第3章微分

Exercises 100–105練習問題 100–105

For the following exercises, use the following table, which shows the height

h

of the Saturn

V

rocket for the Apollo

11

mission

t

seconds after launch.

次の問題では、アポロ

11

号の飛行で使われたサターン

V

ロケットの、打ち上げ

t

秒後の高度

h

を示す表を使いなさい。

Time (seconds) 時間（秒）	Height (meters) 高度（メートル）
$0$	$0$
$1$	$2$
$2$	$4$
$3$	$13$
$4$	$25$
$5$	$32$

Exercise 100問題 100

What is the physical meaning of

h^{'} (t) ?

What are the units?

h^{'} (t)

の物理的な意味は何か。単位も示しなさい。

Exercise 101問題 101

[T] Construct a table of values for

h^{'} (t)

and graph both

h (t)

and

h^{'} (t)

on the same graph. (Hint: for interior points, estimate both the left limit and right limit and average them. An interior point of an interval I is an element of I which is not an endpoint of I.)

[T]

h^{'} (t)

の値の表を作り、

h (t)

と

h^{'} (t)

を同じグラフに描きなさい。（ヒント：区間の内点では、左側と右側からの極限をそれぞれ推定し、その平均をとる。区間Iの内点とは、Iに属する点のうち端点でないものをいう。）

Solution解き方

Time (seconds) 時間（秒）	$h^{'} (t) (m/s)$
$0$	$2$
$1$	$2$
$2$	$5.5$
$3$	$10.5$
$4$	$9.5$
$5$	$7$

Exercise 102問題 102

[T] The best linear fit to the data is given by

H (t) = 7.229 t - 4.905,

where

H

is the height of the rocket (in meters) and

t

is the time elapsed since takeoff. From this equation, determine

H^{'} (t) .

Graph

H (t)

with the given data and, on a separate coordinate plane, graph

H^{'} (t) .

[T] このデータに最もよく当てはまる一次関数は

H (t) = 7.229 t - 4.905

で与えられる。

H

はロケットの高度（メートル）、

t

は離陸からの経過時間である。この式から

H^{'} (t)

を求めなさい。与えられたデータとともに

H (t)

のグラフを描き、別の座標平面に

H^{'} (t)

のグラフを描きなさい。

Exercise 103問題 103

[T] The best quadratic fit to the data is given by

G (t) = 1.429 t^{2} + 0.0857 t - 0.1429,

where

G

is the height of the rocket (in meters) and

t

is the time elapsed since takeoff. From this equation, determine

G^{'} (t) .

Graph

G (t)

with the given data and, on a separate coordinate plane, graph

G^{'} (t) .

[T] このデータに最もよく当てはまる二次関数は

G (t) = 1.429 t^{2} + 0.0857 t - 0.1429

で与えられる。

G

はロケットの高度（メートル）、

t

は離陸からの経過時間である。この式から

G^{'} (t)

を求めなさい。与えられたデータとともに

G (t)

のグラフを描き、別の座標平面に

G^{'} (t)

のグラフを描きなさい。

Solution解き方

G^{'} (t) = 2.858 t + 0.0857

G^{'} (t) = 2.858 t + 0.0857

(0,0)、(1,2)、(2,4)、(3,13)、(4,25)、(5,32)の点を描いたグラフ。これらの点に当てはめた二次曲線があり、y切片は0に近い。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 104問題 104

[T] The best cubic fit to the data is given by

F (t) = 0.2037 t^{3} + 2.956 t^{2} - 2.705 t + 0.4683,

where

F

is the height of the rocket (in m) and

t

is the time elapsed since take off. From this equation, determine

F^{'} (t) .

Graph

F (t)

with the given data and, on a separate coordinate plane, graph

F^{'} (t) .

Does the linear, quadratic, or cubic function fit the data best?

[T] このデータに最もよく当てはまる三次関数は

F (t) = 0.2037 t^{3} + 2.956 t^{2} - 2.705 t + 0.4683

で与えられる。

F

はロケットの高度（メートル）、

t

は離陸からの経過時間である。この式から

F^{'} (t)

を求めなさい。与えられたデータとともに

F (t)

のグラフを描き、別の座標平面に

F^{'} (t)

のグラフを描きなさい。一次・二次・三次のうち、どの関数がデータに最もよく当てはまるか。

Exercise 105問題 105

Using the best linear, quadratic, and cubic fits to the data, determine what

H^{″} (t), G^{″} (t) and F^{″} (t)

are. What are the physical meanings of

H^{″} (t), G^{″} (t) and F^{″} (t),

and what are their units?

データに最もよく当てはまる一次・二次・三次関数を使い、

H^{″} (t), G^{″} (t) および F^{″} (t)

を求めなさい。

H^{″} (t), G^{″} (t) および F^{″} (t)

の物理的な意味と単位を説明しなさい。

Solution解き方

H^{″} (t) = 0, G^{″} (t) = 2.858 and f^{″} (t) = 1.222 t + 5.912

represent the acceleration of the rocket, with units of meters per second squared

({m/s}^{2}).

H^{″} (t) = 0, G^{″} (t) = 2.858 および f^{″} (t) = 1.222 t + 5.912

は、ロケットの加速度を表す。単位はメートル毎秒毎秒

({m/s}^{2}).

である。

derivative function

導関数

gives the derivative of a function at each point in the domain of the original function for which the derivative is defined

もとの関数の定義域のうち微分係数が定義される各点に、その点の微分係数を対応させる関数。

differentiable at a

aで微分可能

a function for which

f^{'} (a)

exists is differentiable at

a

f^{'} (a)

が存在する関数は、

a

で微分可能である。

differentiable on S

S上で微分可能

a function for which

f^{'} (x)

exists for each

x

in the open set

S

is differentiable on

S

開集合

S

の各点

x

で

f^{'} (x)

が存在する関数は、

S

上で微分可能である。

differentiable function

微分可能な関数

a function for which

f^{'} (x)

exists is a differentiable function

定義域の各点で

f^{'} (x)

が存在する関数。

higher-order derivative

高階導関数

a derivative of a derivative, from the second derivative to the nth derivative, is called a higher-order derivative

導関数をさらに微分して得られる、第2次から第n次までの導関数を、高階導関数という。