第12章線形回帰と相関

UNDERSTANDING SLOPE傾きを理解する

The slope of the line, b, describes how changes in the variables are related. It is important to interpret the slope of the line in the context of the situation represented by the data. You should be able to write a sentence interpreting the slope in plain English.

直線の傾きbは、変数の変化どうしがどのように関係するかを表す。データが示す状況に即して傾きを解釈することが重要である。傾きの意味を平易な言葉で説明する文を書けるようにしよう。

INTERPRETATION OF THE SLOPE: The slope of the best-fit line tells us how the dependent variable (y) changes for every one unit increase in the independent (x) variable, on average.

傾きの解釈：最適な当てはめ直線の傾きは、独立変数xが1単位増えるごとに、従属変数yが平均してどのように変化するかを示す。

THIRD EXAM vs FINAL EXAM EXAMPLE第3回試験と期末試験の例

Slope: The slope of the line is b = 4.83.
Interpretation: For a one-point increase in the score on the third exam, the final exam score increases by 4.83 points, on average.

傾き：直線の傾きはb = 4.83である。解釈：第3回試験の得点が1点増えると、期末試験の得点は平均して4.83点増える。

Using the Calculator電卓の操作

Using the Linear Regression T Test: LinRegTTest

線形回帰のt検定LinRegTTestを使う

In the STAT list editor, enter the X data in list L1 and the Y data in list L2, paired so that the corresponding (x,y) values are next to each other in the lists. (If a particular pair of values is repeated, enter it as many times as it appears in the data.)
STATのリスト編集画面で、XのデータをL1、YのデータをL2に入力する。対応する(x,y)が両リストの隣り合う位置になるように組をそろえる。（特定の値の組が繰り返される場合は、データに現れる回数だけ入力する。）
On the STAT TESTS menu, scroll down with the cursor to select the LinRegTTest. (Be careful to select LinRegTTest, as some calculators may also have a different item called LinRegTInt.)
STAT TESTSメニューでカーソルを下へ動かし、LinRegTTestを選ぶ。（電卓によってはLinRegTIntという別の項目もあるので、必ずLinRegTTestを選ぶ。）
On the LinRegTTest input screen enter: Xlist: L1 ; Ylist: L2 ; Freq: 1
LinRegTTestの入力画面で、Xlist: L1 ; Ylist: L2 ; Freq: 1と入力する。
On the next line, at the prompt β or ρ, highlight "≠ 0" and press ENTER
次の行のβまたはρの指定で「≠ 0」を選択し、ENTERを押す。
Leave the line for "RegEq:" blank
「RegEq:」の行は空欄のままにする。
Highlight Calculate and press ENTER.
Calculateを選択し、ENTERを押す。

Figure 12.20図 12.20

The output screen contains a lot of information. For now we will focus on a few items from the output, and will return later to the other items.
The second line says y = a + bx. Scroll down to find the values a = –173.513, and b = 4.8273; the equation of the best fit line is ŷ = –173.51 + 4.83x
The two items at the bottom are r₂ = 0.43969 and r = 0.663. For now, just note where to find these values; we will discuss them in the next two sections.

出力画面には多くの情報がある。今はそのうちいくつかに注目し、ほかの項目は後で取り上げる。2行目はy = a + bxである。下へスクロールすると、a = −173.513、b = 4.8273が見つかる。最適な当てはめ直線の方程式はŷ = −173.51 + 4.83xである。一番下の二つの項目はr₂ = 0.43969とr = 0.663である。今は、これらの値の表示位置だけ確認しておこう。次の二つの節で説明する。

Graphing the Scatterplot and Regression Line

散布図と回帰直線を描く

We are assuming your X data is already entered in list L1 and your Y data is in list L2
XのデータはL1、YのデータはL2に入力済みとする。
Press 2nd STATPLOT ENTER to use Plot 1
2nd、STATPLOT、ENTERを押し、Plot 1を使う。
On the input screen for PLOT 1, highlight On, and press ENTER
PLOT 1の入力画面でOnを選択し、ENTERを押す。
For TYPE: highlight the very first icon which is the scatterplot and press ENTER
TYPE:では、散布図を表す最初のアイコンを選択し、ENTERを押す。
Indicate Xlist: L1 and Ylist: L2
Xlist: L1、Ylist: L2を指定する。
For Mark: it does not matter which symbol you highlight.
Mark:では、どの記号を選んでもよい。
Press the ZOOM key and then the number 9 (for menu item "ZoomStat") ; the calculator will fit the window to the data
ZOOMキーを押し、続いて9（メニューの「ZoomStat」）を押すと、電卓がデータに合わせて表示範囲を調整する。
To graph the best-fit line, press the "Y=" key and type the equation –173.5 + 4.83X into equation Y1. (The X key is immediately left of the STAT key). Press ZOOM 9 again to graph it.
最適直線を描くには「Y=」キーを押し、Y1に−173.5 + 4.83Xを入力する。（XキーはSTATキーのすぐ左にある。）再びZOOM、9を押して描画する。
Optional: If you want to change the viewing window, press the WINDOW key. Enter your desired window using Xmin, Xmax, Ymin, Ymax
任意：表示範囲を変更したい場合はWINDOWキーを押し、Xmin、Xmax、Ymin、Ymaxで希望する範囲を入力する。

NOTE注

Another way to graph the line after you create a scatter plot is to use LinRegTTest.

