プリンキピア

第12章線形回帰と相関

Bring It Together総合問題

Exercises 78–79練習問題 78–79
Exercise 78問題 78
The average number of people in a family that attended college for various years is given in Table 12.29.
表12.29は、各年について、家族のうち大学に通っていた人の平均人数を示している。
Year
年
Number of Family Members Attending College
大学に通う家族の人数
1969
4.0
1973
3.6
1975
3.2
1979
3.0
1983
3.0
1988
3.0
1991
2.9
Table 12.29表 12.29
  1. Using “year” as the independent variable and “Number of Family Members Attending College” as the dependent variable, draw a scatter plot of the data.
    「年」を独立変数、「大学に通う家族の人数」を従属変数として、データの散布図を描け。
  2. Calculate the least-squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  3. Find the correlation coefficient. Is it significant?
    相関係数を求めよう。有意か。
  4. Pick two years between 1969 and 1991 and find the estimated number of family members attending college.
    1969年から1991年の間から2年を選び、大学に通う家族の人数を推定せよ。
  5. Based on the data in Table 12.29, is there a linear relationship between the year and the average number of family members attending college?
    表12.29のデータに基づくと、年と大学に通う家族の平均人数の間に線形関係はあるか。
  6. Using the least-squares line, estimate the number of family members attending college for 1960 and 1995. Does the least-squares line give an accurate estimate for those years? Explain why or why not.
    最小二乗直線を用いて、1960年と1995年に大学に通う家族の人数を推定せよ。この2年について、最小二乗直線による推定は正確か。その理由を説明せよ。
  7. Are there any outliers in the data?
    データに外れ値はあるか。
  8. What is the estimated average number of family members attending college for 1986? Does the least squares line give an accurate estimate for that year? Explain why or why not.
    1986年に大学に通う家族の平均人数の推定値はいくつか。この年について、最小二乗直線による推定は正確か。その理由を説明せよ。
  9. What is the slope of the least squares (best-fit) line? Interpret the slope.
    最小二乗直線（最適直線）の傾きはいくつか。その意味を解釈しよう。
Exercise 79問題 79
The percent of women who are wage and salary workers who are paid hourly rates is given in Table 12.30 for a 14-year period.
表12.30は、女性の賃金・給与労働者のうち時給制で働く人の割合を、14年間について示している。
Year
年
Percent of workers paid hourly rates
時給制の労働者の割合
1
61.2
2
60.7
3
61.3
4
61.3
5
61.8
6
61.7
7
61.8
8
62.0
9
62.7
12
62.8
14
62.9
Table 12.30表 12.30
  1. Using “year” as the independent variable and “percent” as the dependent variable, draw a scatter plot of the data.
    「年」を独立変数、「割合」を従属変数として、データの散布図を描け。
  2. Does it appear from inspection that there is a relationship between the variables? Why or why not?
    見たところ、変数間に関係があるように思えるか。その理由を述べよう。
  3. Calculate the least-squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  4. Find the correlation coefficient. Is it significant?
    相関係数を求めよう。有意か。
  5. Find the estimated percents for year 13 and year 10.
    13年目と10年目の割合を推定せよ。
  6. Based on the data, is there a linear relationship between the year and the percent of female wage and salary earners who are paid hourly rates?
    このデータに基づくと、年と女性の賃金・給与労働者のうち時給制で働く人の割合に線形関係はあるか。
  7. Are there any outliers in the data?
    データに外れ値はあるか。
  8. What is the estimated percent for the year 72? Does the least-squares line give an accurate estimate for that year? Explain why or why not.
    72年目の割合の推定値はいくつか。その年について、最小二乗直線による推定は正確か。その理由を説明せよ。
  9. What is the slope of the least-squares (best-fit) line? Interpret the slope.
    最小二乗直線（最適直線）の傾きはいくつか。その意味を解釈しよう。
Solution解き方
  1. Check student's solution.
    学生の解答を確認する。
  2. yes
    はい。
  3. ŷ = −266.8863+0.1656x
  4. 0.9448; Yes
    0.9448。有意である。
  5. 62.8233; 62.3265
  6. yes
    はい。
  7. no; (Year 9, 62.7)
    いいえ。(9年目, 62.7)。
  8. 72.5937; no
    72.5937。いいえ。
  9. slope = 0.1656.
