第3章微分

Population Change個体数・人口の変化

Changes in Cost and Revenue費用と収入の変化

Key Concepts重要な概念

• Using $f\left(a+h\right)\approx f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)h,$ it is possible to estimate $f\left(a+h\right)$ given $f^{\prime }\left(a\right)$ and $f\left(a\right).$

  $f^{\prime }\left(a\right)$と$f\left(a\right)$がわかれば、$f\left(a+h\right)\approx f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)h$を使って$f\left(a+h\right)$を推定できる。
• The rate of change of position is velocity, and the rate of change of velocity is acceleration. Speed is the absolute value, or magnitude, of velocity.

  位置の変化率は速度、速度の変化率は加速度である。速さは速度の絶対値、すなわち大きさである。
• The population growth rate and the present population can be used to predict the size of a future population.

  現在の人口・個体数とその増加率を使って、将来の規模を予測できる。
• Marginal cost, marginal revenue, and marginal profit functions can be used to predict, respectively, the cost of producing one more item, the revenue obtained by selling one more item, and the profit obtained by producing and selling one more item.

  限界費用・限界収入・限界利益の各関数は、それぞれ、さらに1個生産するときの費用、さらに1個販売したときの収入の増加分、さらに1個生産・販売したときの利益の増加分の予測に使える。

Exercises 150–166練習問題 150–166

For the following exercises, the given functions represent the position of a particle traveling along a horizontal line; $t\ge 0$.

次の問題で与えられた関数は、水平な直線上を動く質点の位置を表す。$t\ge 0$とする。

1. Find the velocity and acceleration functions.

   速度関数と加速度関数を求めなさい。
2. Determine the time intervals when the object is slowing down or speeding up.

   物体の速さが小さくなる時間区間と、大きくなる時間区間を求めなさい。

Exercise 150問題 150

$s\left(t\right)=2t^3-3t^2-12t+8$

$s\left(t\right)=2t^3-3t^2-12t+8$

Exercise 151問題 151

$s\left(t\right)=2t^3-15t^2+36t-10$

$s\left(t\right)=2t^3-15t^2+36t-10$

Solution解き方

a. $v\left(t\right)=6t^2-30t+36,a\left(t\right)=12t-30;$ b. speeds up $\left(2,2.5\right){\displaystyle \cup }\left(3,\infty \right),$ slows down $\left(0,2\right){\displaystyle \cup }\left(2.5,3\right)$

a. $v\left(t\right)=6t^2-30t+36,a\left(t\right)=12t-30$　b. $\left(2,2.5\right){\displaystyle \cup }\left(3,\infty \right)$で速さが増し、$\left(0,2\right){\displaystyle \cup }\left(2.5,3\right)$で速さが小さくなる。

Exercise 152問題 152

$s\left(t\right)=\frac{t}{1+t^2}$

$s\left(t\right)=\frac{t}{1+t^2}$

Exercise 153問題 153

A model rocket is fired vertically upward from the ground. The distance $s$ in feet that the rocket travels from the ground after $t$ seconds is given by $s\left(t\right)=\mathrm{-16}{t}^2+560t.$

模型ロケットを地面から鉛直上向きに発射する。$t$秒後の地面からの高さ$s$は、フィート単位で$s\left(t\right)=\mathrm{-16}{t}^2+560t$と表される。

1. Find the velocity of the rocket 3 seconds after being fired.

   発射3秒後のロケットの速度を求めなさい。
2. Find the acceleration of the rocket 3 seconds after being fired.

   発射3秒後のロケットの加速度を求めなさい。

Solution解き方

a. $464{\text{ft/s}}^2$ b. $\mathrm{-32}{\text{ft/s}}^2$

a. $464{\text{ft/s}}^2$ b. $\mathrm{-32}{\text{ft/s}}^2$

Exercise 154問題 154

A ball is thrown downward with a speed of 8 ft/s from the top of a 64-foot-tall building. After t seconds, its height above the ground is given by $s\left(t\right)=\mathrm{-16}{t}^2-8t+64.$

高さ64フィートの建物の屋上から、ボールを8 ft/sの速さで真下に投げる。t秒後の地面からの高さは、$s\left(t\right)=\mathrm{-16}{t}^2-8t+64$で与えられる。

1. Determine how long it takes for the ball to hit the ground.

   ボールが地面に当たるまでの時間を求めなさい。
2. Determine the velocity of the ball when it hits the ground.

