第4章離散確率変数

References参考文献

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Newport, Frank. “Americans Still Enjoy Saving Rather than Spending: Few demographic differences seen in these views other than by income,” GALLUP® Economy, 2013. Available online at http://www.gallup.com/poll/162368/americans-enjoy-saving-rather-spending.aspx (accessed May 15, 2013).

フランク・ニューポート「米国人は依然として支出より貯蓄を好む：所得以外では、この考え方に人口統計上の差はほとんど見られない」、GALLUP® Economy、2013年。http://www.gallup.com/poll/162368/americans-enjoy-saving-rather-spending.aspx で閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。

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Chapter Review章の復習

A statistical experiment can be classified as a binomial experiment if the following conditions are met:

次の条件を満たす統計的実験は、二項実験に分類できる。

There are a fixed number of trials, n.
試行回数nが固定されている。
There are only two possible outcomes, called "success" and, "failure" for each trial. The letter p denotes the probability of a success on one trial and q denotes the probability of a failure on one trial.
各試行の結果は「成功」と「失敗」の二通りだけである。1回の試行で成功する確率をp、失敗する確率をqで表す。
The n trials are independent and are repeated using identical conditions.
n回の試行は独立で、同じ条件の下で繰り返される。

The outcomes of a binomial experiment fit a binomial probability distribution. The random variable X = the number of successes obtained in the n independent trials. The mean of X can be calculated using the formula μ = np, and the standard deviation is given by the formula σ =

\sqrt{n p q}

二項実験の結果は二項確率分布に従う。確率変数X = n回の独立な試行で得られる成功回数である。Xの平均はμ = npで計算でき、標準偏差はσ =

\sqrt{n p q}

で与えられる。

Formula Review公式の復習

X ~ B(n, p) means that the discrete random variable X has a binomial probability distribution with n trials and probability of success p.

X ~ B(n, p)は、離散確率変数Xが試行回数n、成功確率pの二項確率分布に従うことを意味する。

X = the number of successes in n independent trials

X = n回の独立な試行における成功回数

n = the number of independent trials

n = 独立な試行の回数

X takes on the values x = 0, 1, 2, 3, ..., n

Xはx = 0, 1, 2, 3, …, nの値を取る。

p = the probability of a success for any trial

p = 各試行で成功する確率

q = the probability of a failure for any trial

q = 各試行で失敗する確率

p + q = 1

q = 1 – p

The mean of X is μ = np. The standard deviation of X is σ =

\sqrt{n p q}

Xの平均はμ = np、標準偏差はσ =

\sqrt{n p q}

である。

Exercises 50–57練習問題 50–57

Use the following information to answer the next eight exercises: The Higher Education Research Institute at UCLA collected data from 203,967 incoming first-time, full-time first-year students from 270 four-year colleges and universities in the U.S. 71.3% of those students replied that, yes, they believe that same-sex couples should have the right to legal marital status. Suppose that you randomly pick eight first-time, full-time first-year students from the survey. You are interested in the number that believes that same sex-couples should have the right to legal marital status.

次の情報を使って、続く8問に答えよ。UCLA高等教育研究所は、米国の4年制大学270校から、初めて入学した全日制の1年生203,967人のデータを集めた。71.3%の学生が、同性カップルには法律上の婚姻資格を得る権利があるべきだと回答した。この調査の全日制の新入生から8人を無作為に選ぶとする。同性カップルには法律上の婚姻資格を得る権利があるべきだと考える人数に関心がある。

Exercise 50問題 50

In words, define the random variable X.

確率変数Xを言葉で定義せよ。

Solution解き方

X = the number that reply “yes”

X = 「はい」と答える人数

Exercise 51問題 51

X ~ _____(_____,_____)

Exercise 52問題 52

What values does the random variable X take on?

確率変数Xはどのような値を取るか。

Solution解き方

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Exercise 53問題 53

Construct the probability distribution function (PDF).

確率分布関数（PDF）を作成せよ。

Table 4.42表 4.42
x	P(x)

Exercise 54問題 54

On average (μ), how many would you expect to answer yes?

平均して（μ）何人が「はい」と答えると予想されるか。

Solution解き方

5.7

Exercise 55問題 55

What is the standard deviation (σ)?

標準偏差σはいくらか。

Exercise 56問題 56

What is the probability that at most five of the first-year students reply “yes”?

「はい」と答える1年生が5人以下である確率はいくらか。

Solution解き方

0.4151

Exercise 57問題 57

What is the probability that at least two of the first-year students reply “yes”?

「はい」と答える1年生が少なくとも2人いる確率はいくらか。

HOMEWORK宿題

Exercises 58練習問題 58

Exercise 58問題 58

According to a recent article the average number of babies born with significant hearing loss (deafness) is approximately two per 1,000 babies in a healthy baby nursery. The number climbs to an average of 30 per 1,000 babies in an intensive care nursery.

