第3章微分

Key Equations重要な式

The chain rule 連鎖律	$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
The power rule for functions 合成関数のべきの微分法	$h^{'} (x) = n {(g (x))}^{n - 1} g^{'} (x)$

Exercises 214–219練習問題 214–219

For the following exercises, given

y = f (u)

and

u = g (x),

find

\frac{d y}{d x}

by using Leibniz’s notation for the chain rule:

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x} .

次の問題では、

y = f (u)

と

u = g (x)

が与えられている。ライプニッツの記法による連鎖律

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}

を使い、

\frac{d y}{d x}

を求めなさい。

Exercise 214問題 214

y = 3 u - 6, u = 2 x^{2}

y = 3 u - 6, u = 2 x^{2}

Exercise 215問題 215

y = 6 u^{3}, u = 7 x - 4

y = 6 u^{3}, u = 7 x - 4

Solution解き方

18 u^{2} \cdot 7 = 18 {(7 x - 4)}^{2} \cdot 7

18 u^{2} \cdot 7 = 18 {(7 x - 4)}^{2} \cdot 7

Exercise 216問題 216

y = sin u, u = 5 x - 1

y = sin u, u = 5 x - 1

Exercise 217問題 217

y = cos u, u = \frac{− x}{8}

y = cos u, u = \frac{− x}{8}

Solution解き方

− sin u \cdot \frac{−1}{8} = − sin (\frac{− x}{8}) \cdot \frac{−1}{8}

− sin u \cdot \frac{−1}{8} = − sin (\frac{− x}{8}) \cdot \frac{−1}{8}

Exercise 218問題 218

y = tan u, u = 9 x + 2

y = tan u, u = 9 x + 2

Exercise 219問題 219

y = \sqrt{4 u + 3}, u = x^{2} - 6 x

y = \sqrt{4 u + 3}, u = x^{2} - 6 x

Solution解き方

\frac{8 x - 24}{2 \sqrt{4 u + 3}} = \frac{4 x - 12}{\sqrt{4 x^{2} - 24 x + 3}}

\frac{8 x - 24}{2 \sqrt{4 u + 3}} = \frac{4 x - 12}{\sqrt{4 x^{2} - 24 x + 3}}

Exercises 220–227練習問題 220–227

For each of the following exercises,

次の各問題で、以下に答えなさい。

decompose each function in the form $y = f (u)$ and $u = g (x),$ and
関数を $y = f (u)$ と $u = g (x)$ の形に分解する。
find $\frac{d y}{d x}$ as a function of $x .$
$\frac{d y}{d x}$ を、 $x$ の関数として求める。

Exercise 220問題 220

y = {(3 x - 2)}^{6}

y = {(3 x - 2)}^{6}

Exercise 221問題 221

y = {(3 x^{2} + 1)}^{3}

y = {(3 x^{2} + 1)}^{3}

Solution解き方

u = 3 x^{2} + 1;

18 x {(3 x^{2} + 1)}^{2}

u = 3 x^{2} + 1

18 x {(3 x^{2} + 1)}^{2}

Exercise 222問題 222

y = {sin}^{5} (x)

y = {sin}^{5} (x)

Exercise 223問題 223

y = {(\frac{x}{7} + \frac{7}{x})}^{7}

y = {(\frac{x}{7} + \frac{7}{x})}^{7}

Solution解き方

f (u) = u^{7}, u = \frac{x}{7} + \frac{7}{x};

7 {(\frac{x}{7} + \frac{7}{x})}^{6} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{7}{x^{2}})

f (u) = u^{7}, u = \frac{x}{7} + \frac{7}{x}

7 {(\frac{x}{7} + \frac{7}{x})}^{6} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{7}{x^{2}})

Exercise 224問題 224

y = tan (sec x)

y = tan (sec x)

Exercise 225問題 225

y = csc (π x + 1)

y = csc (π x + 1)

Solution解き方

f (u) = csc u, u = π x + 1;

− π csc (π x + 1) \cdot cot (π x + 1)

f (u) = csc u, u = π x + 1

− π csc (π x + 1) \cdot cot (π x + 1)

Exercise 226問題 226

y = {cot}^{2} x

y = {cot}^{2} x

Exercise 227問題 227

y = −6 {(\sin x)}^{- 3}

y = −6 {(\sin x)}^{- 3}

Solution解き方

f (u) = −6 u^{−3}, u = sin x,

18 {(sin)}^{−4} x \cdot cos x

f (u) = −6 u^{−3}, u = sin x

18 {(sin)}^{−4} x \cdot cos x

Exercises 228–244練習問題 228–244

For the following exercises, find

\frac{d y}{d x}

for each function.

