プリンキピア

第12章線形回帰と相関

Homework宿題

Exercises 61–65練習問題 61–65
Exercise 61問題 61
Recently, the annual number of driver deaths per 100,000 for the selected age groups was as follows:
近年の、各年齢層の運転者10万人あたりの年間死亡数は次のとおりであった。
Age
年齢
Number of Driver Deaths per 100,000
運転者10万人あたりの死亡数
16–19
38
20–24
36
25–34
24
35–54
20
55–74
18
75+
28
Table 12.14表 12.14
  1. For each age group, pick the midpoint of the interval for the x value. (For the 75+ group, use 80.)
    各年齢層では、区間の中央の値をxとしよう。（75歳以上の群では80を用いる。）
  2. Using “ages” as the independent variable and “Number of driver deaths per 100,000” as the dependent variable, make a scatter plot of the data.
    「年齢」を独立変数、「運転者10万人あたりの死亡数」を従属変数として、散布図を作ろう。
  3. Calculate the least squares (best–fit) line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx
    最小二乗直線（最適直線）を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  4. Find the correlation coefficient. Is it significant?
    相関係数を求めよう。有意か。
  5. Predict the number of deaths for ages 40 and 60.
    40歳と60歳の死亡数を予測しよう。
  6. Based on the given data, is there a linear relationship between age of a driver and driver fatality rate?
    データに基づくと、運転者の年齢と死亡率には線形関係があるか。
  7. What is the slope of the least squares (best-fit) line? Interpret the slope.
    最小二乗直線（最適直線）の傾きはいくつか。その意味を解釈しよう。
Solution解き方
  1. Age
    年齢
    Number of Driver Deaths per 100,000
    運転者10万人あたりの死亡数
    16–19
    38
    20–24
    36
    25–34
    24
    35–54
    20
    55–74
    18
    75+
    28
    Table 12.15表 12.15
  2. Check student’s solution.
    学生の解答を確認する。
  3. ŷ = 35.5818045 – 0.19182491x
    ŷ = 35.5818045 − 0.19182491x
  4. r = –0.57874
    For four df and alpha = 0.05, the LinRegTTest gives p-value = 0.2288 so we do not reject the null hypothesis; there is not a significant linear relationship between deaths and age.
    Using the table of critical values for the correlation coefficient, with four df, the critical value is 0.811. The correlation coefficient r = –0.57874 is not less than –0.811, so we do not reject the null hypothesis.
    r = −0.57874。自由度4、α = 0.05では、LinRegTTestでp値 = 0.2288が得られるので、帰無仮説を棄却しない。死亡数と年齢には有意な線形関係がない。相関係数の臨界値表を使うと、自由度4の臨界値は0.811である。r = −0.57874は−0.811より小さくないので、帰無仮説を棄却しない。
  5. There is not a linear relationship between the two variables, as evidenced by a p-value greater than 0.05.
    p値が0.05より大きいことから分かるように、二つの変数に線形関係はない。
Exercise 62問題 62
Table 12.16 shows the life expectancy for an individual born in the United States in certain years.
表12.16は、各年に米国で生まれた人の平均余命を示す。
Year of Birth
出生年
Life Expectancy
平均余命
1930
59.7
1940
62.9
1950
70.2
1965
69.7
1973
71.4
1982
74.5
1987
75
1992
75.7
2010
78.7
Table 12.16表 12.16
  1. Decide which variable should be the independent variable and which should be the dependent variable.
    どちらを独立変数、どちらを従属変数とすべきか決めよう。
  2. Draw a scatter plot of the ordered pairs.
    順序対の散布図を描こう。
  3. Calculate the least squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  4. Find the correlation coefficient. Is it significant?
    相関係数を求めよう。有意か。
  5. Find the estimated life expectancy for an individual born in 1950 and for one born in 1982.
    1950年生まれと1982年生まれの人の平均余命の推定値を求めよう。
  6. Why aren’t the answers to part e the same as the values in Table 12.16 that correspond to those years?
    なぜeの答えは、表12.16の対応する年の値と同じにならないのか。
  7. Use the two points in part e to plot the least squares line on your graph from part b.
    eの2点を使って、bのグラフに最小二乗直線を描こう。
  8. Based on the data, is there a linear relationship between the year of birth and life expectancy?
    データに基づくと、出生年と平均余命には線形関係があるか。
  9. Are there any outliers in the data?
    データに外れ値はあるか。
  10. Using the least squares line, find the estimated life expectancy for an individual born in 1850. Does the least squares line give an accurate estimate for that year? Explain why or why not.
