第3章微分

Derivative of the Logarithmic Function対数関数の導関数

Now that we have the derivative of the natural exponential function, we can use implicit differentiation to find the derivative of its inverse, the natural logarithmic function.

自然指数関数の導関数がわかったので、陰関数の微分を使い、その逆関数である自然対数関数の導関数を求められる。

Proof証明

x > 0

and

y = ln x,

then

e^{y} = x .

Differentiating both sides of this equation results in the equation

x > 0

かつ

y = ln x

なら、

e^{y} = x

である。この等式の両辺を微分すると、

e^{y} \frac{d y}{d x} = 1 .

e^{y} \frac{d y}{d x} = 1

Solving for

\frac{d y}{d x}

yields

\frac{d y}{d x}

について解くと、

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} .

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}}

Finally, we substitute

x = e^{y}

to obtain

最後に

x = e^{y}

を代入すると、

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} .

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}

We may also derive this result by applying the inverse function theorem, as follows. Since

y = g (x) = ln x

is the inverse of

f (x) = e^{x},

by applying the inverse function theorem we have

この結果は、逆関数定理からも導ける。

y = g (x) = ln x

は

f (x) = e^{x}

の逆関数なので、逆関数定理により、

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{f^{'} (g (x))} = \frac{1}{e^{ln x}} = \frac{1}{x} .

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{f^{'} (g (x))} = \frac{1}{e^{ln x}} = \frac{1}{x}

Using this result and applying the chain rule to

h (x) = ln (g (x))

yields

この結果を使い、

h (x) = ln (g (x))

に連鎖律を適用すると、

h^{'} (x) = \frac{1}{g (x)} g^{'} (x) .

h^{'} (x) = \frac{1}{g (x)} g^{'} (x)

□

The graph of

y = ln x

and its derivative

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}

are shown in Figure 3.35.

図3.35に、

y = ln x

とその導関数

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}

を示す。

ln xとその導関数1/xのグラフ。ln xは(0,+∞)で増加する。その導関数は同じ区間で減少するが、常に正である。 — Figure 3.35図 3.35
$The function y = ln x$ is increasing on $(0, + \infty) .$ Its derivative $y' = \frac{1}{x}$ is greater than zero on $(0, + \infty) .$
$関数： y = ln x$ は $(0, + \infty)$ で増加する。その導関数 $y' = \frac{1}{x}$ は、 $(0, + \infty)$ で正である。

Example 3.77例題 3.77

Taking a Derivative of a Natural Logarithm自然対数を微分する

Find the derivative of

f (x) = ln (x^{3} + 3 x - 4) .

f (x) = ln (x^{3} + 3 x - 4)

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

Use Equation 3.31 directly.

式3.31を直接使う。

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \frac{1}{x^{3} + 3 x - 4} \cdot (3 x^{2} + 3) & Use g (x) = x^{3} + 3 x - 4 in h^{'} (x) = \frac{1}{g (x)} g^{'} (x) . \\ = \frac{3 x^{2} + 3}{x^{3} + 3 x - 4} & Rewrite. \end{matrix}

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \frac{1}{x^{3} + 3 x - 4} \cdot (3 x^{2} + 3) & 用いる関係： g (x) = x^{3} + 3 x - 4 in h^{'} (x) = \frac{1}{g (x)} g^{'} (x) . \\ = \frac{3 x^{2} + 3}{x^{3} + 3 x - 4} & 書き換える。 \end{matrix}

Example 3.78例題 3.78

Using Properties of Logarithms in a Derivative微分に対数の性質を使う

Find the derivative of

f (x) = ln (\frac{x^{2} sin x}{2 x + 1}) .

f (x) = ln (\frac{x^{2} sin x}{2 x + 1})

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

At first glance, taking this derivative appears rather complicated. However, by using the properties of logarithms prior to finding the derivative, we can make the problem much simpler.

英語のヒント

一見すると、この微分はかなり複雑に見える。しかし、微分する前に対数の性質を使えば、問題をずっと簡単にできる。

\begin{matrix} f (x) & = & ln (\frac{x^{2} sin x}{2 x + 1}) = 2 ln x + ln (sin x) - ln (2 x + 1) & Apply properties of logarithms. \\ f^{'} (x) & = & \frac{2}{x} + cot x - \frac{2}{2 x + 1} & Apply sum rule and h^{'} (x) = \frac{1}{g (x)} g^{'} (x) . \end{matrix}

\begin{matrix} f (x) & = & ln (\frac{x^{2} sin x}{2 x + 1}) = 2 ln x + ln (sin x) - ln (2 x + 1) & 対数の性質を用いる。 \\ f^{'} (x) & = & \frac{2}{x} + cot x - \frac{2}{2 x + 1} & \begin{array}{l} 和の微分法と \\ h′(x)=g′(x)/g(x)を使う。 \end{array} \end{matrix}

Now that we can differentiate the natural logarithmic function, we can use this result to find the derivatives of

y = l o g_{b} x

and

y = b^{x}

for

b > 0, b \neq 1 .

