第4章離散確率変数

References参考文献

Class Catalogue at the Florida State University. Available online at https://apps.oti.fsu.edu/RegistrarCourseLookup/SearchFormLegacy (accessed May 15, 2013).

フロリダ州立大学の授業一覧。https://apps.oti.fsu.edu/RegistrarCourseLookup/SearchFormLegacy で閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。

“World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights,” World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (accessed May 15, 2013).

「世界の地震：最新の地震ニュースと注目情報」、World Earthquakes、2012年。http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction （2013年5月15日閲覧）。

Chapter Review章の復習

The expected value, or mean, of a discrete random variable predicts the long-term results of a statistical experiment that has been repeated many times. The standard deviation of a probability distribution is used to measure the variability of possible outcomes.

離散確率変数の期待値、すなわち平均は、何度も繰り返した統計的実験の長期的な結果を予測する。確率分布の標準偏差は、起こりうる結果のばらつきを測るために用いる。

Formula Review公式の復習

Mean or Expected Value:

μ = \underset{x \in X}{\sum^{​}} x P (x)

平均（期待値）：

μ = \underset{x \in X}{\sum^{​}} x P (x)

Standard Deviation:

σ = \sqrt{\underset{x \in X}{\sum^{​}} {(x - μ)}^{2} P (x)}

標準偏差：

σ = \sqrt{\underset{x \in X}{\sum^{​}} {(x - μ)}^{2} P (x)}

Exercises 19–23練習問題 19–23

Exercise 19問題 19

Complete the expected value table.

期待値表を完成させよ。

Table 4.25表 4.25
x	P(x)	x*P(x)
0	0.2
1	0.2
2	0.4
3	0.2

Exercise 20問題 20

Find the expected value from the expected value table.

期待値表から期待値を求めよ。

Table 4.26表 4.26
x	P(x)	x*P(x)
2	0.1	2(0.1) = 0.2
4	0.3	4(0.3) = 1.2
6	0.4	6(0.4) = 2.4
8	0.2	8(0.2) = 1.6

Solution解き方

0.2 + 1.2 + 2.4 + 1.6 = 5.4

Exercise 21問題 21

Find the standard deviation.

標準偏差を求めよ。

Table 4.27表 4.27
x	P(x)	x*P(x)	(x – μ)²P(x)
2	0.1	2(0.1) = 0.2	(2–5.4)²(0.1) = 1.156
4	0.3	4(0.3) = 1.2	(4–5.4)²(0.3) = 0.588
6	0.4	6(0.4) = 2.4	(6–5.4)²(0.4) = 0.144
8	0.2	8(0.2) = 1.6	(8–5.4)²(0.2) = 1.352

Exercise 22問題 22

Identify the mistake in the probability distribution table.

この確率分布表の誤りを指摘せよ。

Table 4.28表 4.28
x	P(x)	x*P(x)
1	0.15	0.15
2	0.25	0.50
3	0.30	0.90
4	0.20	0.80
5	0.15	0.75

Solution解き方

The values of P(x) do not sum to one.

P(x)の値の合計が1になっていない。

Exercise 23問題 23

Identify the mistake in the probability distribution table.

この確率分布表の誤りを指摘せよ。

Table 4.29表 4.29
x	P(x)	x*P(x)
1	0.15	0.15
2	0.25	0.40
3	0.25	0.65
4	0.20	0.85
5	0.15	1

Exercises 24–28練習問題 24–28

Use the following information to answer the next five exercises: A physics professor wants to know what percent of physics majors will spend the next several years doing post-graduate research. They have the following probability distribution.

次の情報を使って、続く5問に答えよ。ある物理学の教授は、物理学専攻者の何%が今後数年間を大学院での研究に費やすか知りたいと考えている。次の確率分布が得られている。

Table 4.30表 4.30
x	P(x)	x*P(x)
1	0.35
2	0.20
3	0.15
4
5	0.10
6	0.05

Exercise 24問題 24

Define the random variable X.

確率変数Xを定義せよ。

Solution解き方

Let X = the number of years a physics major will spend doing post-graduate research.

X = 物理学専攻者が大学院での研究に費やす年数とする。

Exercise 25問題 25

Define P(x), or the probability of x.