次の問題では、各関数の

\frac{d y}{d x}

を求めなさい。

Exercise 228問題 228

y = {(3 x^{2} + 3 x - 1)}^{4}

y = {(3 x^{2} + 3 x - 1)}^{4}

Exercise 229問題 229

y = {(5 - 2 x)}^{−2}

y = {(5 - 2 x)}^{−2}

Solution解き方

\frac{4}{{(5 - 2 x)}^{3}}

\frac{4}{{(5 - 2 x)}^{3}}

Exercise 230問題 230

y = {cos}^{3} (π x)

y = {cos}^{3} (π x)

Exercise 231問題 231

y = {(2 x^{3} - x^{2} + 6 x + 1)}^{3}

y = {(2 x^{3} - x^{2} + 6 x + 1)}^{3}

Solution解き方

6 {(2 x^{3} - x^{2} + 6 x + 1)}^{2} (3 x^{2} - x + 3)

6 {(2 x^{3} - x^{2} + 6 x + 1)}^{2} (3 x^{2} - x + 3)

Exercise 232問題 232

y = \frac{1}{{sin}^{2} (x)}

y = \frac{1}{{sin}^{2} (x)}

Exercise 233問題 233

y = {(tan x + sin x)}^{−3}

y = {(tan x + sin x)}^{−3}

Solution解き方

−3 {(tan x + sin x)}^{−4} \cdot ({sec}^{2} x + cos x)

−3 {(tan x + sin x)}^{−4} \cdot ({sec}^{2} x + cos x)

Exercise 234問題 234

y = x^{2} {cos}^{4} x

y = x^{2} {cos}^{4} x

Exercise 235問題 235

y = sin (cos 7 x)

y = sin (cos 7 x)

Solution解き方

−7 cos (cos 7 x) \cdot sin 7 x

−7 cos (cos 7 x) \cdot sin 7 x

Exercise 236問題 236

y = \sqrt{6 + sec π x^{2}}

y = \sqrt{6 + sec π x^{2}}

Exercise 237問題 237

y = {cot}^{3} (4 x + 1)

y = {cot}^{3} (4 x + 1)

Solution解き方

−12 {cot}^{2} (4 x + 1) \cdot {csc}^{2} (4 x + 1)

−12 {cot}^{2} (4 x + 1) \cdot {csc}^{2} (4 x + 1)

Exercise 238問題 238

Let

y = {[f (x)]}^{2}

and suppose that

f^{'} (1) = 4

and

\frac{d y}{d x} = 10

for

x = 1 .

Find

f (1) .

y = {[f (x)]}^{2}

とする。

f^{'} (1) = 4

であり、

x = 1

のとき

\frac{d y}{d x} = 10

である。

f (1)

を求めなさい。

Exercise 239問題 239

Let

y = {(f (x) + 5 x^{2})}^{4}

and suppose that

f (−1) = −4

and

\frac{d y}{d x} = 3

when

x = −1 .

Find

f^{'} (−1)

y = {(f (x) + 5 x^{2})}^{4}

とする。

f (−1) = −4

であり、

x = −1

のとき

\frac{d y}{d x} = 3

である。

f^{'} (−1)

を求めなさい。

Solution解き方

10 \frac{3}{4}

10 \frac{3}{4}

Exercise 240問題 240

Let

y = {(f (u) + 3 x)}^{2}

and

u = x^{3} - 2 x .

f (4) = 6

and

\frac{d y}{d x} = 18

when

x = 2,

find

f^{'} (4) .

y = {(f (u) + 3 x)}^{2}

、

u = x^{3} - 2 x

とする。

f (4) = 6

であり、

x = 2

のとき

\frac{d y}{d x} = 18

である。

f^{'} (4)

を求めなさい。

Exercise 241問題 241

[T] Find the equation of the tangent line to

y = − sin (\frac{x}{2})

at the origin. Use a calculator to graph the function and the tangent line together.

[T] 原点における

y = − sin (\frac{x}{2})

の接線の方程式を求めなさい。電卓を使い、関数と接線を同じ図に描きなさい。

Solution解き方

y = \frac{−1}{2} x

y = \frac{−1}{2} x

Exercise 242問題 242

[T] Find the equation of the tangent line to

y = {(3 x + \frac{1}{x})}^{2}

at the point

(1, 16) .

Use a calculator to graph the function and the tangent line together.

[T] 点

(1, 16)

における

y = {(3 x + \frac{1}{x})}^{2}

の接線の方程式を求めなさい。電卓を使い、関数と接線を同じ図に描きなさい。

Exercise 243問題 243

Find the

x

-coordinates at which the tangent line to

y = {(x - \frac{6}{x})}^{8}

is horizontal.

y = {(x - \frac{6}{x})}^{8}

の接線が水平になる

x

座標を求めなさい。

Solution解き方

x = \pm \sqrt{6}

x = \pm \sqrt{6}

Exercise 244問題 244

[T] Find an equation of the line that is normal to

g (θ) = {sin}^{2} (π θ)

at the point

(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) .

