プリンキピア

第12章線形回帰と相関

12.5 Prediction12.5　予測

We examined the scatterplot and showed that the correlation coefficient is significant. We found the equation of the best-fit line for the final exam grade as a function of the grade on the third-exam. We can now use the least-squares regression line for prediction.
散布図を調べ、相関係数が有意であることを示した。そして、第3回試験の得点の関数として期末試験の得点を表す、最適な当てはめ直線の方程式を求めた。これで、最小二乗回帰直線を予測に使える。
Suppose you want to estimate, or predict, the mean final exam score of statistics students who received 73 on the third exam. The exam scores (x-values) range from 65 to 75. Since 73 is between the x-values 65 and 75, substitute x = 73 into the equation. Then:
第3回試験が73点だった統計学の学生の、期末試験の平均得点を推定・予測したいとする。試験得点xの範囲は65～75である。73は65と75の間にあるので、方程式にx = 73を代入する。すると、
y ^ =−173.51+4.83(73)=179.08
We predict that statistics students who earn a grade of 73 on the third exam will earn a grade of 179.08 on the final exam, on average.
第3回試験が73点だった統計学の学生は、期末試験では平均179.08点を取ると予測する。
Example 12.11例題 12.11
a. What would you predict the final exam score to be for a student who scored a 66 on the third exam?
a. 第3回試験が66点だった学生の期末試験の得点を、何点と予測するか。
b. What would you predict the final exam score to be for a student who scored a 90 on the third exam?
b. 第3回試験が90点だった学生の期末試験の得点を、何点と予測するか。
Solution解き方
a. 145.27
b. The x values in the data are between 65 and 75. Ninety is outside of the domain of the observed x values in the data (independent variable), so you cannot reliably predict the final exam score for this student. (Even though it is possible to enter 90 into the equation for x and calculate a corresponding y value, the y value that you get will not be reliable.)
To understand really how unreliable the prediction can be outside of the observed x values observed in the data, make the substitution x = 90 into the equation.

y ^ = –173.51 + 4.83 ( 90 ) = 261.19

The final-exam score is predicted to be 261.19. The largest the final-exam score can be is 200.
b. データのxは65～75の間である。90は観測された独立変数xの範囲外なので、この学生の期末試験の得点を信頼できる形で予測することはできない。（方程式のxに90を代入して対応するyを計算すること自体は可能だが、そのyは信頼できない。）観測されたxの範囲外の予測がどれほど当てにならないかを理解するため、方程式にx = 90を代入しよう。 y ^ = –173.51 + 4.83 ( 90 ) = 261.19 。期末試験の得点は261.19点と予測される。しかし、期末試験の最高点は200点である。

References参考文献

Data from the Centers for Disease Control and Prevention.
データ出典：米国疾病予防管理センター。
Data from the National Center for agency reporting flu cases and TB Prevention.
データ出典：インフルエンザ症例報告および結核予防を担当する国立センター。
Data from the United States Census Bureau. Available online at http://www.census.gov/compendia/statab/cats/transportation/motor_vehicle_accidents_and_fatalities.html
データ出典：米国国勢調査局。http://www.census.gov/compendia/statab/cats/transportation/motor_vehicle_accidents_and_fatalities.htmlで閲覧できる。
Data from the National Center for Health Statistics.
データ出典：米国国立保健統計センター。

Chapter Review章の復習

After determining the presence of a strong correlation coefficient and calculating the line of best fit, you can use the least squares regression line to make predictions about your data.
強い相関係数が得られることを確認して最適な当てはめ直線を計算した後は、最小二乗回帰直線を使ってデータについて予測できる。
Exercises 41–42練習問題 41–42
Use the following information to answer the next two exercises. An electronics retailer used regression to find a simple model to predict sales growth in the first quarter of the new year (January through March). The model is good for 90 days, where x is the day. The model can be written as follows:
英語のヒント
次の情報を使って、続く2問に答えよう。家電小売業者が回帰を使い、新年の第1四半期（1～3月）の売上増加を予測する単純なモデルを求めた。このモデルは90日間有効であり、xは日数である。モデルは次のように書ける。
ŷ = 101.32 + 2.48x where ŷ is in thousands of dollars.
ŷ = 101.32 + 2.48x。ŷの単位は千ドルである。
Exercise 41問題 41
What would you predict the sales to be on day 60?
60日目の売上をいくらと予測するか。
Solution解き方
$250,120
Exercise 42問題 42
What would you predict the sales to be on day 90?
90日目の売上をいくらと予測するか。
Exercises 43–45練習問題 43–45

