第12章線形回帰と相関

METHOD 1: Using a p-value to make a decision方法1：p値を使って判断する

If the p-value is less than the significance level (α = 0.05):p値が有意水準（α = 0.05）より小さい場合

• Decision: Reject the null hypothesis.

  判断：帰無仮説を棄却する。
• Conclusion: "There is sufficient evidence to conclude that there is a significant linear relationship between x and y because the correlation coefficient is significantly different from zero."

  結論：相関係数が0と有意に異なるため、xとyの間に有意な線形関係があると結論する十分な証拠がある。

If the p-value is NOT less than the significance level (α = 0.05)p値が有意水準（α = 0.05）より小さくない場合

• Decision: DO NOT REJECT the null hypothesis.

  判断：帰無仮説を棄却しない。
• Conclusion: "There is insufficient evidence to conclude that there is a significant linear relationship between x and y because the correlation coefficient is NOT significantly different from zero."

  結論：相関係数が0と有意に異ならないため、xとyの間に有意な線形関係があると結論する十分な証拠はない。

Calculation Notes:計算についての注

• You will use technology to calculate the p-value. The following describes the calculations to compute the test statistics and the p-value:

  p値の計算には機器やソフトを用いる。検定統計量とp値を求める計算を以下に示す。
• The p-value is calculated using a t-distribution with n - 2 degrees of freedom.

  p値は自由度n − 2のt分布を使って計算する。
• The formula for the test statistic is $t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$. The value of the test statistic, t, is shown in the computer or calculator output along with the p-value. The test statistic t has the same sign as the correlation coefficient r.

  検定統計量の式は$t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$である。検定統計量tは、コンピューターや電卓の出力にp値とともに表示される。tの符号は相関係数rの符号と同じである。
• The p-value is the combined area in both tails.

  p値は両側の裾の面積の合計である。

THIRD-EXAM vs FINAL-EXAM EXAMPLE: p-value method第3回試験と期末試験の例：p値法

• Consider the third exam/final exam example.

  「第3回試験と期末試験の例」を考えよう。
• The line of best fit is: ŷ = -173.51 + 4.83x with r = 0.6631 and there are n = 11 data points.

  最適な当てはめ直線はŷ = −173.51 + 4.83x、r = 0.6631で、データ点はn = 11個ある。
• Can the regression line be used for prediction? Given a third exam score (x value), can we use the line to predict the final exam score (predicted y value)?

  回帰直線を予測に使えるだろうか。第3回試験の得点（x）が与えられたとき、この直線で期末試験の得点（予測値y）を求められるだろうか。

• The p-value is 0.026 (from LinRegTTest on your calculator or from computer software).

  p値は0.026である（電卓のLinRegTTestまたはコンピューターのソフトから得られる）。
• The p-value, 0.026, is less than the significance level of α = 0.05.

  p値0.026は、有意水準α = 0.05より小さい。
• Decision: Reject the Null Hypothesis H₀

  判断：帰無仮説H₀を棄却する。
• Conclusion: There is sufficient evidence to conclude that there is a significant linear relationship between the third exam score (x) and the final exam score (y) because the correlation coefficient is significantly different from zero.

  結論：相関係数が0と有意に異なるため、第3回試験の得点xと期末試験の得点yの間に有意な線形関係があると結論する十分な証拠がある。

METHOD 2: Using a table of Critical Values to make a decision方法2：臨界値の表を使って判断する

Example 12.7例題 12.7

Suppose you computed r = 0.801 using n = 10 data points. df = n - 2 = 10 - 2 = 8. The critical values associated with df = 8 are -0.632 and + 0.632. If r < negative critical value or r > positive critical value, then r is significant. Since r = 0.801 and 0.801 > 0.632, r is significant and the line may be used for prediction. If you view this example on a number line, it will help you.

n = 10個のデータ点からr = 0.801が得られたとする。df = n − 2 = 10 − 2 = 8である。df = 8の臨界値は−0.632と+0.632である。r < 負の臨界値、またはr > 正の臨界値なら、rは有意である。r = 0.801で、0.801 > 0.632なので、rは有意であり、この直線を予測に使える。数直線で見ると理解しやすい。

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Example 12.8例題 12.8

Suppose you computed r = –0.624 with 14 data points. df = 14 – 2 = 12. The critical values are –0.532 and 0.532. Since –0.624 < –0.532, r is significant and the line can be used for prediction

14個のデータ点からr = −0.624が得られたとする。df = 14 − 2 = 12で、臨界値は−0.532と0.532である。−0.624 < −0.532なので、rは有意であり、この直線を予測に使える。

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Example 12.9例題 12.9

Suppose you computed r = 0.776 and n = 6. df = 6 – 2 = 4. The critical values are –0.811 and 0.811. Since –0.811 < 0.776 < 0.811, r is not significant, and the line should not be used for prediction.

r = 0.776、n = 6だったとする。df = 6 − 2 = 4で、臨界値は−0.811と0.811である。−0.811 < 0.776 < 0.811なので、rは有意ではなく、この直線を予測に使うべきではない。

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典