第12章線形回帰と相関

Chapter Review章の復習

Linear regression is a procedure for fitting a straight line of the form ŷ = a + bx to data. The conditions for regression are:

線形回帰は、ŷ = a + bxという形の直線をデータに当てはめる手順である。回帰の条件は次のとおりである。

Linear In the population, there is a linear relationship that models the average value of y for different values of x.
線形性：母集団では、異なるxに対するyの平均値をモデル化する線形関係がある。
Independent The residuals are assumed to be independent.
独立性：残差は独立だと仮定する。
Normal The y values are distributed normally for any value of x.
正規性：どのxについても、yの値は正規分布する。
Equal variance The standard deviation of the y values is equal for each x value.
等分散性：yの標準偏差は、xの値によらず等しい。
Random The data are produced from a well-designed random sample or randomized experiment.
無作為性：データは、適切に設計された無作為標本または無作為化実験から得られる。

The slope b and intercept a of the least-squares line estimate the slope β and intercept α of the population (true) regression line. To estimate the population standard deviation of y, σ, use the standard deviation of the residuals, s.

s = \sqrt{\frac{S E E}{n - 2}}

. The variable ρ (rho) is the population correlation coefficient. To test the null hypothesis H₀: ρ = hypothesized value, use a linear regression t-test. The most common null hypothesis is H₀: ρ = 0 which indicates there is no linear relationship between x and y in the population. The TI-83, 83+, 84, 84+ calculator function LinRegTTest can perform this test (STATS TESTS LinRegTTest).

最小二乗直線の傾きbと切片aは、母集団の真の回帰直線の傾きβと切片αを推定する。yの母標準偏差σを推定するには、残差の標準偏差sを用いる。

s = \sqrt{\frac{S E E}{n - 2}}

。ρ（ロー）は母相関係数である。帰無仮説H₀：ρ = 仮定した値を検定するには、線形回帰のt検定を使う。最も一般的な帰無仮説はH₀：ρ = 0であり、母集団のxとyに線形関係がないことを示す。TI-83、83+、84、84+電卓のLinRegTTest機能で、この検定を実行できる（STATS TESTS LinRegTTest）。

Formula Review公式の復習

Least Squares Line or Line of Best Fit:

最小二乗直線、または最適な当てはめ直線：

\hat{y} = a + b x

where

ここで、

a = y-intercept

a = y切片

b = slope

b = 傾き

Standard deviation of the residuals:

残差の標準偏差：

s = \sqrt{\frac{S E E}{n - 2}} .

where

ここで、

SSE = sum of squared errors

SSE = 誤差平方和

n = the number of data points

n = データ点の数

Exercises 38–40練習問題 38–40

Exercise 38問題 38

When testing the significance of the correlation coefficient, what is the null hypothesis?

相関係数の有意性を検定するとき、帰無仮説は何か。

Exercise 39問題 39

When testing the significance of the correlation coefficient, what is the alternative hypothesis?

相関係数の有意性を検定するとき、対立仮説は何か。

Solution解き方

H_a: ρ ≠ 0

H_a：ρ ≠ 0

Exercise 40問題 40

If the level of significance is 0.05 and the p-value is 0.04, what conclusion can you draw?

有意水準が0.05、p値が0.04の場合、どのような結論を出せるか。