Use the following information to answer the next three exercises. A landscaping company is hired to mow the grass for several large properties. The total area of the properties combined is 1,350 acres. The rate at which one person can mow is as follows:
英語のヒント
次の情報を使って、続く3問に答えよう。造園会社が、いくつかの広大な敷地の芝刈りを請け負った。敷地の合計面積は1,350エーカーである。1人で芝を刈る速度は次のように表される。
ŷ = 1350 – 1.2x where x is the number of hours and ŷ represents the number of acres left to mow.
ŷ = 1350 − 1.2x。xは作業時間数、ŷはまだ刈っていない面積（エーカー）を表す。
Exercise 43問題 43
How many acres will be left to mow after 20 hours of work?
20時間働いた後、何エーカーが残っているか。
Solution解き方
1,326 acres
1,326エーカー
Exercise 44問題 44
How many acres will be left to mow after 100 hours of work?
100時間働いた後、何エーカーが残っているか。
Exercise 45問題 45
How many hours will it take to mow all of the lawns? (When is ŷ = 0?)
すべての芝を刈るには何時間かかるか。（ŷ = 0になるのはいつか。）
Solution解き方
1,125 hours, or when x = 1,125
1,125時間、すなわちx = 1,125のとき。
Exercises 46–60練習問題 46–60
Table 12.12 contains real data for the first two decades of flu cases reporting.
表12.12には、インフルエンザ症例の報告が始まってから最初の20年間の実際のデータがある。

Adults and Adolescents only, United States成人および青少年のみ、米国

Year
年
# flu cases diagnosed
診断されたインフルエンザ症例数
# flu deaths
インフルエンザによる死亡数
Pre-1981
1981年より前
91
29
1981
319
121
1982
1,170
453
1983
3,076
1,482
1984
6,240
3,466
1985
11,776
6,878
1986
19,032
11,987
1987
28,564
16,162
1988
35,447
20,868
1989
42,674
27,591
1990
48,634
31,335
1991
59,660
36,560
1992
78,530
41,055
1993
78,834
44,730
1994
71,874
49,095
1995
68,505
49,456
1996
59,347
38,510
1997
47,149
20,736
1998
38,393
19,005
1999
25,174
18,454
2000
25,522
17,347
2001
25,643
17,402
2002
26,464
16,371
Total
合計
802,118
489,093
Table 12.12表 12.12
Exercise 46問題 46
Graph “year” versus “# flu cases diagnosed” (plot the scatter plot). Do not include pre-1981 data.
「年」と「診断されたインフルエンザ症例数」のグラフ（散布図）を描こう。1981年より前のデータは含めない。
Exercise 47問題 47
Perform linear regression. What is the linear equation? Round to the nearest whole number.
線形回帰を行おう。一次方程式はどうなるか。最も近い整数に丸める。
Solution解き方
Answers may vary.
解答はさまざまである。
Exercise 48問題 48
Find the correlation coefficient.
相関係数を求めよう。
  1. r = ________
Exercise 49問題 49
Solve.
求めよう。
  1. When x = 1985, ŷ = _____
    x = 1985のとき、ŷ = _____
  2. When x = 1990, ŷ =_____
    x = 1990のとき、ŷ = _____
  3. When x = 1970, ŷ =______ Why doesn’t this answer make sense?
    x = 1970のとき、ŷ = ______。なぜこの答えは意味をなさないのか。
Solution解き方
  1. When x = 1985, ŷ = 25,52
    x = 1985のとき、ŷ = 25,52
  2. When x = 1990, ŷ = 34,275
    x = 1990のとき、ŷ = 34,275
  3. When x = 1970, ŷ = –725 Why doesn’t this answer make sense? The range of x values was 1981 to 2002; the year 1970 is not in this range. The regression equation does not apply, because predicting for the year 1970 is extrapolation, which requires a different process. Also, a negative number does not make sense in this context, where we are predicting flu cases diagnosed.
    x = 1970のとき、ŷ = −725。なぜこの答えは意味をなさないのか。xの範囲は1981～2002であり、1970年は含まれない。1970年についての予測は別の手順を必要とする外挿なので、この回帰方程式は適用できない。また、診断されたインフルエンザ症例数を予測するこの状況では、負の数は意味をなさない。
Exercise 50問題 50
Does the line seem to fit the data? Why or why not?
直線はデータに適合しているように見えるか。その理由を述べよう。
Exercise 51問題 51
What does the correlation imply about the relationship between time (years) and the number of diagnosed flu cases reported in the U.S.?
この相関は、時間（年）と、米国で報告されたインフルエンザ診断症例数との関係について何を示唆するか。
Solution解き方
Also, the correlation r = 0.4526. If r is compared to the value in the 95% Critical Values of the Sample Correlation Coefficient Table, because r > 0.423, r is significant, and you would think that the line could be used for prediction. But the scatter plot indicates otherwise.
また、相関係数r = 0.4526である。標本相関係数の95%臨界値表と比べると、r > 0.423なのでrは有意であり、直線を予測に使えると思うだろう。しかし、散布図はそうではないことを示している。
Exercise 52問題 52
Plot the two given points on the following graph. Then, connect the two points to form the regression line.
次のグラフに、与えられた2点を描こう。次に2点を結び、回帰直線を作ろう。
横軸と縦軸のある空のグラフ。