   地面に当たるときのボールの速度を求めなさい。

Exercise 155問題 155

The position function $s\left(t\right)=t^2-3t-4$ represents the position of the back of a car backing out of a driveway and then driving in a straight line, where $s$ is in feet and $t$ is in seconds. In this case, $s\left(t\right)=0$ represents the time at which the back of the car is at the garage door, so $s\left(0\right)=\mathrm{-4}$ is the starting position of the car, 4 feet inside the garage.

車が車庫から後退して出て、そのまま直線上を走る。車の後端の位置を、関数$s\left(t\right)=t^2-3t-4$で表す。$s$の単位はフィート、$t$の単位は秒である。$s\left(t\right)=0$は車の後端が車庫の扉に達する条件を表す。初期位置$s\left(0\right)=\mathrm{-4}$は、車庫の内側4フィートの位置である。

1. Determine the velocity of the car when $s\left(t\right)=0.$

   $s\left(t\right)=0$となるときの車の速度を求めなさい。
2. Determine the velocity of the car when $s\left(t\right)=14.$

   $s\left(t\right)=14$となるときの車の速度を求めなさい。

Solution解き方

a. 5 ft/s b. 9 ft/s

a. 5 ft/s　b. 9 ft/s

Exercise 156問題 156

The position of a hummingbird flying along a straight line in $t$ seconds is given by $s\left(t\right)=3t^3-7t$ meters.

直線上を飛ぶハチドリの$t$秒後の位置を、メートル単位で$s\left(t\right)=3t^3-7t$と表す。

1. Determine the velocity of the bird at $t=1$ sec.

   $t=1$秒における鳥の速度を求めなさい。
2. Determine the acceleration of the bird at $t=1$ sec.

   $t=1$秒における鳥の加速度を求めなさい。
3. Determine the acceleration of the bird when the velocity equals 0.

   速度が0となるときの鳥の加速度を求めなさい。

Exercise 157問題 157

A potato is launched vertically upward with an initial velocity of 100 ft/s from a potato gun at the top of an 85-foot-tall building. The position of the potato relative to the ground after $t$ seconds is given by $s\left(t\right)=\mathrm{-16}{t}^2+100t+85.$

高さ85フィートの建物の屋上で、ジャガイモを飛ばす装置から、初速度100 ft/sで鉛直上向きにジャガイモを発射する。$t$秒後の地面に対する位置は、$s\left(t\right)=\mathrm{-16}{t}^2+100t+85$で与えられる。

1. Find the velocity of the potato after $0.5\text{s}$ and $5.75\text{s}.$

   $0.5\text{s}$後と$5.75\text{s}$後のジャガイモの速度を求めなさい。
2. Find the speed of the potato at 0.5 s and 5.75 s.

   0.5秒後と5.75秒後のジャガイモの速さを求めなさい。
3. Determine when the potato reaches its maximum height.

   ジャガイモが最高点に達する時刻を求めなさい。
4. Find the acceleration of the potato at 0.5 s and 1.5 s.

   0.5秒後と1.5秒後のジャガイモの加速度を求めなさい。
5. Determine how long the potato is in the air.

   ジャガイモが空中にある時間を求めなさい。
6. Determine the velocity of the potato upon hitting the ground.

   地面に当たる瞬間のジャガイモの速度を求めなさい。

Solution解き方

a. 84 ft/s, −84 ft/s b. 84 ft/s c. $\frac{25}{8}\text{s}$ d. $\mathrm{-32}{\text{ft/s}}^2$ in both cases e. $\frac{1}{8}\left(25+\sqrt{965}\right)\text{s}$ f. $\mathrm{-4}\sqrt{965}\text{ft/s}$

a. 84 ft/s、−84 ft/s　b. どちらも84 ft/s　c. $\frac{25}{8}\text{s}$　d. どちらも$\mathrm{-32}{\text{ft/s}}^2$　e. $\frac{1}{8}\left(25+\sqrt{965}\right)\text{s}$　f. $\mathrm{-4}\sqrt{965}\text{ft/s}$

Exercise 158問題 158

The position function $s\left(t\right)=t^3-8t$ gives the position in miles of a freight train where east is the positive direction and $t$ is measured in hours.

