = tan x + 3 x^{2}, a = 0; 0 < x < π / 2

f (x) = tan x + 3 x^{2}, a = 0; 0 < x < π / 2

Solution解き方

1

1

Exercises 274–278練習問題 274–278

For each of the given functions

y = f (x),

与えられた各関数

y = f (x)

について、以下に答えなさい。

find the slope of the tangent line to its inverse function $f^{−1}$ at the indicated point $P,$ and
指定された点 $P$ での、逆関数 $f^{−1}$ の接線の傾きを求める。
find the equation of the tangent line to the graph of $f^{−1}$ at the indicated point.
指定された点における、 $f^{−1}$ のグラフの接線の方程式を求める。

Exercise 274問題 274

f (x) = \frac{4}{1 + x^{2}}, P (2, 1)

f (x) = \frac{4}{1 + x^{2}}, P (2, 1)

Exercise 275問題 275

f (x) = \sqrt{x - 4}, P (2, 8)

f (x) = \sqrt{x - 4}, P (2, 8)

Solution解き方

4,

y = 4 x

4

y = 4 x

Exercise 276問題 276

f (x) = {(x^{3} + 1)}^{4}, P (16, 1)

f (x) = {(x^{3} + 1)}^{4}, P (16, 1)

Exercise 277問題 277

f (x) = − x^{3} - x + 2, P (−8, 2)

f (x) = − x^{3} - x + 2, P (−8, 2)

Solution解き方

- \frac{1}{13},

y = - \frac{1}{13} x + \frac{18}{13}

- \frac{1}{13}

y = - \frac{1}{13} x + \frac{18}{13}

Exercise 278問題 278

f (x) = x^{5} + 3 x^{3} - 4 x - 8, P (−8, 1)

f (x) = x^{5} + 3 x^{3} - 4 x - 8, P (−8, 1)

Exercises 279–288練習問題 279–288

For the following exercises, find

\frac{d y}{d x}

for the given function.

次の問題では、与えられた関数の

\frac{d y}{d x}

を求めなさい。

Exercise 279問題 279

y = {sin}^{−1} (x^{2})

y = {sin}^{−1} (x^{2})

Solution解き方

\frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}

\frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}

Exercise 280問題 280

y = {cos}^{−1} (\sqrt{x})

y = {cos}^{−1} (\sqrt{x})

Exercise 281問題 281

y = {sec}^{−1} (\frac{1}{x})

y = {sec}^{−1} (\frac{1}{x})

Solution解き方

\frac{−1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{−1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Exercise 282問題 282

y = \sqrt{{csc}^{−1} x}

y = \sqrt{{csc}^{−1} x}

Exercise 283問題 283

y = {(1 + {tan}^{−1} x)}^{3}

y = {(1 + {tan}^{−1} x)}^{3}

Solution解き方

\frac{3 {(1 + {tan}^{−1} x)}^{2}}{1 + x^{2}}

\frac{3 {(1 + {tan}^{−1} x)}^{2}}{1 + x^{2}}

Exercise 284問題 284

y = {cos}^{−1} (2 x) \cdot {sin}^{−1} (2 x)

y = {cos}^{−1} (2 x) \cdot {sin}^{−1} (2 x)

Exercise 285問題 285

y = \frac{1}{{tan}^{−1} (x)}

y = \frac{1}{{tan}^{−1} (x)}

Solution解き方

\frac{−1}{(1 + x^{2}) {({tan}^{−1} x)}^{2}}

\frac{−1}{(1 + x^{2}) {({tan}^{−1} x)}^{2}}

Exercise 286問題 286

y = {sec}^{−1} (− x)

y = {sec}^{−1} (− x)

Exercise 287問題 287

y = {cot}^{−1} \sqrt{4 - x^{2}}

y = {cot}^{−1} \sqrt{4 - x^{2}}

Solution解き方

\frac{x}{(5 - x^{2}) \sqrt{4 - x^{2}}}

\frac{x}{(5 - x^{2}) \sqrt{4 - x^{2}}}

Exercise 288問題 288

y = x \cdot {csc}^{−1} x

y = x \cdot {csc}^{−1} x

Exercises 289–299練習問題 289–299

For the following exercises, use the given values to find

{(f^{−1})}^{'} (a) .