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Figure 12.26図 12.26
Obtain the graph on your calculator or computer.
電卓またはコンピューターでグラフを求めよう。
Exercise 53問題 53
Write the equation: ŷ= ____________
方程式を書こう：ŷ = ____________
Solution解き方
y ^ = –3,448,225 + 1750x
y ^ = −3,448,225 + 1750x
Exercise 54問題 54
Hand draw a smooth curve on the graph that shows the flow of the data.
データの流れを示す滑らかな曲線を、グラフに手で描こう。
Exercise 55問題 55
Does the line seem to fit the data? Why or why not?
直線はデータに適合しているように見えるか。その理由を述べよう。
Solution解き方
There was an increase in flu cases diagnosed until 1993. From 1993 through 2002, the number of flu cases diagnosed declined each year. It is not appropriate to use a linear regression line to fit to the data.
診断されたインフルエンザ症例数は1993年まで増加した。1993～2002年には毎年減少した。このデータに線形回帰直線を当てはめるのは適切ではない。
Exercise 56問題 56
Do you think a linear fit is best? Why or why not?
直線による当てはめが最適だと思うか。その理由を述べよう。
Exercise 57問題 57
What does the correlation imply about the relationship between time (years) and the number of diagnosed flu cases reported in the U.S.?
この相関は、時間（年）と、米国で報告されたインフルエンザ診断症例数との関係について何を示唆するか。
Solution解き方
Since there is no linear association between year and # of flu cases diagnosed, it is not appropriate to calculate a linear correlation coefficient. When there is a linear association and it is appropriate to calculate a correlation, we cannot say that one variable “causes” the other variable.
年とインフルエンザ診断症例数に線形の関連がないので、線形相関係数を計算するのは適切ではない。線形の関連があり相関を計算するのが適切な場合でも、一方の変数が他方の「原因」だとはいえない。
Exercise 58問題 58
Graph “year” vs. “# flu cases diagnosed.” Do not include pre-1981. Label both axes with words. Scale both axes.
「年」と「診断されたインフルエンザ症例数」のグラフを描こう。1981年より前は含めない。両軸に項目名と目盛りを付けよう。
Exercise 59問題 59
Enter your data into your calculator or computer. The pre-1981 data should not be included. Why is that so?
データを電卓またはコンピューターに入力しよう。1981年より前のデータは含めない。それはなぜか。
Write the linear equation, rounding to four decimal places:
小数第4位までに丸めて、一次方程式を書こう。
Solution解き方
We don’t know if the pre-1981 data was collected from a single year. So we don’t have an accurate x value for this figure.
1981年より前のデータが、単一の年に集められたものか分からない。そのため、この数値に対する正確なxの値がない。
Regression equation: ŷ (#Flu Cases) = –3,448,225 + 1749.777 (year)
回帰方程式：ŷ（インフルエンザ症例数）= −3,448,225 + 1749.777（年）
Coefficients
係数
Intercept
切片
–3,448,225
X Variable 1
X変数1
1,749.777
Table 12.13表 12.13
Exercise 60問題 60
Find the correlation coefficient.
相関係数を求めよう。
  1. correlation = _____
    相関係数 = _____