    As the year increases by one, the percent of workers paid hourly rates tends to increase by 0.1656.
    傾き = 0.1656。1年経過するごとに、時給制の労働者の割合は0.1656増える傾向がある。
Exercises 80–85練習問題 80–85

Use the following information to answer the next two exercises. The cost of a leading liquid laundry detergent in different sizes is given in Table 12.31.
英語のヒント
次の情報を用いて、続く2問に答えよ。表12.31は、主要銘柄の液体洗濯洗剤について、容量ごとの価格を示している。
Size (ounces)
容量（オンス）
Cost ($)
価格（ドル）
Cost per ounce
1オンス当たりの価格
16
3.99
32
4.99
64
5.99
200
10.99
Table 12.31表 12.31
Exercise 80問題 80
  1. Using “size” as the independent variable and “cost” as the dependent variable, draw a scatter plot.
    「容量」を独立変数、「価格」を従属変数として、散布図を描け。
  2. Does it appear from inspection that there is a relationship between the variables? Why or why not?
    見たところ、変数間に関係があるように思えるか。その理由を述べよう。
  3. Calculate the least-squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  4. Find the correlation coefficient. Is it significant?
    相関係数を求めよう。有意か。
  5. If the laundry detergent were sold in a 40-ounce size, find the estimated cost.
    英語のヒント
    この洗濯洗剤が40オンス入りで売られているとしたら、価格はいくらになるかを推定せよ。
  6. If the laundry detergent were sold in a 90-ounce size, find the estimated cost.
    この洗濯洗剤が90オンス入りで売られているとしたら、価格はいくらになるかを推定せよ。
  7. Does it appear that a line is the best way to fit the data? Why or why not?
    直線による当てはめが最もよさそうか。その理由を述べよう。
  8. Are there any outliers in the given data?
    与えられたデータに外れ値はあるか。
  9. Is the least-squares line valid for predicting what a 300-ounce size of the laundry detergent would you cost? Why or why not?
    300オンス入りの洗濯洗剤の価格を予測するうえで、最小二乗直線は妥当か。その理由を説明せよ。
  10. What is the slope of the least-squares (best-fit) line? Interpret the slope.
    最小二乗直線（最適直線）の傾きはいくつか。その意味を解釈しよう。
Exercise 81問題 81
  1. Complete Table 12.31 for the cost per ounce of the different sizes.
    容量ごとの1オンス当たりの価格を計算して、表12.31を完成させよ。
  2. Using “size” as the independent variable and “cost per ounce” as the dependent variable, draw a scatter plot of the data.
    「容量」を独立変数、「1オンス当たりの価格」を従属変数として、データの散布図を描け。
  3. Does it appear from inspection that there is a relationship between the variables? Why or why not?
    見たところ、変数間に関係があるように思えるか。その理由を述べよう。
  4. Calculate the least-squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  5. Find the correlation coefficient. Is it significant?
    相関係数を求めよう。有意か。
  6. If the laundry detergent were sold in a 40-ounce size, find the estimated cost per ounce.
    この洗濯洗剤が40オンス入りで売られているとしたら、1オンス当たりの価格はいくらになるかを推定せよ。
  7. If the laundry detergent were sold in a 90-ounce size, find the estimated cost per ounce.
    この洗濯洗剤が90オンス入りで売られているとしたら、1オンス当たりの価格はいくらになるかを推定せよ。
  8. Does it appear that a line is the best way to fit the data? Why or why not?
    直線による当てはめが最もよさそうか。その理由を述べよう。
  9. Are there any outliers in the the data?
    データに外れ値はあるか。
  10. Is the least-squares line valid for predicting what a 300-ounce size of the laundry detergent would cost per ounce? Why or why not?
    300オンス入りの洗濯洗剤について、1オンス当たりの価格を予測するうえで、最小二乗直線は妥当か。その理由を説明せよ。
  11. What is the slope of the least-squares (best-fit) line? Interpret the slope.
    最小二乗直線（最適直線）の傾きはいくつか。その意味を解釈しよう。
Solution解き方
  1. Size (ounces)
    容量（オンス）
    Cost ($)
    価格（ドル）
    cents/oz
    セント／オンス
    16
    3.99
    24.94
    32
    4.99
    15.59
    64
    5.99
    9.36
    200
    10.99
    5.50
    Table 12.32表 12.32
  2. Check student’s solution.
    学生の解答を確認する。
  3. There is a linear relationship for the sizes 16 through 64, but that linear trend does not continue to the 200-oz size.