東向きを正とする貨物列車の位置を、マイル単位で$s\left(t\right)=t^3-8t$と表す。$t$の単位は時間である。

1. Determine the direction the train is traveling when $s\left(t\right)=0.$

   $s\left(t\right)=0$のとき、列車はどちらに進んでいるか。
2. Determine the direction the train is traveling when $a\left(t\right)=0.$

   $a\left(t\right)=0$のとき、列車はどちらに進んでいるか。
3. Determine the time intervals when the train is slowing down or speeding up.

   列車の速さが小さくなる時間区間と、大きくなる時間区間を求めなさい。

Exercise 159問題 159

The following graph shows the position $y=s\left(t\right)$ of an object moving along a straight line.

次のグラフは、直線上を運動する物体の位置$y=s\left(t\right)$を示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

1. Use the graph of the position function to determine the time intervals when the velocity is positive, negative, or zero.

   位置のグラフから、速度が正・負・0となる時間区間を求めなさい。
2. Sketch the graph of the velocity function.

   速度関数のグラフの概形を描きなさい。
3. Use the graph of the velocity function to determine the time intervals when the acceleration is positive, negative, or zero.

   速度関数のグラフから、加速度が正・負・0となる時間区間を求めなさい。
4. Determine the time intervals when the object is speeding up or slowing down.

   物体の速さが大きくなる時間区間と、小さくなる時間区間を求めなさい。

Solution解き方

a. Velocity is positive on $\left(0,1.5\right){\displaystyle \cup }\left(6,7\right),$ negative on $\left(1.5,2\right){\displaystyle \cup }\left(5,6\right),$ and zero on $\left(2,5\right).$ b.

a. 速度は$\left(0,1.5\right){\displaystyle \cup }\left(6,7\right)$で正、$\left(1.5,2\right){\displaystyle \cup }\left(5,6\right)$で負、$\left(2,5\right)$で0となる。　b.

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

c. Acceleration is positive on $\left(5,7\right),$ negative on $\left(0,2\right),$ and zero on $\left(2,5\right).$ d. The object is speeding up on $\left(6,7\right){\displaystyle \cup }\left(1.5,2\right)$ and slowing down on $\left(0,1.5\right){\displaystyle \cup }\left(5,6\right).$

c. 加速度は$\left(5,7\right)$で正、$\left(0,2\right)$で負、$\left(2,5\right)$で0となる。　d. 物体の速さは$\left(6,7\right){\displaystyle \cup }\left(1.5,2\right)$で増し、$\left(0,1.5\right){\displaystyle \cup }\left(5,6\right)$で小さくなる。

Exercise 160問題 160

The cost function, in dollars, of a company that manufactures food processors is given by $C\left(x\right)=200+\frac{7}{x}+\frac{x^2}{7},$ where $x$ is the number of food processors manufactured.

フードプロセッサーを製造する会社の費用関数を、ドル単位で$C\left(x\right)=200+\frac{7}{x}+\frac{x^2}{7}$とする。$x$は製造台数である。

1. Find the marginal cost function.

   限界費用関数を求めなさい。
2. Use the marginal cost function to estimate the cost of manufacturing the thirteenth food processor.

   限界費用関数を使って、13台目の製造にかかる追加費用を推定しなさい。
3. Find the actual cost of manufacturing the thirteenth food processor.

   13台目の製造にかかる実際の追加費用を求めなさい。

Exercise 161問題 161

The price $p$ (in dollars) and the demand $x$ for a certain digital clock radio is given by the price–demand function $p=10-0.001x.$

あるデジタル時計付きラジオの価格$p$（ドル）と需要量$x$の関係は、価格・需要関数$p=10-0.001x$で表される。

1. Find the revenue function $R\left(x\right).$

   収入関数$R\left(x\right)$を求めなさい。
2. Find the marginal revenue function.

   限界収入関数を求めなさい。
3. Find the marginal revenue at $x=2000$ and $5000.$

   $x=2000$と$5000.$における限界収入を求めなさい。

Solution解き方

a. $R\left(x\right)=10x-0.001x^2$ b. $R^{\prime }\left(x\right)=10-0.002x$ c. $6 per item, $0 per item

a. $R\left(x\right)=10x-0.001x^2$　b. $R^{\prime }\left(x\right)=10-0.002x$　c. 1台当たり6ドル、1台当たり0ドル。

Exercise 162問題 162

[T] A profit is earned when revenue exceeds cost. Suppose the profit function for a skateboard manufacturer is given by $P\left(x\right)=30x-0.3x^2-250,$ where $x$ is the number of skateboards sold.