    最小二乗直線を使い、1850年生まれの人の平均余命の推定値を求めよう。この直線は、その年について正確な推定を与えるか。その理由を説明しよう。
  11. What is the slope of the least-squares (best-fit) line? Interpret the slope.
    最小二乗直線（最適直線）の傾きはいくつか。その意味を解釈しよう。
Exercise 63問題 63
The maximum discount value of the Entertainment® card for the “Fine Dining” section, Edition ten, for various pages is given in Table 12.17
Entertainment®カード第10版の「Fine Dining」欄について、各ページの最大割引額を表12.17に示す。
Page number
ページ番号
Maximum value ($)
最大額（ドル）
4
16
14
19
25
15
32
17
43
19
57
15
72
16
85
15
90
17
Table 12.17表 12.17
  1. Decide which variable should be the independent variable and which should be the dependent variable.
    どちらを独立変数、どちらを従属変数とすべきか決めよう。
  2. Draw a scatter plot of the ordered pairs.
    順序対の散布図を描こう。
  3. Calculate the least-squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  4. Find the correlation coefficient. Is it significant?
    相関係数を求めよう。有意か。
  5. Find the estimated maximum values for the restaurants on page ten and on page 70.
    10ページと70ページの飲食店の最大割引額を推定しよう。
  6. Does it appear that the restaurants giving the maximum value are placed in the beginning of the “Fine Dining” section? How did you arrive at your answer?
    最大の割引を提供する飲食店は「Fine Dining」欄の初めに配置されているように見えるか。どのように判断したか。
  7. Suppose that there were 200 pages of restaurants. What do you estimate to be the maximum value for a restaurant listed on page 200?
    飲食店の掲載が200ページあったとする。200ページに載る店の最大割引額をいくらと推定するか。
  8. Is the least squares line valid for page 200? Why or why not?
    最小二乗直線は200ページにも有効か。その理由を述べよう。
  9. What is the slope of the least-squares (best-fit) line? Interpret the slope.
    最小二乗直線（最適直線）の傾きはいくつか。その意味を解釈しよう。
Solution解き方
  1. We wonder if the better discounts appear earlier in the book so we select page as X and discount as Y.
    大きな割引ほど本の前のほうに載っているかを調べたいので、ページ番号をX、割引額をYに選ぶ。
  2. Check student’s solution.
    学生の解答を確認する。
  3. ŷ = 17.21757 – 0.01412x
    ŷ = 17.21757 − 0.01412x
  4. r = – 0.2752
    For seven df and alpha = 0.05, using LinRegTTest p-value = 0.4736 so we do not reject; there is a not a significant linear relationship between page and discount.
    Using the table of critical values for the correlation coefficient, with seven df, the critical value is 0.666. The correlation coefficient xi = –0.2752 is not less than 0.666 so we do not reject.
    r = −0.2752。自由度7、α = 0.05では、LinRegTTestのp値は0.4736なので棄却しない。ページ番号と割引額に有意な線形関係はない。相関係数の臨界値表では、自由度7の臨界値は0.666である。相関係数xi = −0.2752は0.666より小さくないので、棄却しない。
  5. There is not a significant linear correlation so it appears there is no relationship between the page and the amount of the discount.
    有意な線形相関がないため、ページ番号と割引額には関係がないように見える。
As the page number increases by one page, the discount decreases by $0.01412
ページ番号が1増えると、割引額は0.01412ドル減る。
Exercise 64問題 64
Table 12.18 gives the gold medal times for every other Summer Olympics for the women’s 100-meter freestyle (swimming).
表12.18は、夏季オリンピックの女子100 m自由形（水泳）の金メダルタイムを、1大会おきに示す。
Year
年
Time (seconds)
タイム（秒）
1912
82.2
1924
72.4
1932
66.8
1952
66.8
1960
61.2
1968
60.0
1976
55.65
1984
55.92
1992
54.64
2000
53.8
2008
53.1
2016
52.7
Table 12.18表 12.18
  1. Decide which variable should be the independent variable and which should be the dependent variable.
    どちらを独立変数、どちらを従属変数とすべきか決めよう。
  2. Draw a scatter plot of the data.
    データの散布図を描こう。
  3. Does it appear from inspection that there is a relationship between the variables? Why or why not?
    見たところ、変数間に関係があるように思えるか。その理由を述べよう。
  4. Calculate the least squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx.
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  5. Find the correlation coefficient. Is the decrease in times significant?