散布図を作成した後に直線を描く別の方法として、LinRegTTestを使うこともできる。

Make sure you have done the scatter plot. Check it on your screen.
散布図を作成済みであることを画面で確認する。
Go to LinRegTTest and enter the lists.
LinRegTTestへ進み、リストを入力する。
At RegEq: press VARS and arrow over to Y-VARS. Press 1 for 1:Function. Press 1 for 1:Y1. Then arrow down to Calculate and do the calculation for the line of best fit.
RegEq:でVARSを押し、横矢印でY-VARSへ移動する。1を押して1:Functionを選び、さらに1を押して1:Y1を選ぶ。下矢印でCalculateへ移動し、最適直線を計算する。
Press Y = (you will see the regression equation).
Y =を押す（回帰方程式が表示される）。
Press GRAPH. The line will be drawn."
GRAPHを押すと、直線が描かれる。

The Correlation Coefficient r相関係数r

Besides looking at the scatter plot and seeing that a line seems reasonable, how can you tell if the line is a good predictor? Use the correlation coefficient as another indicator (besides the scatterplot) of the strength of the relationship between x and y.

英語のヒント

散布図を見て直線が妥当そうだと分かることに加え、その直線が予測に適しているかをどう判断できるだろうか。xとyの関係の強さを示す、散布図以外の指標として相関係数を使おう。

The correlation coefficient, r, developed by Karl Pearson in the early 1900s, is numerical and provides a measure of strength and direction of the linear association between the independent variable x and the dependent variable y.

相関係数rは、1900年代初めにカール・ピアソンが考案した数値であり、独立変数xと従属変数yの線形の関連の強さと方向を測る。

The correlation coefficient is calculated as

相関係数は次のように計算する。

r = \frac{n Σ (x y) - (Σ x) (Σ y)}{\sqrt{[n Σ x^{2} - {(Σ x)}^{2}] [n Σ y^{2} - {(Σ y)}^{2}]}}

where n = the number of data points.

ここで、nはデータ点の数である。

If you suspect a linear relationship between x and y, then r can measure how strong the linear relationship is.

xとyに線形関係があると考えられるなら、rによってその強さを測れる。

What the VALUE of r tells us:rの値が示すこと

The value of r is always between –1 and +1: –1 ≤ r ≤ 1.
rの値は常に−1から+1の間にある：−1 ≤ r ≤ 1。
The size of the correlation r indicates the strength of the linear relationship between x and y. Values of r close to –1 or to +1 indicate a stronger linear relationship between x and y.
相関係数rの大きさは、xとyの線形関係の強さを示す。rが−1または+1に近いほど、線形関係が強いことを示す。
If r = 0 there is likely no linear correlation. It is important to view the scatterplot, however, because data that exhibit a curved or horizontal pattern may have a correlation of 0.
r = 0なら、線形相関はない可能性が高い。ただし、曲線状または水平のパターンを示すデータでも相関が0になることがあるため、散布図を確認することが重要である。
If r = 1, there is perfect positive correlation. If r = –1, there is perfect negative correlation. In both these cases, all of the original data points lie on a straight line. Of course,in the real world, this will not generally happen.
r = 1なら完全な正の相関があり、r = −1なら完全な負の相関がある。どちらの場合も、元のデータ点はすべて一直線上にある。もちろん、現実には一般にこのようにはならない。

What the SIGN of r tells usrの符号が示すこと

A positive value of r means that when x increases, y tends to increase and when x decreases, y tends to decrease (positive correlation).
rが正であるとは、xが増えるとyも増える傾向があり、xが減るとyも減る傾向があるということである（正の相関）。
A negative value of r means that when x increases, y tends to decrease and when x decreases, y tends to increase (negative correlation).
rが負であるとは、xが増えるとyが減る傾向があり、xが減るとyが増える傾向があるということである（負の相関）。
The sign of r is the same as the sign of the slope, b, of the best-fit line.
rの符号は、最適な当てはめ直線の傾きbの符号と同じである。

最適な当てはめ直線を含む三つの散布図。最初の点は左下から右上に並び、直線の傾きは正である。二つ目の点は左上から右下に並び、直線の傾きは負である。三つ目の点は水平なパターンを作り、最適直線も水平である。 — Figure 12.21図 12.21
(a) A scatter plot showing data with a positive correlation. 0 < r < 1 (b) A scatter plot showing data with a negative correlation. –1 < r < 0 (c) A scatter plot showing data with zero correlation. r = 0
（a）正の相関を示す散布図。0 < r < 1。（b）負の相関を示す散布図。−1 < r < 0。（c）相関が0の散布図。r = 0。

The formula for r looks formidable. However, computer spreadsheets, statistical software, and many calculators can quickly calculate r. The correlation coefficient r is the bottom item in the output screens for the LinRegTTest on the TI-83, TI-83+, or TI-84+ calculator (see previous section for instructions).

英語のヒント

rの式は難しそうに見える。しかし、表計算ソフト、統計ソフト、多くの電卓でrを素早く計算できる。TI-83、TI-83+、TI-84+電卓では、相関係数rはLinRegTTestの出力画面の一番下に表示される（手順は前の節を参照）。