[T] 収入が費用を上回ると利益が生じる。スケートボードメーカーの利益関数を$P\left(x\right)=30x-0.3x^2-250$とする。$x$は販売枚数である。

1. Find the exact profit from the sale of the thirtieth skateboard.

   30枚目の販売による利益の増加分を、正確に求めなさい。
2. Find the marginal profit function and use it to estimate the profit from the sale of the thirtieth skateboard.

   限界利益関数を求め、それを使って30枚目の販売による利益の増加分を推定しなさい。

Exercise 163問題 163

[T] In general, the profit function is the difference between the revenue and cost functions: $P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right).$

[T] 一般に、利益関数は収入関数と費用関数の差である。$P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)$

Suppose the price-demand and cost functions for the production of cordless drills is given respectively by $p=143-0.03x$ and $C\left(x\right)=\mathrm{75,000}+65x,$ where $x$ is the number of cordless drills that are sold at a price of $p$ dollars per drill and $C\left(x\right)$ is the cost of producing $x$ cordless drills.

英語のヒント

コードレスドリルの生産について、価格・需要関数と費用関数が、それぞれ$p=143-0.03x$、$C\left(x\right)=\mathrm{75,000}+65x$で与えられるとする。$x$は1台$p$ドルで売れる台数、$C\left(x\right)$は$x$台の生産費用である。

1. Find the marginal cost function.

   限界費用関数を求めなさい。
2. Find the revenue and marginal revenue functions.

   収入関数と限界収入関数を求めなさい。
3. Find $R^{\prime }(1000)$ and $R^{\prime }(4000).$ Interpret the results.

   $R^{\prime }(1000)$と$R^{\prime }(4000)$を求め、結果の意味を説明しなさい。
4. Find the profit and marginal profit functions.

   利益関数と限界利益関数を求めなさい。
5. Find $P^{\prime }(1000)$ and $P^{\prime }(4000).$ Interpret the results.

   $P^{\prime }(1000)$と$P^{\prime }(4000)$を求め、結果の意味を説明しなさい。

Solution解き方

a. $C^{\prime }\left(x\right)=65$ b. $R\left(x\right)=143x-0.03x^2,R^{\prime }\left(x\right)=143-0.06x$ c. $83,\mathrm{-97}.$ At a production level of 1000 cordless drills, revenue is increasing at a rate of $83 per drill; at a production level of 4000 cordless drills, revenue is decreasing at a rate of $97 per drill. d. $P\left(x\right)=\mathrm{-0.03}{x}^2+78x-75000,P^{\prime }\left(x\right)=\mathrm{-0.06}x+78$ e. $18,\mathrm{-162}.$ At a production level of 1000 cordless drills, profit is increasing at a rate of $18 per drill; at a production level of 4000 cordless drills, profit is decreasing at a rate of $162 per drill.

a. $C^{\prime }\left(x\right)=65$b. $R\left(x\right)=143x-0.03x^2,R^{\prime }\left(x\right)=143-0.06x$c. $83,\mathrm{-97}$。生産量1000台では、1台増やすごとに収入が83ドルの割合で増加する。4000台では、1台増やすごとに収入が97ドルの割合で減少する。d. $P\left(x\right)=\mathrm{-0.03}{x}^2+78x-75000,P^{\prime }\left(x\right)=\mathrm{-0.06}x+78$e. $18,\mathrm{-162}$。生産量1000台では、1台増やすごとに利益が18ドルの割合で増加する。4000台では、1台増やすごとに利益が162ドルの割合で減少する。

Exercise 164問題 164

A small town in Ohio commissioned an actuarial firm to conduct a study that modeled the rate of change of the town’s population. The study found that the town’s population (measured in thousands of people) can be modeled by the function $P\left(t\right)=-\frac{1}{3}{t}^3+64t+3000,$ where $t$ is measured in years.

