プリンキピア

第12章線形回帰と相関

The Coefficient of Determination決定係数

The variable r2 is called the coefficient of determination and is the square of the correlation coefficient, but is usually stated as a percent, rather than in decimal form. It has an interpretation in the context of the data:
英語のヒント
r2は決定係数と呼ばれ、相関係数の二乗である。ただし、通常は小数ではなく百分率で表す。データの文脈では、次のように解釈できる。
  • r 2 , when expressed as a percent, represents the percent of variation in the dependent (predicted) variable y that can be explained by variation in the independent (explanatory) variable x using the regression (best-fit) line.
    英語のヒント
    r 2 を百分率で表した値は、従属変数（予測される変数）yの変動のうち、回帰直線（最適直線）を用いて独立変数（説明変数）xの変動で説明できる割合を示す。
  • 1 – r 2 , when expressed as a percentage, represents the percent of variation in y that is NOT explained by variation in x using the regression line. This can be seen as the scattering of the observed data points about the regression line.
    1 − r 2 を百分率で表した値は、yの変動のうち、回帰直線を用いたxの変動では説明できない割合を示す。これは、観測されたデータ点の回帰直線の周りへの散らばりとして見られる。
Consider the third exam/final exam example introduced in the previous section
前の節で紹介した「第3回試験と期末試験の例」を考えよう。
  • The line of best fit is: ŷ = –173.51 + 4.83x
    最適な当てはめ直線：ŷ = −173.51 + 4.83x
  • The correlation coefficient is r = 0.6631
    相関係数：r = 0.6631
  • The coefficient of determination is r2 = 0.66312 = 0.4397
    決定係数：r2 = 0.66312 = 0.4397
  • Interpretation of r2 in the context of this example:
    この例でのr2の解釈：
  • Approximately 44% of the variation (0.4397 is approximately 0.44) in the final-exam grades can be explained by the variation in the grades on the third exam, using the best-fit regression line.
    期末試験の成績の変動の約44%（0.4397は約0.44）は、最適な回帰直線を使って、第3回試験の成績の変動で説明できる。
  • Therefore, approximately 56% of the variation (1 – 0.44 = 0.56) in the final exam grades can NOT be explained by the variation in the grades on the third exam, using the best-fit regression line. (This is seen as the scattering of the points about the line.)
    したがって、期末試験の成績の変動の約56%（1 − 0.44 = 0.56）は、最適な回帰直線を使った第3回試験の成績の変動では説明できない。（これは、直線の周りへの点の散らばりとして見られる。）

Chapter Review章の復習

A regression line, or a line of best fit, can be drawn on a scatter plot and used to predict outcomes for the x and y variables in a given data set or sample data. There are several ways to find a regression line, but usually the least-squares regression line is used because it creates a uniform line. Residuals, also called “errors,” measure the distance from the actual value of y and the estimated value of y. The Sum of Squared Errors, when set to its minimum, calculates the points on the line of best fit. Regression lines can be used to predict values within the given set of data, but should not be used to make predictions for values outside the set of data.
回帰直線、すなわち最適な当てはめ直線は、散布図上に描き、与えられたデータ集合や標本のxとyの値の予測に使える。回帰直線を求める方法はいくつかあるが、通常は一意的な直線を得られる最小二乗回帰直線を用いる。残差は「誤差」とも呼ばれ、yの実際の値と推定値の間の距離を測る。誤差平方和を最小にすると、最適直線上の点が求まる。回帰直線は与えられたデータ集合の範囲内の値を予測するために使えるが、範囲外の値の予測に使うべきではない。
The correlation coefficient r measures the strength of the linear association between x and y. The variable r has to be between –1 and +1. When r is positive, the x and y will tend to increase and decrease together. When r is negative, x will increase and y will decrease, or the opposite, x will decrease and y will increase. The coefficient of determination r2, is equal to the square of the correlation coefficient. When expressed as a percent, r2 represents the percent of variation in the dependent variable y that can be explained by variation in the independent variable x using the regression line.
相関係数rは、xとyの線形の関連の強さを測る。rは−1から+1の間でなければならない。rが正なら、xとyは一緒に増減する傾向がある。rが負なら、xが増えるとyが減り、反対にxが減るとyが増える。決定係数r2は、相関係数の二乗に等しい。r2を百分率で表すと、従属変数yの変動のうち、回帰直線を使って独立変数xの変動で説明できる割合となる。
Exercises 27–34練習問題 27–34
Use the following information to answer the next five exercises. A random sample of ten professional athletes produced the following data where x is the number of endorsements the player has and y is the amount of money made (in millions of dollars).
英語のヒント
次の情報を使って、続く5問に答えよう。プロのスポーツ選手10人を無作為に抽出し、次のデータが得られた。xは選手の広告契約数、yは収入額（百万ドル）である。
x
y
x
y
0
2
5
12
3
8
4
9
2
7
3
9
1
3
0
3
5
13
4
10
Table 12.11表 12.11
Exercise 27問題 27
Draw a scatter plot of the data.
データの散布図を描こう。
Exercise 28問題 28
Use regression to find the equation for the line of best fit.
回帰を使って、最適な当てはめ直線の方程式を求めよう。
Solution解き方
ŷ = 2.23 + 1.99x
Exercise 29問題 29
Draw the line of best fit on the scatter plot.
散布図に最適な当てはめ直線を描こう。
Exercise 30問題 30
What is the slope of the line of best fit? What does it represent?
最適な当てはめ直線の傾きはいくつか。何を表すか。
Solution解き方
The slope is 1.99 (b = 1.99). It means that for every endorsement deal a professional player gets, he gets an average of another $1.99 million in pay each year.
傾きは1.99である（b = 1.99）。これは、プロ選手が広告契約を一つ獲得するごとに、年収が平均199万ドル増えることを意味する。
Exercise 31問題 31
What is the y-intercept of the line of best fit? What does it represent?
最適な当てはめ直線のy切片はいくつか。何を表すか。
Exercise 32問題 32
What does an r value of zero mean?
rの値が0であることは、何を意味するか。
Solution解き方
It means that there is no correlation between the data sets.
データ集合間に相関がないことを意味する。
Exercise 33問題 33
When n = 2 and r = 1, are the data significant? Explain.
n = 2、r = 1のとき、データは有意か。説明しよう。
Exercise 34問題 34
When n = 100 and r = -0.89, is there a significant correlation? Explain.
n = 100、r = −0.89のとき、有意な相関はあるか。説明しよう。
Solution解き方
Yes, there are enough data points and the value of r is strong enough to show that there is a strong negative correlation between the data sets.
ある。データ点が十分に多く、rの値も、データ集合間の強い負の相関を示すのに十分だからである。