自然対数関数を微分できるようになったので、その結果を使い、

b > 0, b \neq 1

に対する

y = l o g_{b} x

と

y = b^{x}

の導関数を求められる。

Proof証明

y = {log}_{b} x,

then

b^{y} = x .

It follows that

ln (b^{y}) = ln x .

Thus

y ln b = ln x .

Solving for

y,

we have

y = \frac{ln x}{ln b} .

Differentiating and keeping in mind that

ln b

is a constant, we see that

y = {log}_{b} x

ならば

b^{y} = x

である。よって

ln (b^{y}) = ln x

、したがって

y ln b = ln x

となる。

y

について解くと、

y = \frac{ln x}{ln b}

である。

ln b

が定数であることに注意して微分すると、

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x ln b} .

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x ln b}

The derivative in Equation 3.32 now follows from the chain rule.

式3.32の導関数は、連鎖律から得られる。

y = b^{x},

then

ln y = x ln b .

Using implicit differentiation, again keeping in mind that

ln b

is constant, it follows that

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = ln b .

Solving for

\frac{d y}{d x}

and substituting

y = b^{x},

we see that

y = b^{x}

ならば

ln y = x ln b

である。

ln b

が定数であることに注意して陰関数の微分を使うと、

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = ln b

となる。

\frac{d y}{d x}

について解き、

y = b^{x}

を代入すると、

\frac{d y}{d x} = y ln b = b^{x} ln b .

\frac{d y}{d x} = y ln b = b^{x} ln b

The more general derivative (Equation 3.35) follows from the chain rule.

より一般的な導関数の公式である式3.35は、連鎖律から得られる。

□

Example 3.79例題 3.79

Applying Derivative Formulas微分公式を使う

Find the derivative of

h (x) = \frac{3^{x}}{3^{x} + 2} .

h (x) = \frac{3^{x}}{3^{x} + 2}

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

Use the quotient rule and Theorem 3.16.

商の微分法と定理3.16を使う。

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \frac{3^{x} ln 3 (3^{x} + 2) - 3^{x} ln 3 (3^{x})}{{(3^{x} + 2)}^{2}} & Apply the quotient rule. \\ = \frac{2 \cdot 3^{x} ln 3}{{(3^{x} + 2)}^{2}} & Simplify. \end{matrix}

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \frac{3^{x} ln 3 (3^{x} + 2) - 3^{x} ln 3 (3^{x})}{{(3^{x} + 2)}^{2}} & 商の微分法を用いる。 \\ = \frac{2 \cdot 3^{x} ln 3}{{(3^{x} + 2)}^{2}} & 整理する。 \end{matrix}

Example 3.80例題 3.80

Finding the Slope of a Tangent Line接線の傾きを求める

Find the slope of the line tangent to the graph of

y = {log}_{2} (3 x + 1)

x = 1 .

x = 1

における

y = {log}_{2} (3 x + 1)

のグラフの接線の傾きを求めなさい。

Solution解き方

To find the slope, we must evaluate

\frac{d y}{d x}

x = 1 .

Using Equation 3.33, we see that

傾きを求めるには、

x = 1

での

\frac{d y}{d x}

を計算する。式3.33より、

\frac{d y}{d x} = \frac{3}{(3 x + 1) ln 2} .

\frac{d y}{d x} = \frac{3}{(3 x + 1) ln 2}

By evaluating the derivative at

x = 1,

we see that the tangent line has slope

x = 1

における導関数の値を計算すると、接線の傾きは、

\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{x = 1} \end{array} = \frac{3}{4 ln 2} = \frac{3}{ln 16} .

\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{x = 1} \end{array} = \frac{3}{4 ln 2} = \frac{3}{ln 16}

Logarithmic Differentiation対数微分法

At this point, we can take derivatives of functions of the form

y = {(g (x))}^{n}

for certain values of

n,

as well as functions of the form

y = b^{g (x)},

where

b > 0

and

b \neq 1 .

Unfortunately, we still do not know the derivatives of functions such as

y = x^{x}

y = x^{π} .

These functions require a technique called logarithmic differentiation, which allows us to differentiate any function of the form

h (x) = g {(x)}^{f (x)} .

It can also be used to convert a very complex differentiation problem into a simpler one, such as finding the derivative of

y = \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} .

We outline this technique in the following problem-solving strategy.

英語のヒント

ここまでで、ある種の

n

について

y = {(g (x))}^{n}

という形の関数を微分できるようになった。また、

b > 0

かつ

b \neq 1

のとき、

y = b^{g (x)}

という形も微分できる。しかし、

y = x^{x}

や

y = x^{π}

のような関数の微分法は、まだわかっていない。これらには対数微分法という方法を使う。これにより、

h (x) = g {(x)}^{f (x)}

という形の関数を微分できる。また、この方法は、

y = \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x}

の導関数を求めるような非常に複雑な問題を、より簡単にするためにも使える。次に手順をまとめる。

Example 3.81例題 3.81

Using Logarithmic Differentiation対数微分法を使う

Find the derivative of

y = {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} .

y = {(2 x^{4} + 1)}^{tan x}

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

Use logarithmic differentiation to find this derivative.