P(x)、すなわちxの確率を定義せよ。

Exercise 26問題 26

Find the probability that a physics major will do post-graduate research for four years. P(x = 4) = _______

物理学専攻者が大学院で4年間研究する確率を求めよ。P(x = 4) = _______

Solution解き方

1 – 0.35 – 0.20 – 0.15 – 0.10 – 0.05 = 0.15

Exercise 27問題 27

FInd the probability that a physics major will do post-graduate research for at most three years. P(x ≤ 3) = _______

物理学専攻者が大学院で研究する期間が3年以下である確率を求めよ。P(x ≤ 3) = _______

Exercise 28問題 28

On average, how many years would you expect a physics major to spend doing post-graduate research?

平均して、物理学専攻者は大学院での研究に何年費やすと予想されるか。

Solution解き方

1(0.35) + 2(0.20) + 3(0.15) + 4(0.15) + 5(0.10) + 6(0.05) = 0.35 + 0.40 + 0.45 + 0.60 + 0.50 + 0.30 = 2.6 years

1(0.35) + 2(0.20) + 3(0.15) + 4(0.15) + 5(0.10) + 6(0.05) = 0.35 + 0.40 + 0.45 + 0.60 + 0.50 + 0.30 = 2.6年

Exercises 29–37練習問題 29–37

Use the following information to answer the next seven exercises: A ballet instructor is interested in knowing what percent of each year's class will continue on to the next, so that she can plan what classes to offer. Over the years, she has established the following probability distribution.

次の情報を使って、続く7問に答えよ。あるバレエ教師は、どのクラスを開講するか計画するため、各年のクラスの何%が翌年も継続するか知りたいと考えている。長年の調査から、次の確率分布を得た。

Let X = the number of years a student will study ballet with the teacher.
X = 生徒がこの教師についてバレエを学ぶ年数とする。
Let P(x) = the probability that a student will study ballet x years.
P(x) = 生徒がx年間バレエを学ぶ確率とする。

Exercise 29問題 29

Complete Table 4.31 using the data provided.

与えられたデータを使って表4.31を完成させよ。

Table 4.31表 4.31
x	P(x)	x*P(x)
1	0.10
2	0.05
3	0.10
4
5	0.30
6	0.20
7	0.10

Exercise 30問題 30

In words, define the random variable X.

確率変数Xを言葉で定義せよ。

Solution解き方

X is the number of years a student studies ballet with the teacher.

Xは、生徒がこの教師についてバレエを学ぶ年数である。

Exercise 31問題 31

P(x = 4) = _______

Exercise 32問題 32

P(x < 4) = _______

Solution解き方

0.10 + 0.05 + 0.10 = 0.25

Exercise 33問題 33

On average, how many years would you expect a child to study ballet with this teacher?

平均して、子どもはこの教師について何年間バレエを学ぶと予想されるか。

Exercise 34問題 34

What does the column "P(x)" sum to and why?

「P(x)」の列の合計はいくらになるか。その理由も述べよ。

Solution解き方

The sum of the probabilities sum to one because it is a probability distribution.

確率分布なので、確率の合計は1になる。

Exercise 35問題 35

What does the column "x*P(x)" sum to and why?

「x*P(x)」の列の合計はいくらになるか。その理由も述べよ。

Exercise 36問題 36

You are playing a game by drawing a card from a standard deck and replacing it. If the card is a face card, you win $30. If it is not a face card, you pay $2. There are 12 face cards in a deck of 52 cards. What is the expected value of playing the game?

標準的なトランプから1枚引いて元に戻すゲームをしている。絵札なら30ドルを得て、絵札でなければ2ドル支払う。52枚のカードのうち12枚が絵札である。このゲームの期待値はいくらか。

Solution解き方

- 2 (\frac{40}{52}) + 30 (\frac{12}{52}) = - 1.54 + 6.92 = 5.38

Exercise 37問題 37

標準的なトランプから1枚引いて元に戻すゲームをしている。絵札なら30ドルを得て、絵札でなければ2ドル支払う。52枚のカードのうち12枚が絵札である。このゲームをするべきか。