    容量16～64オンスでは線形関係があるが、その線形の傾向は200オンスまで続いてはいない。
  4. ŷ = 20.2368 – 0.0819x
    ŷ = 20.2368 − 0.0819x
  5. r = –0.8086
    r = −0.8086
  6. 40-oz: 16.96 cents/oz
    40オンス入り：1オンス当たり16.96セント。
  7. 90-oz: 12.87 cents/oz
    90オンス入り：1オンス当たり12.87セント。
  8. The relationship is not linear; the least squares line is not appropriate.
    関係は線形ではなく、最小二乗直線は適切でない。
  9. no outliers
    外れ値はない。
  10. No, you would be extrapolating. The 300-oz size is outside the range of x.
    いいえ、外挿になるためである。300オンスは x の範囲外にある。
  11. slope = –0.08194; for each additional ounce in size, the cost per ounce decreases by 0.082 cents.
    傾き = −0.08194。容量が1オンス増えるごとに、1オンス当たりの価格は0.082セント下がる。
Exercise 82問題 82
According to a flyer by a Prudential Insurance Company representative, the costs of approximate probate fees and taxes for selected net taxable estates are as follows:
英語のヒント
プルデンシャル保険会社の担当者が配布したチラシによると、いくつかの課税対象純遺産額に対する、検認手数料と税の概算額は次のとおりである。
Net Taxable Estate ($)
課税対象純遺産額（ドル）
Approximate Probate Fees and Taxes ($)
検認手数料と税の概算額（ドル）
600,000
30,000
750,000
92,500
1,000,000
203,000
1,500,000
438,000
2,000,000
688,000
2,500,000
1,037,000
3,000,000
1,350,000
Table 12.33表 12.33
  1. Decide which variable should be the independent variable and which should be the dependent variable.
    どちらを独立変数、どちらを従属変数とすべきか決めよう。
  2. Draw a scatter plot of the data.
    データの散布図を描こう。
  3. Does it appear from inspection that there is a relationship between the variables? Why or why not?
    見たところ、変数間に関係があるように思えるか。その理由を述べよう。
  4. Calculate the least-squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx.
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  5. Find the correlation coefficient. Is it significant?
    相関係数を求めよう。有意か。
  6. Find the estimated total cost for a next taxable estate of $1,000,000. Find the cost for $2,500,000.
    課税対象純遺産額が1,000,000ドルの場合の総費用を推定せよ。2,500,000ドルの場合も求めよ。
  7. Does it appear that a line is the best way to fit the data? Why or why not?
    直線による当てはめが最もよさそうか。その理由を述べよう。
  8. Are there any outliers in the data?
    データに外れ値はあるか。
  9. Based on these results, what would be the probate fees and taxes for an estate that does not have any assets?
    英語のヒント
    この結果に基づくと、資産がまったくない遺産の検認手数料と税はいくらになるか。
  10. What is the slope of the least-squares (best-fit) line? Interpret the slope.
    最小二乗直線（最適直線）の傾きはいくつか。その意味を解釈しよう。
Exercise 83問題 83
The following are advertised sale prices of hard disk drives on Amazon’s website for various capacity hard drives.
英語のヒント
次の表は、Amazonのウェブサイトに掲載されている、容量の異なるハードディスクドライブの販売価格である。
Hard Disk Drive Capacity (in terabytes)
ハードディスクドライブの容量（テラバイト）
Sale Price ($)
販売価格（ドル）
9
147
20
197
27
297
31
447
35
1177
40
2177
60
2497
Table 12.34表 12.34
  1. Decide which variable should be the independent variable and which should be the dependent variable.
    どちらを独立変数、どちらを従属変数とすべきか決めよう。
  2. Draw a scatter plot of the data.
    データの散布図を描こう。
  3. Does it appear from inspection that there is a relationship between the variables? Why or why not?
    見たところ、変数間に関係があるように思えるか。その理由を述べよう。
  4. Calculate the least-squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  5. Find the correlation coefficient. Is it significant?