Use a calculator to graph the function and the normal line together.

[T] 点

(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

における

g (θ) = {sin}^{2} (π θ)

の法線の方程式を求めなさい。電卓を使い、関数と法線を同じ図に描きなさい。

Exercises 245–259練習問題 245–259

For the following exercises, use the information in the following table to find

h^{'} (a)

at the given value for

a .

次の問題では、表の情報を使い、指定された

a

の値で

h^{'} (a)

を求めなさい。

$x$	$f (x)$	$f' (x)$	$g (x)$	$g' (x)$
0	2	5	0	2
1	1	−2	3	0
2	4	4	1	−1
3	3	−3	2	3

Exercise 245問題 245

h (x) = f (g (x)); a = 0

h (x) = f (g (x)); a = 0

Solution解き方

Exercise 246問題 246

h (x) = g (f (x)); a = 0

h (x) = g (f (x)); a = 0

Exercise 247問題 247

h (x) = {(x^{4} + g (x))}^{−2}; a = 1

h (x) = {(x^{4} + g (x))}^{−2}; a = 1

Solution解き方

- \frac{1}{8}

- \frac{1}{8}

Exercise 248問題 248

h (x) = {(\frac{f (x)}{g (x)})}^{2}; a = 3

h (x) = {(\frac{f (x)}{g (x)})}^{2}; a = 3

Exercise 249問題 249

h (x) = f (x + f (x)); a = 1

h (x) = f (x + f (x)); a = 1

Solution解き方

−4

−4

Exercise 250問題 250

h (x) = {(1 + g (x))}^{3}; a = 2

h (x) = {(1 + g (x))}^{3}; a = 2

Exercise 251問題 251

h (x) = g (2 + f (x^{2})); a = 1

h (x) = g (2 + f (x^{2})); a = 1

Solution解き方

−12

−12

Exercise 252問題 252

h (x) = f (g (sin x)); a = 0

h (x) = f (g (sin x)); a = 0

Exercise 253問題 253

[T] The position function of a freight train is given by

s (t) = 100 {(t + 1)}^{−2},

with

s

in meters and

t

in seconds. At time

t = 6

s, find the train’s

[T] 貨物列車の位置関数を

s (t) = 100 {(t + 1)}^{−2}

とする。

s

の単位はメートル、

t

の単位は秒である。

t = 6

秒での次の量を求めなさい。

velocity and
速度。
acceleration.
加速度。
Using a. and b. is the train speeding up or slowing down?
(a)と(b)を使い、列車の速さが増しているか、小さくなっているかを判断しなさい。

Solution解き方

- \frac{200}{343}

m/s, b.

\frac{600}{2401}

m/s², c. The train is slowing down since velocity and acceleration have opposite signs.

- \frac{200}{343}

m/s　b.

\frac{600}{2401}

m/s²　c. 速度と加速度の符号が逆なので、列車の速さは小さくなっている。

Exercise 254問題 254

[T] A mass hanging from a vertical spring is in simple harmonic motion as given by the following position function, where

t

is measured in seconds and

s

is in inches:

[T] 鉛直なばねにつるした物体が、次の位置関数で表される単振動をしている。

t

の単位は秒、

s

の単位はインチである。

s (t) = −3 cos (π t + \frac{π}{4}) .

s (t) = −3 cos (π t + \frac{π}{4})

Determine the position of the spring at $t = 1.5$ s.
$t = 1.5$ 秒でのばねにつるした物体の位置を求めなさい。
Find the velocity of the spring at $t = 1.5$ s.
$t = 1.5$ 秒でのばねにつるした物体の速度を求めなさい。

Exercise 255問題 255

[T] The total cost to produce

x

boxes of Thin Mint Girl Scout cookies is

C

dollars, where

C = 0.0001 x^{3} - 0.02 x^{2} + 3 x + 300 .

t

weeks production is estimated to be

x = 1600 + 100 t

boxes.