次の問題では、与えられた値を使って

{(f^{−1})}^{'} (a)

を求めなさい。

Exercise 289問題 289

f (π) = 0, f' (π) = −1, a = 0

f (π) = 0, f' (π) = −1, a = 0

Solution解き方

−1

−1

Exercise 290問題 290

f (6) = 2, f^{'} (6) = \frac{1}{3}, a = 2

f (6) = 2, f^{'} (6) = \frac{1}{3}, a = 2

Exercise 291問題 291

f (\frac{1}{3}) = −8, f' (\frac{1}{3}) = 2, a = −8

f (\frac{1}{3}) = −8, f' (\frac{1}{3}) = 2, a = −8

Solution解き方

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

Exercise 292問題 292

f (\sqrt{3}) = \frac{1}{2}, f' (\sqrt{3}) = \frac{2}{3}, a = \frac{1}{2}

f (\sqrt{3}) = \frac{1}{2}, f' (\sqrt{3}) = \frac{2}{3}, a = \frac{1}{2}

Exercise 293問題 293

f (1) = −3, f' (1) = 10, a = −3

f (1) = −3, f' (1) = 10, a = −3

Solution解き方

\frac{1}{10}

\frac{1}{10}

Exercise 294問題 294

f (1) = 0, f' (1) = −2, a = 0

f (1) = 0, f' (1) = −2, a = 0

Exercise 295問題 295

[T] The position of a moving hockey puck after

t

seconds is

s (t) = {tan}^{−1} t

where

s

is in meters.

[T] 動いているホッケーのパックの

t

秒後の位置は、

s (t) = {tan}^{−1} t

である。

s

の単位はメートルとする。

Find the velocity of the hockey puck at any time $t .$
任意の時刻 $t$ におけるパックの速度を求めなさい。
Find the acceleration of the puck at any time $t .$
任意の時刻 $t$ におけるパックの加速度を求めなさい。
Evaluate a. and b. for $t = 2, 4,$ and $6$ seconds.
$t = 2, 4$ および $6$ 秒について、(a)と(b)の値を求めなさい。
What conclusion can be drawn from the results in c.?
(c)の結果から何がわかるか。

Solution解き方

v (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

a (t) = \frac{−2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}

(a) 0.2, 0.06, 0.03; (b) - 0.16, −0.028, −0.0088

d. The hockey puck is decelerating/slowing down at 2, 4, and 6 seconds.

英語のヒント

v (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

a (t) = \frac{−2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}

(a) 0.2, 0.06, 0.03; (b) - 0.16, −0.028, −0.0088

　d. 2秒、4秒、6秒では、いずれもパックの速さが小さくなっている。

Exercise 296問題 296

[T] A building that is 225 feet tall casts a shadow of various lengths

x

as the day goes by. An angle of elevation

θ

is formed by lines from the top and bottom of the building to the tip of the shadow, as seen in the following figure. Find the rate of change of the angle of elevation

\frac{d θ}{d x}

when

x = 272

feet.

英語のヒント

[T] 高さ225フィートの建物が作る影の長さ

x

は、1日の間で変化する。図のように、影の先端と建物の上端・下端を結ぶ線が、仰角

θ

を作る。

x = 272

フィートのとき、影の長さに対する仰角の変化率

\frac{d θ}{d x}

を求めなさい。

高さ225フィートの建物と、その影による直角三角形。角θの向かい側の辺は建物の高さ225フィート、隣接辺は影の長さxである。

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Exercise 297問題 297

[T] A pole stands 75 feet tall. An angle

θ

is formed when wires of various lengths of

x

feet are attached from the ground to the top of the pole, as shown in the following figure. Find the rate of change of the angle

\frac{d θ}{d x}

when a wire of length 90 feet is attached.