    相関係数を求めよう。有意か。
  6. Find the estimated sale price for a 32 terabyte hard drive. Find the cost for a 50 terabyte hard drive.
    32テラバイトのハードディスクドライブの販売価格を推定せよ。50テラバイトの場合も求めよ。
  7. Does it appear that a line is the best way to fit the data? Why or why not?
    直線による当てはめが最もよさそうか。その理由を述べよう。
  8. Are there any outliers in the data?
    データに外れ値はあるか。
  9. What is the slope of the least-squares (best-fit) line? Interpret the slope.
    最小二乗直線（最適直線）の傾きはいくつか。その意味を解釈しよう。
Solution解き方
  1. Size is x, the independent variable, price is y, the dependent variable.
    容量が独立変数 x、価格が従属変数 y である。
  2. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
  3. The relationship does not appear to be linear.
    関係は線形には見えない。
  4. ŷ = –745.252 + 54.75569x
    ŷ = −745.252 + 54.75569x
  5. r = 0.8944, yes it is significant
    r = 0.8944。有意である。
  6. 32-terabyte: $1006.93, 50-terabyte: $1992.53
    32テラバイト：1006.93ドル。50テラバイト：1992.53ドル。
  7. No, the relationship does not appear to be linear. However, r is significant.
    いいえ、関係は線形には見えない。しかし r は有意である。
  8. no, the 60-terabyte hard drive
    いいえ。60テラバイトのハードディスクドライブ。
  9. For each additional terabyte, the price increases by $54.76
    容量が1テラバイト増えるごとに、価格は54.76ドル上がる。
Exercise 84問題 84
Table 12.35 shows the average heights for American boys in a specific year.
表12.35は、ある年における米国の男子の平均身長を示している。
Age (years)
年齢（歳）
Height (cm)
身長（cm）
birth
出生時
50.8
2
83.8
3
91.4
5
106.6
7
119.3
10
137.1
14
157.5
Table 12.35表 12.35
  1. Decide which variable should be the independent variable and which should be the dependent variable.
    どちらを独立変数、どちらを従属変数とすべきか決めよう。
  2. Draw a scatter plot of the data.
    データの散布図を描こう。
  3. Does it appear from inspection that there is a relationship between the variables? Why or why not?
    見たところ、変数間に関係があるように思えるか。その理由を述べよう。
  4. Calculate the least-squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  5. Find the correlation coefficient. Is it significant?
    相関係数を求めよう。有意か。
  6. Find the estimated average height for a one-year-old. Find the estimated average height for an eleven-year-old.
    1歳児の平均身長を推定せよ。11歳児の平均身長も推定せよ。
  7. Does it appear that a line is the best way to fit the data? Why or why not?
    直線による当てはめが最もよさそうか。その理由を述べよう。
  8. Are there any outliers in the data?
    データに外れ値はあるか。
  9. Use the least squares line to estimate the average height for a sixty-two-year-old man. Do you think that your answer is reasonable? Why or why not?
    最小二乗直線を用いて、62歳男性の平均身長を推定せよ。その答えは妥当だと思うか。その理由を説明せよ。
  10. What is the slope of the least-squares (best-fit) line? Interpret the slope.
    最小二乗直線（最適直線）の傾きはいくつか。その意味を解釈しよう。
Exercise 85問題 85
State
州
# letters in name
州名の文字数
Year entered the Union
合衆国に加入した年
Ranks for entering the Union
合衆国への加盟順
Area (square miles)
面積（平方マイル）
Alabama
アラバマ
7
1819
22
52,423
Colorado
コロラド
8
1876
38
104,100
Hawaii
ハワイ
6
1959
50
10,932
Iowa
アイオワ
4
1846
29
56,276
Maryland
メリーランド
8
1788
7
12,407
Missouri
ミズーリ
8
1821
24
69,709
New Jersey
ニュージャージー
9
1787
3
8,722
Ohio
オハイオ
4
1803
17
44,828
South Carolina
サウスカロライナ
13
1788
8
32,008
Utah
ユタ
4
1896
45
84,904
Wisconsin
ウィスコンシン
9
1848
30
65,499
Table 12.36表 12.36
We are interested in whether there is a relationship between the ranking of a state and the area of the state.
州の加盟順と面積の間に関係があるかどうかを調べたい。
  1. What are the independent and dependent variables?
    独立変数と従属変数は何か。
  2. What do you think the scatter plot will look like? Make a scatter plot of the data.
    散布図はどのような形になると思うか。データの散布図を描け。
  3. Does it appear from inspection that there is a relationship between the variables? Why or why not?
    見たところ、変数間に関係があるように思えるか。その理由を述べよう。
  4. Calculate the least-squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  5. Find the correlation coefficient. What does it imply about the significance of the relationship?