[T] ガールスカウトのシンミント・クッキーを

x

箱製造する総費用を

C

ドルとし、

C = 0.0001 x^{3} - 0.02 x^{2} + 3 x + 300

とする。

t

週間後の生産量は、

x = 1600 + 100 t

箱と見込まれる。

Find the marginal cost $C^{'} (x) .$
限界費用 $C^{'} (x)$ を求めなさい。
Use Leibniz’s notation for the chain rule, $\frac{d C}{d t} = \frac{d C}{d x} \cdot \frac{d x}{d t},$ to find the rate with respect to time $t$ that the cost is changing.
ライプニッツの記法による連鎖律 $\frac{d C}{d t} = \frac{d C}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}$ を使い、時間 $t$ に対する費用の変化率を求めなさい。
Use b. to determine how fast costs are increasing when $t = 2$ weeks. Include units with the answer.
(b)を使い、 $t = 2$ 週間のときに費用がどのくらいの速さで増えているか求めなさい。答えには単位も付けること。

Solution解き方

C^{'} (x) = 0.0003 x^{2} - 0.04 x + 3

\frac{d C}{d t} = 100 \cdot (0.0003 x^{2} - 0.04 x + 3)

c. Approximately $90,300 per week

C^{'} (x) = 0.0003 x^{2} - 0.04 x + 3

\frac{d C}{d t} = 100 \cdot (0.0003 x^{2} - 0.04 x + 3)

　c. 1週間当たり約90,300ドル。

Exercise 256問題 256

[T] The formula for the area of a circle is

A = π r^{2},

where

r

is the radius of the circle. Suppose a circle is expanding, meaning that both the area

A

and the radius

r

(in inches) are expanding.

[T] 円の面積は

A = π r^{2}

で与えられ、

r

は半径である。円が広がっていて、面積

A

と半径

r

（インチ）がともに増加しているとする。

Suppose $r = 2 - \frac{100}{{(t + 7)}^{2}}$ where $t$ is time in seconds. Use the chain rule $\frac{d A}{d t} = \frac{d A}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$ to find the rate at which the area is expanding.
$r = 2 - \frac{100}{{(t + 7)}^{2}}$ とする。 $t$ は秒単位の時間である。連鎖律 $\frac{d A}{d t} = \frac{d A}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$ を使い、面積の増加率を求めなさい。
Use a. to find the rate at which the area is expanding at $t = 4$ s.
(a)を使い、 $t = 4$ 秒での面積の増加率を求めなさい。

Exercise 257問題 257

[T] The formula for the volume of a sphere is

S = \frac{4}{3} π r^{3},

where

r

(in feet) is the radius of the sphere. Suppose a spherical snowball is melting in the sun.

[T] 球の体積は

S = \frac{4}{3} π r^{3}

で与えられ、

r

はフィート単位の半径である。球形の雪玉が日光で溶けているとする。

Suppose $r = \frac{1}{{(t + 1)}^{2}} - \frac{1}{12}$ where $t$ is time in minutes. Use the chain rule $\frac{d S}{d t} = \frac{d S}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$ to find the rate at which the snowball is melting.
$r = \frac{1}{{(t + 1)}^{2}} - \frac{1}{12}$ とする。 $t$ は分単位の時間である。連鎖律 $\frac{d S}{d t} = \frac{d S}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$ を使い、雪玉の体積の変化率を求めなさい。
Use a. to find the rate at which the volume is changing at $t = 1$ min.
(a)を使い、 $t = 1$ 分での体積の変化率を求めなさい。

Solution解き方

\frac{d S}{d t} = - \frac{8 π r^{2}}{{(t + 1)}^{3}}

b. The volume is decreasing at a rate of

- \frac{π}{36}

ft³/min.

\frac{d S}{d t} = - \frac{8 π r^{2}}{{(t + 1)}^{3}}

　b. 体積の変化率は

- \frac{π}{36}

ft³/minであり、体積は減少している。

Exercise 258問題 258

[T] The daily temperature in degrees Fahrenheit of Phoenix in the summer can be modeled by the function

T (x) = 94 - 10 cos [\frac{π}{12} (x - 2)],

where

x

is hours after midnight. Find the rate at which the temperature is changing at 4 p.m.

[T] 夏のフェニックスの1日の気温を、華氏で

T (x) = 94 - 10 cos [\frac{π}{12} (x - 2)]

とモデル化する。

x

は午前0時からの経過時間である。午後4時の気温の変化率を求めなさい。

Exercise 259問題 259

[T] The depth (in feet) of water at a dock changes with the rise and fall of tides. The depth is modeled by the function

D (t) = 5 sin (\frac{π}{6} t - \frac{7 π}{6}) + 8,

where

t

is the number of hours after midnight. Find the rate at which the depth is changing at 6 a.m.

英語のヒント

[T] 波止場の水深（フィート）は潮の満ち引きで変化し、関数

D (t) = 5 sin (\frac{π}{6} t - \frac{7 π}{6}) + 8

でモデル化される。

t

は午前0時からの経過時間である。午前6時における水深の変化率を求めなさい。

Solution解き方

~ 2.3

ft/hr

~ 2.3

ft/時。

chain rule

合成関数の微分法（連鎖律）

the chain rule defines the derivative of a composite function as the derivative of the outer function evaluated at the inner function times the derivative of the inner function

合成関数の導関数は、「外側の関数を微分してから内側の関数を代入したもの」と「内側の関数の導関数」の積になるという法則。