    相関係数を求めよう。タイムの短縮は有意か。
  6. Find the estimated gold medal time for 1932. Find the estimated time for 1984.
    1932年の金メダルタイムの推定値を求めよう。1984年の推定値も求めよう。
  7. Why are the answers from part f different from the chart values?
    なぜfの答えは表の値と異なるのか。
  8. Does it appear that a line is the best way to fit the data? Why or why not?
    直線による当てはめが最もよさそうか。その理由を述べよう。
  9. Use the least-squares line to estimate the gold medal time for the next Summer Olympics. Do you think that your answer is reasonable? Why or why not?
    最小二乗直線を使い、次の夏季オリンピックの金メダルタイムを推定しよう。その答えは妥当だと思うか。その理由を述べよう。
Exercise 65問題 65
State
州
# letters in name
州名の文字数
Year entered the Union
合衆国に加入した年
Rank for entering the Union
合衆国への加入順
Area (square miles)
面積（平方マイル）
Alabama
アラバマ
7
1819
22
52,423
Colorado
コロラド
8
1876
38
104,100
Hawaii
ハワイ
6
1959
50
10,932
Iowa
アイオワ
4
1846
29
56,276
Maryland
メリーランド
8
1788
7
12,407
Missouri
ミズーリ
8
1821
24
69,709
New Jersey
ニュージャージー
9
1787
3
8,722
Ohio
オハイオ
4
1803
17
44,828
South Carolina
サウスカロライナ
13
1788
8
32,008
Utah
ユタ
4
1896
45
84,904
Wisconsin
ウィスコンシン
9
1848
30
65,499
Table 12.19表 12.19
We are interested in whether or not the number of letters in a state name depends upon the year the state entered the Union.
州名の文字数が、その州の合衆国への加入年によって決まるかどうかを調べたい。
  1. Decide which variable should be the independent variable and which should be the dependent variable.
    どちらを独立変数、どちらを従属変数とすべきか決めよう。
  2. Draw a scatter plot of the data.
    データの散布図を描こう。
  3. Does it appear from inspection that there is a relationship between the variables? Why or why not?
    見たところ、変数間に関係があるように思えるか。その理由を述べよう。
  4. Calculate the least-squares line. Put the equation in the form of: ŷ = a + bx.
    最小二乗直線を計算し、ŷ = a + bxの形で方程式を書こう。
  5. Find the correlation coefficient. What does it imply about the significance of the relationship?
    相関係数を求めよう。それは関係の有意性について何を示唆するか。
  6. Find the estimated number of letters (to the nearest integer) a state would have if it entered the Union in 1900. Find the estimated number of letters a state would have if it entered the Union in 1940.
    1900年に合衆国に加入した州の名前の文字数を、最も近い整数で推定しよう。1940年に加入した州についても推定しよう。
  7. Does it appear that a line is the best way to fit the data? Why or why not?
    直線による当てはめが最もよさそうか。その理由を述べよう。
  8. Use the least-squares line to estimate the number of letters a new state that enters the Union this year would have. Can the least squares line be used to predict it? Why or why not?
    最小二乗直線を使い、今年合衆国に加入する新しい州の名前の文字数を推定しよう。この予測に最小二乗直線を使えるか。その理由を述べよう。
Solution解き方
  1. Year is the independent or x variable; the number of letters is the dependent or y variable.
    年が独立変数x、文字数が従属変数yである。
  2. Check student’s solution.
    学生の解答を確認する。
  3. no
    いいえ。
  4. ŷ = 47.03 – 0.0216x
    ŷ = 47.03 − 0.0216x
  5. –0.4280 The r-value indicates that there is not a significant correlation between the year the state entered the union and the number of letters in the name.
    −0.4280。このrの値は、州の合衆国への加入年と州名の文字数に有意な相関がないことを示す。
  6. No, the relationship does not appear to be linear; the correlation is not significant.
    いいえ。関係は直線的に見えず、相関も有意ではない。