英語のヒント

最近の記事によると、健康な新生児のための新生児室では、生まれつき著しい聴力損失（ろう）のある乳児は、平均して1,000人当たり約2人である。集中治療を行う新生児室では、平均して1,000人当たり30人に増える。

Suppose that 1,000 babies from healthy baby nurseries were randomly surveyed. Find the probability that exactly two babies were born deaf.

健康な新生児のための新生児室から、乳児1,000人を無作為に調査したとする。生まれつき耳の聞こえない乳児がちょうど2人である確率を求めよ。

Exercises 59–64練習問題 59–64

Use the following information to answer the next four exercises. Recently, a nurse commented that when a patient calls the medical advice line claiming to have the flu, the chance that they truly have the flu (and not just a nasty cold) is only about 4%. Of the next 25 patients calling in claiming to have the flu, we are interested in how many actually have the flu.

英語のヒント

次の情報を使って、続く4問に答えよ。最近、ある看護師は、医療相談窓口に電話してインフルエンザだと訴える患者が、本当にインフルエンザである確率（ひどい風邪にすぎない場合を除く）は約4%にすぎないと述べた。次にインフルエンザだと訴えて電話してくる25人のうち、実際にインフルエンザの人が何人いるかに関心がある。

Exercise 59問題 59

Define the random variable and list its possible values.

確率変数を定義し、取りうる値を列挙せよ。

Solution解き方

X = the number of patients calling in claiming to have the flu, who actually have the flu.

X = インフルエンザだと訴えて電話してきた患者のうち、実際にインフルエンザの人の人数。

X = 0, 1, 2, ...25

Exercise 60問題 60

State the distribution of X.

Xの分布を述べよ。

Exercise 61問題 61

Find the probability that at least four of the 25 patients actually have the flu.

25人の患者のうち少なくとも4人が実際にインフルエンザである確率を求めよ。

Solution解き方

0.0165

Exercise 62問題 62

On average, for every 25 patients calling in, how many do you expect to have the flu?

電話してくる患者25人当たり、平均して何人がインフルエンザだと予想されるか。

Exercise 63問題 63

People visiting a hot dog stand often purchase more than one hot dog. The probability distribution for purchases of number of hot dogs per customer at a hot dog stand is given Table 4.43.

ホットドッグ店の客は、1個より多く購入することが多い。ある店の客1人当たりの購入数の確率分布を表4.43に示す。

Table 4.43表 4.43
x	P(x)
0	0.03
1	0.50
2	0.24
3
4	0.07
5	0.04

Describe the random variable X in words.
確率変数Xを言葉で説明せよ。
Find the probability that a customer purchases three hot dogs.
客がホットドッグを3個購入する確率を求めよ。
Find the probability that a customer purchases at least four hot dogs.
客がホットドッグを4個以上購入する確率を求めよ。
Find the probability that a customer purchases at most two hot dogs.
客がホットドッグを2個以下購入する確率を求めよ。

Solution解き方

X = the number of hot dogs a person at a hot dog stand eats
X = ホットドッグ店の客1人が食べるホットドッグの個数
0.12
0.11
0.77

Exercise 64問題 64

A school newspaper reporter decides to randomly survey 12 students to see if they will attend Tet (Vietnamese New Year) festivities this year. Based on past years, she knows that 18% of students attend Tet festivities. We are interested in the number of students who will attend the festivities.

英語のヒント

学校新聞の記者が、今年テト（ベトナムの正月）の祝祭に参加するかどうか、12人の学生を無作為に調査することにした。過去の実績から、学生の18%がテトの祝祭に参加すると分かっている。参加する学生の人数に関心がある。

In words, define the random variable X.
確率変数Xを言葉で定義せよ。
List the values that X may take on.
Xがとりうる値を列挙せよ。
Give the distribution of X. X ~ _____(_____,_____)
Xの分布を示せ。X ~ _____(_____,_____)
How many of the 12 students do we expect to attend the festivities?
12人のうち、何人が祝祭に参加すると予想されるか。
Find the probability that at most four students will attend.
参加する学生が4人以下である確率を求めよ。
Find the probability that more than two students will attend.
参加する学生が2人より多い確率を求めよ。

Exercises 65練習問題 65

Use the following information to answer the next three exercises: The probability that the San Jose Sharks will win any given game is 0.3694 based on a 13-year win history of 382 wins out of 1,034 games played (as of a certain date). An upcoming monthly schedule contains 12 games.

次の情報を使って、続く3問に答えよ。サンノゼ・シャークスがある試合に勝つ確率は、13年間で1,034試合中382勝という成績（ある時点まで）に基づいて0.3694である。今度の月には12試合が予定されている。

Exercise 65問題 65

The expected number of wins for that upcoming month is:

その月の勝利数の期待値は、

1.67
12
$\frac{382}{1043}$
4.43

Solution解き方

d. 4.43