英語のヒント

オハイオ州の小さな町が、保険数理の専門会社に人口の変化率をモデル化する調査を委託した。調査では、町の人口を千人単位で$P\left(t\right)=-\frac{1}{3}{t}^3+64t+3000$という関数によりモデル化した。$t$の単位は年である。

1. Find the rate of change function $P^{\prime }\left(t\right)$ of the population function.

   人口の変化率を表す関数$P^{\prime }\left(t\right)$を求めなさい。
2. Find $P^{\prime }\left(1\right),P^{\prime }\left(2\right),P^{\prime }\left(3\right),$ and $P^{\prime }\left(4\right).$ Interpret what the results mean for the town.

   $P^{\prime }\left(1\right),P^{\prime }\left(2\right),P^{\prime }\left(3\right)$および$P^{\prime }\left(4\right)$を求め、その結果が町にとって何を意味するか説明しなさい。
3. Find $P^{″}\left(1\right),P^{″}\left(2\right),P^{″}\left(3\right),$ and $P^{″}\left(4\right).$ Interpret what the results mean for the town’s population.

   $P^{″}\left(1\right),P^{″}\left(2\right),P^{″}\left(3\right)$および$P^{″}\left(4\right)$を求め、その結果が町の人口について何を意味するか説明しなさい。

Exercise 165問題 165

[T] A culture of bacteria grows in number according to the function $N\left(t\right)=3000\left(1+\frac{4t}{t^2+100}\right),$ where $t$ is measured in hours.

[T] 培養した細菌の個体数が、関数$N\left(t\right)=3000\left(1+\frac{4t}{t^2+100}\right)$に従って変化する。$t$の単位は時間である。

1. Find the rate of change of the number of bacteria.

   細菌の個体数の変化率を求めなさい。
2. Find $N^{\prime }\left(0\right),N^{\prime }\left(10\right),N^{\prime }\left(20\right),$ and $N^{\prime }\left(30\right).$

   $N^{\prime }\left(0\right),N^{\prime }\left(10\right),N^{\prime }\left(20\right)$および$N^{\prime }\left(30\right)$を求めなさい。
3. Interpret the results in (b).

   (b)の結果を解釈しなさい。
4. Find $N^{″}\left(0\right),N^{″}\left(10\right),N^{″}\left(20\right),$ and $N^{″}\left(30\right).$ Interpret what the answers imply about the bacteria population growth.

   $N^{″}\left(0\right),N^{″}\left(10\right),N^{″}\left(20\right)$および$N^{″}\left(30\right)$を求め、その結果が細菌の個体数の増え方について何を意味するか説明しなさい。

Solution解き方

a. $N^{\prime }\left(t\right)=3000\left(\frac{\mathrm{-4}{t}^2+400}{{\left(t^2+100\right)}^2}\right)$ b. $120,0,\mathrm{-14.4},\mathrm{-9.6}$ c. The bacteria population increases from time 0 to 10 hours; afterwards, the bacteria population decreases. d. $0,\mathrm{-6},0.384,0.432.$ The rate at which the bacteria is increasing is decreasing during the first 10 hours. Afterwards, the bacteria population is decreasing at a decreasing rate.

a. $N^{\prime }\left(t\right)=3000\left(\frac{\mathrm{-4}{t}^2+400}{{\left(t^2+100\right)}^2}\right)$b. $120,0,\mathrm{-14.4},\mathrm{-9.6}$c. 個体数は0時間から10時間まで増加し、その後は減少する。d. $0,\mathrm{-6},0.384,0.432$。最初の10時間は、増加の勢いが弱まっていく。20時間後と30時間後では、個体数は減少しているが、減少の速さは小さくなっている。

Exercise 166問題 166

The centripetal force of an object of mass $m$ is given by $F\left(r\right)=\frac{m{v}^2}{r},$ where $v$ is the speed of rotation and $r$ is the distance from the center of rotation.

英語のヒント

質量$m$の物体に働く向心力を、$F\left(r\right)=\frac{m{v}^2}{r}$で表す。$v$は円運動の速さ、$r$は回転中心からの距離である。

1. Find the rate of change of centripetal force with respect to the distance from the center of rotation.

   回転中心からの距離に対する、向心力の変化率を求めなさい。
2. Find the rate of change of centripetal force of an object with mass 1000 kilograms, velocity of 13.89 m/s, and a distance from the center of rotation of 200 meters.

   質量1000キログラム、速さ13.89 m/s、回転中心からの距離200メートルの物体について、距離に対する向心力の変化率を求めなさい。