第3章微分

The Chain and Power Rules Combined連鎖律とべき関数の微分法を組み合わせる

We can now apply the chain rule to composite functions, but note that we often need to use it with other rules. For example, to find derivatives of functions of the form

h (x) = {(g (x))}^{n},

we need to use the chain rule combined with the power rule. To do so, we can think of

h (x) = {(g (x))}^{n}

f (g (x))

where

f (x) = x^{n} .

Then

f^{'} (x) = n x^{n - 1} .

Thus,

f^{'} (g (x)) = n {(g (x))}^{n - 1} .

This leads us to the derivative of a power function using the chain rule,

合成関数に連鎖律を使えるようになったが、ほかの微分法との組み合わせが必要な場合も多い。例えば、

h (x) = {(g (x))}^{n}

という形の関数には、連鎖律とべき関数の微分法を組み合わせる。

f (x) = x^{n}

として、

h (x) = {(g (x))}^{n}

を

f (g (x))

と考えよう。

f^{'} (x) = n x^{n - 1}

なので、

f^{'} (g (x)) = n {(g (x))}^{n - 1}

となる。こうして、連鎖律を用いたべき関数の微分公式が得られる。

h^{'} (x) = n {(g (x))}^{n - 1} g^{'} (x)

Example 3.48例題 3.48

Using the Chain and Power Rules連鎖律とべき関数の微分法を使う

Find the derivative of

h (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}} .

h (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

First, rewrite

h (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}} = {(3 x^{2} + 1)}^{−2} .

まず、

h (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}} = {(3 x^{2} + 1)}^{−2}

と書き直す。

Applying the power rule with

g (x) = 3 x^{2} + 1,

we have

g (x) = 3 x^{2} + 1

として、合成関数のべきの微分法を使うと、

h^{'} (x) = −2 {(3 x^{2} + 1)}^{−3} (6 x) .

h^{'} (x) = −2 {(3 x^{2} + 1)}^{−3} (6 x)

Rewriting back to the original form gives us

元と同じように分数の形に戻すと、

h^{'} (x) = \frac{−12 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} .

h^{'} (x) = \frac{−12 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}

Example 3.49例題 3.49

Using the Chain and Power Rules with a Trigonometric Function三角関数に連鎖律とべき関数の微分法を使う

Find the derivative of

h (x) = {sin}^{3} x .

h (x) = {sin}^{3} x

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

First recall that

{sin}^{3} x = {(sin x)}^{3},

so we can rewrite

h (x) = {sin}^{3} x

h (x) = {(sin x)}^{3} .

まず、

{sin}^{3} x = {(sin x)}^{3}

を思い出そう。したがって

h (x) = {sin}^{3} x

は

h (x) = {(sin x)}^{3}

と書ける。

Applying the power rule with

g (x) = sin x,

we obtain

g (x) = sin x

として、合成関数のべきの微分法を使うと、

h^{'} (x) = 3 {(sin x)}^{2} cos x = 3 {sin}^{2} x cos x .

h^{'} (x) = 3 {(sin x)}^{2} cos x = 3 {sin}^{2} x cos x

Example 3.50例題 3.50

Finding the Equation of a Tangent Line接線の方程式を求める

Find the equation of a line tangent to the graph of

h (x) = \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}

x = 2 .

x = 2

における

h (x) = \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}

のグラフの接線の方程式を求めなさい。

Solution解き方

Because we are finding an equation of a line, we need a point. The x-coordinate of the point is 2. To find the y-coordinate, substitute 2 into

h (x) .

Since

h (2) = \frac{1}{{(3 (2) - 5)}^{2}} = 1,

the point is

(2, 1) .

直線の方程式を求めるので、通る点が必要になる。x座標は2である。y座標は

h (x)

に2を代入して求める。

h (2) = \frac{1}{{(3 (2) - 5)}^{2}} = 1

なので、点は

(2, 1)

である。

For the slope, we need

h^{'} (2) .