この導関数は対数微分法で求める。

\begin{matrix} ln y & = & ln {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} & Step 1. Take the natural logarithm of both sides. \\ ln y & = & tan x ln (2 x^{4} + 1) & Step 2. Expand using properties of logarithms. \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & {sec}^{2} x ln (2 x^{4} + 1) + \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1} \cdot tan x & \begin{matrix} Step 3. Differentiate both sides. Use the \\ product rule on the right. \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} & = & y \cdot ({sec}^{2} x ln (2 x^{4} + 1) + \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1} \cdot tan x) & Step 4. Multiply by y on both sides. \\ \frac{d y}{d x} & = & {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} ({sec}^{2} x ln (2 x^{4} + 1) + \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1} \cdot tan x) & Step 5. Substitute y = {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} . \end{matrix}

\begin{matrix} ln y & = & ln {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} & 手順1：両辺の自然対数をとる。 \\ ln y & = & tan x ln (2 x^{4} + 1) & 手順2：対数の性質を用いて展開する。 \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & {sec}^{2} x ln (2 x^{4} + 1) + \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1} \cdot tan x & \begin{matrix} 手順3：両辺を微分する。 \\ 右辺には積の微分法を用いる。 \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} & = & y \cdot ({sec}^{2} x ln (2 x^{4} + 1) + \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1} \cdot tan x) & 手順4：掛ける因子： y （両辺に掛ける）。 \\ \frac{d y}{d x} & = & {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} ({sec}^{2} x ln (2 x^{4} + 1) + \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1} \cdot tan x) & 手順5：代入する式： y = {(2 x^{4} + 1)}^{tan x} . \end{matrix}

Example 3.82例題 3.82

Using Logarithmic Differentiation対数微分法を使う

Find the derivative of

y = \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} .

y = \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x}

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

This problem really makes use of the properties of logarithms and the differentiation rules given in this chapter.

この問題では、対数の性質と、この章で学んだ微分の法則が大いに役立つ。

\begin{matrix} ln y & = & ln \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} & Step 1. Take the natural logarithm of both sides. \\ ln y & = & ln x + \frac{1}{2} ln (2 x + 1) - x ln e - 3 ln sin x & Step 2. Expand using properties of logarithms. \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & \frac{1}{x} + \frac{1}{2 x + 1} - 1 - 3 \frac{cos x}{sin x} & Step 3. Differentiate both sides. \\ \frac{d y}{d x} & = & y (\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x + 1} - 1 - 3 cot x) & Step 4. Multiply by y on both sides. \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} (\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x + 1} - 1 - 3 cot x) & Step 5. Substitute y = \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} . \end{matrix}

\begin{matrix} ln y & = & ln \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} & 手順1：両辺の自然対数をとる。 \\ ln y & = & ln x + \frac{1}{2} ln (2 x + 1) - x ln e - 3 ln sin x & 手順2：対数の性質を用いて展開する。 \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & \frac{1}{x} + \frac{1}{2 x + 1} - 1 - 3 \frac{cos x}{sin x} & 手順3：両辺を微分する。 \\ \frac{d y}{d x} & = & y (\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x + 1} - 1 - 3 cot x) & 手順4：掛ける因子： y （両辺に掛ける）。 \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} (\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x + 1} - 1 - 3 cot x) & 手順5：代入する式： y = \frac{x \sqrt{2 x + 1}}{e^{x} {sin}^{3} x} . \end{matrix}

Example 3.83例題 3.83

Extending the Power Ruleべき関数の微分法を拡張する

Find the derivative of

y = x^{r}

where

r

is an arbitrary real number.

r

を任意の実数として、

y = x^{r}

の導関数を求めなさい。

Solution解き方

The process is the same as in Example 3.82, though with fewer complications.

手順は例題3.82と同じだが、計算はもっと簡単である。

\begin{matrix} ln y & = & ln x^{r} & Step 1. Take the natural logarithm of both sides. \\ ln y & = & r ln x & Step 2. Expand using properties of logarithms. \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & r \frac{1}{x} & Step 3. Differentiate both sides. \\ \frac{d y}{d x} & = & y \frac{r}{x} & Step 4. Multiply by y on both sides. \\ \frac{d y}{d x} & = & x^{r} \frac{r}{x} & Step 5. Substitute y = x^{r} . \\ \frac{d y}{d x} & = & r x^{r - 1} & Simplify. \end{matrix}

\begin{matrix} ln y & = & ln x^{r} & 手順1：両辺の自然対数をとる。 \\ ln y & = & r ln x & 手順2：対数の性質を用いて展開する。 \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & r \frac{1}{x} & 手順3：両辺を微分する。 \\ \frac{d y}{d x} & = & y \frac{r}{x} & 手順4：掛ける因子： y （両辺に掛ける）。 \\ \frac{d y}{d x} & = & x^{r} \frac{r}{x} & 手順5：代入する式： y = x^{r} . \\ \frac{d y}{d x} & = & r x^{r - 1} & 整理する。 \end{matrix}