第4章離散確率変数

References参考文献

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「毎分1人誕生：母親3人でベッド1台を使う産科病棟」、MailOnline。http://www.dailymail.co.uk/news/article-2001422/Busiest-maternity-ward-planet-averages-60-babies-day-mothers-bed.html で閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。

Vanderkam, Laura. “Stop Checking Your Email, Now.” CNNMoney, 2013. Available online at http://management.fortune.cnn.com/2012/10/08/stop-checking-your-email-now/ (accessed May 15, 2013).

ローラ・ヴァンダーカム「今すぐメールを確認するのをやめよう」、CNNMoney、2013年。http://management.fortune.cnn.com/2012/10/08/stop-checking-your-email-now/ で閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。

“World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights,” World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (accessed May 15, 2013).

「世界の地震：最新の地震ニュースと注目情報」、World Earthquakes、2012年。http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction （2013年5月15日閲覧）。

Chapter Review章の復習

A Poisson probability distribution of a discrete random variable gives the probability of a number of events occurring in a fixed interval of time or space, if these events happen at a known average rate and independently of the time since the last event. The Poisson distribution may be used to approximate the binomial, if the probability of success is "small" (less than or equal to 0.05) and the number of trials is "large" (greater than or equal to 20).

離散確率変数のポアソン確率分布は、既知の平均発生率で、かつ前回の事象からの経過時間と独立に事象が起こる場合に、一定の時間または空間の区間での発生回数の確率を与える。成功確率が「小さく」（0.05以下）、試行回数が「大きい」（20以上）なら、ポアソン分布で二項分布を近似できる。

Formula Review公式の復習

X ~ P(μ) means that X has a Poisson probability distribution where X = the number of occurrences in the interval of interest.

X ~ P(μ)は、Xがポアソン確率分布に従うことを意味する。X = 関心のある区間内での発生回数である。

X takes on the values x = 0, 1, 2, 3, ...

Xはx = 0, 1, 2, 3, …の値を取る。

The mean μ is typically given.

通常、平均μは与えられている。

The variance is σ² = μ, and the standard deviation is

σ = \sqrt{μ}

分散はσ² = μで、標準偏差は

σ = \sqrt{μ}

である。

The probability of having exactly

x

successes in

r

trials is

P (X = x) = (e^{- μ}) \frac{μ^{x}}{x!}

r

回の試行でちょうど

x

回成功する確率は、

P (X = x) = (e^{- μ}) \frac{μ^{x}}{x!}

である。

When P(μ) is used to approximate a binomial distribution, μ = np where n represents the number of independent trials and p represents the probability of success in a single trial.

P(μ)を二項分布の近似に用いるとき、μ = npである。nは独立な試行回数、pは1回の試行の成功確率を表す。

Exercises 104–110練習問題 104–110

Use the following information to answer the next six exercises: On average, a clothing store gets 120 customers per day.

次の情報を使って、続く6問に答えよ。ある衣料品店には、1日平均120人の客が来る。

Exercise 104問題 104

Assume the event occurs independently in any given day. Define the random variable X.

どの日でも事象は独立に起こると仮定する。確率変数Xを定義せよ。

Exercise 105問題 105

What values does X take on?

Xはどのような値をとるか。

Solution解き方

0, 1, 2, 3, 4, …

Exercise 106問題 106

What is the probability of getting 150 customers in one day?

1日に150人の客が来る確率はいくらか。

Exercise 107問題 107

What is the probability of getting 35 customers in the first four hours? Assume the store is open 12 hours each day.

最初の4時間で35人の客が来る確率はいくらか。店は毎日12時間営業すると仮定する。

Solution解き方

0.0485

Exercise 108問題 108

What is the probability that the store will have more than 12 customers in the first hour?

最初の1時間に12人より多くの客が来る確率はいくらか。

Exercise 109問題 109

What is the probability that the store will have fewer than 12 customers in the first two hours?

最初の2時間に来る客が12人未満である確率はいくらか。

Solution解き方

0.0214

Exercise 110問題 110

Which type of distribution can the Poisson model be used to approximate? When would you do this?

ポアソンモデルは、どの種類の分布の近似に使えるか。どのようなときに使うか。

Exercises 111–116練習問題 111–116

Use the following information to answer the next six exercises: On average, eight teens in the U.S. die from motor vehicle injuries per day. As a result, states across the country are debating raising the driving age.

次の情報を使って、続く6問に答えよ。米国では、自動車によるけがで1日平均8人の10代の若者が死亡する。そのため、各州で運転可能年齢の引き上げが議論されている。

Exercise 111問題 111

Assume the event occurs independently in any given day. In words, define the random variable X.

どの日でも事象は独立に起こると仮定する。確率変数Xを言葉で定義せよ。

Solution解き方

X = the number of U.S. teens who die from motor vehicle injuries per day.

X = 米国で1日に自動車によるけがで死亡する10代の人数。

Exercise 112問題 112

X ~ _____(_____,_____)

Exercise 113問題 113

What values does X take on?

Xはどのような値をとるか。

Solution解き方

0, 1, 2, 3, 4, ...

Exercise 114問題 114

For the given values of the random variable X, fill in the corresponding probabilities.

確率変数Xの与えられた各値について、対応する確率を記入せよ。

Exercise 115問題 115

Is it likely that there will be no teens killed from motor vehicle injuries on any given day in the U.S? Justify your answer numerically.

米国で、ある日に自動車によるけがで死亡する10代が1人もいない可能性は高いか。数値で根拠を示せ。

Solution解き方

いいえ

Exercise 116問題 116

Is it likely that there will be more than 20 teens killed from motor vehicle injuries on any given day in the U.S.? Justify your answer numerically.

米国で、ある日に自動車によるけがで死亡する10代が20人を超える可能性は高いか。数値で根拠を示せ。