To find

h^{'} (x),

first we rewrite

h (x) = {(3 x - 5)}^{−2}

and apply the power rule to obtain

傾きには

h^{'} (2)

が必要である。

h^{'} (x)

を求めるため、まず

h (x) = {(3 x - 5)}^{−2}

と書き直し、合成関数のべきの微分法を使う。

h^{'} (x) = −2 {(3 x - 5)}^{−3} (3) = −6 {(3 x - 5)}^{−3} .

h^{'} (x) = −2 {(3 x - 5)}^{−3} (3) = −6 {(3 x - 5)}^{−3}

By substituting, we have

h^{'} (2) = −6 {(3 (2) - 5)}^{−3} = −6 .

Therefore, the line has equation

y - 1 = −6 (x - 2) .

Rewriting, the equation of the line is

y = −6 x + 13 .

代入すると

h^{'} (2) = −6 {(3 (2) - 5)}^{−3} = −6

である。したがって、直線の方程式は

y - 1 = −6 (x - 2)

となる。整理すると

y = −6 x + 13

である。

Combining the Chain Rule with Other Rules連鎖律をほかの微分法と組み合わせる

Now that we can combine the chain rule and the power rule, we examine how to combine the chain rule with the other rules we have learned. In particular, we can use it with the formulas for the derivatives of trigonometric functions or with the product rule.

連鎖律とべき関数の微分法を組み合わせられるようになったので、これまでに学んだほかの微分法との組み合わせを調べよう。特に、三角関数の微分公式や積の微分法と組み合わせて使える。

Example 3.51例題 3.51

Using the Chain Rule on a General Cosine Function一般の余弦の合成関数に連鎖律を使う

Find the derivative of

h (x) = cos (g (x)) .

h (x) = cos (g (x))

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

Think of

h (x) = cos (g (x))

f (g (x))

where

f (x) = cos x .

Since

f^{'} (x) = − sin x .

we have

f^{'} (g (x)) = − sin (g (x)) .

Then we do the following calculation.

f (x) = cos x

として、

h (x) = cos (g (x))

を

f (g (x))

と考える。

f^{'} (x) = − sin x

なので、

f^{'} (g (x)) = − sin (g (x))

である。したがって、次のように計算する。

\begin{matrix} h^{'} (x) & = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) & Apply the chain rule. \\ = − sin (g (x)) g^{'} (x) & Substitute f^{'} (g (x)) = − sin (g (x)) . \end{matrix}

\begin{matrix} h^{'} (x) & = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) & 合成関数の微分法を用いる。 \\ = − sin (g (x)) g^{'} (x) & 代入する値： f^{'} (g (x)) = − sin (g (x)) . \end{matrix}

Thus, the derivative of

h (x) = cos (g (x))

is given by

h^{'} (x) = − sin (g (x)) g^{'} (x) .

よって

h (x) = cos (g (x))

の導関数は、

h^{'} (x) = − sin (g (x)) g^{'} (x)

で与えられる。

In the following example we apply the rule that we have just derived.

次の例題では、今導いた法則を使う。

Example 3.52例題 3.52

Using the Chain Rule on a Cosine Function余弦関数に連鎖律を使う

Find the derivative of

h (x) = cos (5 x^{2}) .

h (x) = cos (5 x^{2})

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

Let

g (x) = 5 x^{2} .

Then

g^{'} (x) = 10 x .

Using the result from the previous example,

g (x) = 5 x^{2}

とおくと、

g^{'} (x) = 10 x

である。前の例題の結果を使うと、

\begin{matrix} h^{'} (x) & = − sin (5 x^{2}) \cdot 10 x \\ = −10 x sin (5 x^{2}) . \end{matrix}

Example 3.53例題 3.53

Using the Chain Rule on Another Trigonometric Function別の三角関数に連鎖律を使う

Find the derivative of

h (x) = sec (4 x^{5} + 2 x) .

h (x) = sec (4 x^{5} + 2 x)

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

Apply the chain rule to

h (x) = sec (g (x))

to obtain

h (x) = sec (g (x))

に連鎖律を使うと、

h^{'} (x) = sec (g (x)) tan (g (x)) g^{'} (x) .

h^{'} (x) = sec (g (x)) tan (g (x)) g^{'} (x)

In this problem,

g (x) = 4 x^{5} + 2 x,

so we have

g^{'} (x) = 20 x^{4} + 2 .