    相関係数を求めよう。それは関係の有意性について何を示唆するか。
  6. Find the estimated areas for Alabama and for Colorado. Are they close to the actual areas?
    アラバマ州とコロラド州の面積を推定せよ。実際の面積に近いか。
  7. Use the two points in part f to plot the least-squares line on your graph from part b.
    f の2点を用いて、b のグラフに最小二乗直線を描け。
  8. Does it appear that a line is the best way to fit the data? Why or why not?
    直線による当てはめが最もよさそうか。その理由を述べよう。
  9. Are there any outliers?
    外れ値はあるか。
  10. Use the least squares line to estimate the area of a new state that enters the Union. Can the least-squares line be used to predict it? Why or why not?
    最小二乗直線を用いて、合衆国に新たに加盟する州の面積を推定せよ。最小二乗直線を使って予測できるか。その理由を説明せよ。
  11. Delete “Hawaii” and substitute “Alaska” for it. Alaska is the forty-ninth, state with an area of 656,424 square miles.
    英語のヒント
    「ハワイ州」を削除し、代わりに「アラスカ州」を入れよ。アラスカ州は49番目の州で、面積は656,424平方マイルである。
  12. Calculate the new least-squares line.
    新しい最小二乗直線を計算せよ。
  13. Find the estimated area for Alabama. Is it closer to the actual area with this new least-squares line or with the previous one that included Hawaii? Why do you think that’s the case?
    アラバマ州の面積を推定せよ。新しい最小二乗直線による推定と、ハワイ州を含めた以前の直線による推定のどちらが実際の面積に近いか。その理由をどう考えるか。
  14. Do you think that, in general, newer states are larger than the original states?
    一般に、新しい州は当初からある州より大きいと思うか。
Solution解き方
  1. Let rank be the independent variable and area be the dependent variable.
    加盟順を独立変数、面積を従属変数とする。
  2. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
  3. There appears to be a linear relationship, with one outlier.
    外れ値が1つあり、それを除けば線形関係があるように見える。
  4. ŷ (area) = 24177.06 + 1010.478x
    ŷ（面積）= 24177.06 + 1010.478x
  5. r = 0.50047, r is not significant so there is no relationship between the variables.
    r = 0.50047。r は有意でないので、変数間に関係はない。
  6. Alabama: 46407.576 Colorado: 62575.224
    アラバマ州：46407.576。コロラド州：62575.224。
  7. Alabama estimate is closer than Colorado estimate.
    アラバマ州の推定値のほうが、コロラド州の推定値より実際の値に近い。
  8. If the outlier is removed, there is a linear relationship.
    外れ値を除くと、線形関係がある。
  9. There is one outlier (Hawaii).
    外れ値は1つ（ハワイ州）ある。
  10. rank 51: 75711.4; no
    加盟順51：75711.4。いいえ。
  11. Alabama
    アラバマ
    7
    1819
    22
    52,423
    Colorado
    コロラド
    8
    1876
    38
    104,100
    Hawaii
    ハワイ
    6
    1959
    50
    10,932
    Iowa
    アイオワ
    4
    1846
    29
    56,276
    Maryland
    メリーランド
    8
    1788
    7
    12,407
    Missouri
    ミズーリ
    8
    1821
    24
    69,709
    New Jersey
    ニュージャージー
    9
    1787
    3
    8,722
    Ohio
    オハイオ
    4
    1803
    17
    44,828
    South Carolina
    サウスカロライナ
    13
    1788
    8
    32,008
    Utah
    ユタ
    4
    1896
    45
    84,904
    Wisconsin
    ウィスコンシン
    9
    1848
    30
    65,499
    Table 12.37表 12.37
  12. ŷ = –87065.3 + 7828.532x
    ŷ = −87065.3 + 7828.532x
  13. Alabama: 85,162.404; the prior estimate was closer. Alaska is an outlier.
    アラバマ州：85,162.404。以前の推定値のほうが近かった。アラスカ州は外れ値である。
  14. yes, with the exception of Hawaii
    はい、ハワイ州を除けばそうである。
Outlier
外れ値
an observation that does not fit the rest of the data
ほかのデータに合わない観測値。