[T] 高さ75フィートの柱がある。図のように、長さ

x

フィートのワイヤーを地面から柱の頂点へ張ると、地面との間に角

θ

ができる。長さ90フィートのワイヤーを張ったとき、ワイヤーの長さに対する角の変化率

\frac{d θ}{d x}

を求めなさい。

高さ75フィートの旗竿、地面、ワイヤーでできる直角三角形。地面とワイヤーの角θに対し、向かい側の辺は旗竿の高さ75フィート、斜辺はワイヤーの長さxである。

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Solution解き方

−0.0168

radians per foot

1フィート当たり

−0.0168

ラジアン。

Exercise 298問題 298

[T] A television camera at ground level is 2000 feet away from the launching pad of a space rocket that is set to take off vertically, as seen in the following figure. The angle of elevation of the camera can be found by

θ = {tan}^{−1} (\frac{x}{2000}),

where

x

is the height of the rocket. Find the rate of change of the angle of elevation after launch when the camera and the rocket are 5000 feet apart.

[T] 鉛直に打ち上げる宇宙ロケットの発射台から2000フィート離れた地上に、テレビカメラを置く。カメラの仰角は

θ = {tan}^{−1} (\frac{x}{2000})

で表され、

x

はロケットの高さである。打ち上げ後、カメラとロケットの距離が5000フィートとなるとき、高さに対する仰角の変化率を求めなさい。

空中のロケットの先端の高さをxとする直角三角形。カメラの仰角θに対し、向かい側の辺は高さx、隣接辺は発射台とカメラの水平距離2000フィートである。

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Exercise 299問題 299

[T] A local movie theater with a 30-foot-high screen that is 10 feet above a person’s eye level when seated has a viewing angle

θ

(in radians) given by

θ = {cot}^{−1} \frac{x}{40} - {cot}^{−1} \frac{x}{10},

[T] ある映画館のスクリーンは高さ30フィートで、下端は座った人の目の位置より10フィート高い。画面全体を見込む角

θ

（ラジアン）は、

θ = {cot}^{−1} \frac{x}{40} - {cot}^{−1} \frac{x}{10}

で与えられる。

where

x

is the distance in feet away from the movie screen that the person is sitting, as shown in the following figure.

ここで

x

は、図のように、座った人からスクリーンまでの水平距離をフィート単位で表したものである。

観客の目とスクリーン下端の間に、底辺x、高さ10の直角三角形ができる。スクリーン自体の高さは30。目からスクリーンの上端へ結んだ線と下端へ結んだ線の間の角がθである。

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Find $\frac{d θ}{d x} .$
$\frac{d θ}{d x}$ を求めなさい。
Evaluate $\frac{d θ}{d x}$ for $x = 5, 10, 15,$ and 20.
$x = 5, 10, 15$ および20における $\frac{d θ}{d x}$ を求めなさい。
Interpret the results in b..
(b)の結果を解釈しなさい。
Evaluate $\frac{d θ}{d x}$ for $x = 25, 30, 35,$ and 40
$x = 25, 30, 35$ および40における $\frac{d θ}{d x}$ を求めなさい。
Interpret the results in d. At what distance $x$ should the person sit to maximize his or her viewing angle?
(d)の結果を解釈しなさい。画面を見込む角を最大にするには、どの距離 $x$ に座ればよいか。

Solution解き方

\frac{d θ}{d x} = \frac{10}{100 + x^{2}} - \frac{40}{1600 + x^{2}}

\frac{18}{325}, \frac{9}{340}, \frac{42}{4745}, 0

c. As a person moves farther away from the screen, the viewing angle is increasing, which implies that as he or she moves farther away, his or her screen vision is widening. d.

- \frac{54}{12905}, - \frac{3}{500}, - \frac{198}{29945}, - \frac{9}{1360}

e. As the person moves beyond 20 feet from the screen, the viewing angle is decreasing. The optimal distance the person should stand for maximizing the viewing angle is 20 feet.

\frac{d θ}{d x} = \frac{10}{100 + x^{2}} - \frac{40}{1600 + x^{2}}

\frac{18}{325}, \frac{9}{340}, \frac{42}{4745}, 0

c. この範囲では、スクリーンから離れるほど見込む角が大きくなり、視野の中で画面が占める角度が広がる。d.

- \frac{54}{12905}, - \frac{3}{500}, - \frac{198}{29945}, - \frac{9}{1360}

e. スクリーンから20フィートを超えて離れると、見込む角は小さくなる。この角を最大にする最適な距離は20フィートである。