Therefore, we obtain

この問題では

g (x) = 4 x^{5} + 2 x

なので、

g^{'} (x) = 20 x^{4} + 2

である。したがって、

\begin{matrix} h^{'} (x) & = sec (4 x^{5} + 2 x) tan (4 x^{5} + 2 x) (20 x^{4} + 2) \\ = (20 x^{4} + 2) sec (4 x^{5} + 2 x) tan (4 x^{5} + 2 x) . \end{matrix}

At this point we provide a list of derivative formulas that may be obtained by applying the chain rule in conjunction with the formulas for derivatives of trigonometric functions. Their derivations are similar to those used in Example 3.51 and Example 3.53. For convenience, formulas are also given in Leibniz’s notation, which some students find easier to remember. (We discuss the chain rule using Leibniz’s notation at the end of this section.) It is not absolutely necessary to memorize these as separate formulas as they are all applications of the chain rule to previously learned formulas.

英語のヒント

ここで、連鎖律と三角関数の微分公式を組み合わせて得られる公式を一覧にする。導き方は例題3.51や例題3.53と同様である。覚えやすいと感じる人もいるので、便宜上、ライプニッツの記法でも示す。この記法による連鎖律は、節の最後で扱う。これらはすべて既習の公式への連鎖律の適用なので、別々の公式として必ず暗記しなければならないわけではない。

Theorem 3.10定理 3.10

Using the Chain Rule with Trigonometric Functions三角関数への連鎖律の適用

For all values of

x

for which the derivative is defined,

導関数が定義されるすべての

x

について、

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (sin (g (x))) = cos (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} sin u = cos u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (cos (g (x))) = − sin (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} cos u = − sin u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (tan (g (x))) = {sec}^{2} (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} tan u = {sec}^{2} u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (cot (g (x))) = − {csc}^{2} (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} cot u = − {csc}^{2} u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (sec (g (x))) = sec (g (x) tan (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} sec u = sec u tan u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (csc (g (x)) (= − csc (g (x)) cot (g (x)) g' (x) & \frac{d}{d x} csc u = − csc u cot u \frac{d u}{d x} . \end{matrix}

Example 3.54例題 3.54

Combining the Chain Rule with the Product Rule連鎖律と積の微分法を組み合わせる

Find the derivative of

h (x) = {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 2)}^{7} .

h (x) = {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 2)}^{7}

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

First apply the product rule, then apply the chain rule to each term of the product.

まず積の微分法を使い、そのあと各因子の微分に連鎖律を使う。

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{5}) \cdot {(3 x - 2)}^{7} + \frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{7}) \cdot {(2 x + 1)}^{5} & Apply the product rule. \\ = 5 {(2 x + 1)}^{4} \cdot 2 \cdot {(3 x - 2)}^{7} + 7 {(3 x - 2)}^{6} \cdot 3 \cdot {(2 x + 1)}^{5} & Apply the chain rule. \\ = 10 {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{7} + 21 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 1)}^{5} & Simplify. \\ = {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} (10 (3 x - 2) + 21 (2 x + 1)) & Factor out {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} . \\ = {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} (72 x + 1) & Simplify. \end{matrix}

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{5}) \cdot {(3 x - 2)}^{7} + \frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{7}) \cdot {(2 x + 1)}^{5} & 積の微分法を用いる。 \\ = 5 {(2 x + 1)}^{4} \cdot 2 \cdot {(3 x - 2)}^{7} + 7 {(3 x - 2)}^{6} \cdot 3 \cdot {(2 x + 1)}^{5} & 合成関数の微分法を用いる。 \\ = 10 {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{7} + 21 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 1)}^{5} & 整理する。 \\ = {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} (10 (3 x - 2) + 21 (2 x + 1)) & くくり出す因子： {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} . \\ = {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} (72 x + 1) & 整理する。 \end{matrix}