プリンキピア

第4章離散確率変数

HOMEWORK宿題

Exercises 38–49練習問題 38–49
Exercise 38問題 38
A theater group holds a fund-raiser. It sells 100 raffle tickets for $5 apiece. Suppose you purchase four tickets. The prize is two passes to a Broadway show, worth a total of $150.
英語のヒント
ある劇団が資金集めを行う。1枚5ドルの抽選券を100枚売る。4枚購入するとする。賞品はブロードウェイ公演の入場券2枚で、合計150ドル相当である。
  1. What are you interested in here?
    ここでは何に関心があるか。
  2. In words, define the random variable X.
    確率変数Xを言葉で定義せよ。
  3. List the values that X may take on.
    Xがとりうる値を列挙せよ。
  4. Construct a PDF.
    PDFを作成せよ。
  5. If this fund-raiser is repeated often and you always purchase four tickets, what would be your expected average winnings per raffle?
    この資金集めが何度も行われ、毎回4枚ずつ購入するとしたら、1回の抽選で得られる金額の平均はいくらと予想されるか。
Exercise 39問題 39
A game involves selecting a card from a regular 52-card deck and tossing a coin. The coin is a fair coin and is equally likely to land on heads or tails.
通常の52枚のトランプから1枚選び、硬貨を投げるゲームがある。硬貨は公平で、表と裏が出る確率は等しい。
  • If the card is a face card, and the coin lands on Heads, you win $6
    絵札を引き、硬貨が表なら6ドルを得る。
  • If the card is a face card, and the coin lands on Tails, you win $2
    絵札を引き、硬貨が裏なら2ドルを得る。
  • If the card is not a face card, you lose $2, no matter what the coin shows.
    英語のヒント
    絵札でなければ、硬貨の結果にかかわらず2ドル失う。
  1. Find the expected value for this game (expected net gain or loss).
    このゲームの期待値（純利益または純損失の期待値）を求めよ。
  2. Explain what your calculations indicate about your long-term average profits and losses on this game.
    このゲームの長期的な平均利益・損失について、計算結果が何を示すか説明せよ。
  3. Should you play this game to win money?
    お金を得るために、このゲームをするべきか。
Solution解き方
The variable of interest is X, or the gain or loss, in dollars.
関心のある変数はX、すなわちドルで表した利益または損失である。
The face cards jack, queen, and king. There are (3)(4) = 12 face cards and 52 – 12 = 40 cards that are not face cards.
絵札はジャック、クイーン、キングである。絵札は(3)(4) = 12枚、絵札以外は52 − 12 = 40枚ある。
We first need to construct the probability distribution for X. We use the card and coin events to determine the probability for each outcome, but we use the monetary value of X to determine the expected value.
英語のヒント
まず、Xの確率分布を作成する必要がある。各結果の確率を求めるにはカードと硬貨の事象を使うが、期待値を求めるにはXの金額を使う。
Card Event
カードの事象
X net gain/loss
X：純利益／純損失
P(X)
Face Card and Heads
絵札かつ表
6
( 12 52 )( 1 2 )=( 6 52 )
Face Card and Tails
絵札かつ裏
2
( 12 52 )( 1 2 )=( 6 52 )
(Not Face Card) and (H or T)
（絵札以外）かつ（表または裏）
–2
( 40 52 )( 1 )=( 40 52 )
Table 4.32表 4.32
  • Expected value=(6)( 6 52 )+(2)( 6 52 )+(−2)( 40 52 )=– 32 52
    期待値=(6)( 6 52 )+(2)( 6 52 )+(−2)( 40 52 )=– 32 52
  • Expected value = –$0.62, rounded to the nearest cent
    期待値 = −0.62ドル（1セント単位に四捨五入）
  • If you play this game repeatedly, over a long string of games, you would expect to lose 62 cents per game, on average.
    このゲームを長期間にわたって何度も繰り返すと、1回当たり平均62セント失うと予想される。
  • You should not play this game to win money because the expected value indicates an expected average loss.
    期待値が平均損失を示しているので、お金を得るためにこのゲームをするべきではない。
Exercise 40問題 40
You buy a lottery ticket to a lottery that costs $10 per ticket. There are only 100 tickets available to be sold in this lottery. In this lottery there are one $500 prize, two $100 prizes, and four $25 prizes. Find your expected gain or loss.
1枚10ドルの宝くじを1枚買う。このくじで売られる券は100枚だけである。賞金は500ドルが1本、100ドルが2本、25ドルが4本ある。利益または損失の期待値を求めよ。
Exercise 41問題 41
Complete the PDF and answer the questions.
PDFを完成させ、問いに答えよ。
x
P(x)
xP(x)
0
0.3
1
0.2
2
3
0.4
Table 4.33表 4.33
  1. Find the probability that x = 2.
    x = 2となる確率を求めよ。
  2. Find the expected value.
    期待値を求めよ。
Solution解き方
  1. 0.1
  2. 1.6
Exercise 42問題 42
Suppose that you are offered the following “deal.” You roll a die. If you roll a six, you win $10. If you roll a four or five, you win $5. If you roll a one, two, or three, you pay $6.
次のような「取引」を持ちかけられたとする。サイコロを投げ、6が出れば10ドル、4か5なら5ドルを得る。1、2、3なら6ドル支払う。
  1. What are you ultimately interested in here (the value of the roll or the money you win)?
    ここで最終的に関心があるのは何か（出た目の値か、獲得する金額か）。
  2. In words, define the Random Variable X.
    確率変数Xを言葉で定義せよ。
  3. List the values that X may take on.
    Xがとりうる値を列挙せよ。
  4. Construct a PDF.
    PDFを作成せよ。
  5. Over the long run of playing this game, what are your expected average winnings per game?
    このゲームを長期にわたって行うと、1回当たりの平均獲得金額はいくらと予想されるか。
  6. Based on numerical values, should you take the deal? Explain your decision in complete sentences.
    数値に基づくと、この取引を受けるべきか。判断を完全な文で説明せよ。
Exercise 43問題 43
A venture capitalist, willing to invest $1,000,000, has three investments to choose from. The first investment, a software company, has a 10% chance of returning $5,000,000 profit, a 30% chance of returning $1,000,000 profit, and a 60% chance of losing the million dollars. The second company, a hardware company, has a 20% chance of returning $3,000,000 profit, a 40% chance of returning $1,000,000 profit, and a 40% chance of losing the million dollars. The third company, a biotech firm, has a 10% chance of returning $6,000,000 profit, a 70% of no profit or loss, and a 20% chance of losing the million dollars.
英語のヒント
1,000,000ドルを投資しようとするベンチャー投資家が、三つの投資先から選ぼうとしている。一つ目のソフトウェア会社への投資では、5,000,000ドルの利益を得る確率が10%、1,000,000ドルの利益を得る確率が30%、投資した100万ドルを失う確率が60%である。二つ目のハードウェア会社では、3,000,000ドルの利益を得る確率が20%、1,000,000ドルの利益を得る確率が40%、100万ドルを失う確率が40%である。三つ目のバイオテクノロジー企業では、6,000,000ドルの利益を得る確率が10%、利益も損失もない確率が70%、100万ドルを失う確率が20%である。
  1. Construct a PDF for each investment.
    各投資のPDFを作成せよ。
  2. Find the expected value for each investment.
    各投資の期待値を求めよ。
  3. Which is the safest investment? Why do you think so?
    最も安全な投資はどれか。そう考える理由も述べよ。
  4. Which is the riskiest investment? Why do you think so?
    最も危険な投資はどれか。そう考える理由も述べよ。
  5. Which investment has the highest expected return, on average?
    平均的に、期待収益が最も高い投資はどれか。
Solution解き方
  1. Software Company
    ソフトウェア会社
    x
    P(x)
    5,000,000
    0.10
    1,000,000
    0.30
    –1,000,000
    0.60
    Table 4.34表 4.34
    Hardware Company
    ハードウェア会社
    x
    P(x)
    3,000,000
    0.20
    1,000,000
    0.40
    –1,000,00
    0.40
    Table 4.35表 4.35
    Biotech Firm
    バイオテクノロジー企業
    x
    P(x)
    6,00,000
    0.10
    0
    0.70
    –1,000,000
    0.20
    Table 4.36表 4.36
  2. $200,000; $600,000; $400,000
  3. third investment because it has the lowest probability of loss
    損失を出す確率が最も低いので、三つ目の投資。
  4. first investment because it has the highest probability of loss
    損失を出す確率が最も高いので、一つ目の投資。
  5. second investment
    二つ目の投資。
Exercise 44問題 44
Suppose that 20,000 married adults in the United States were randomly surveyed as to the number of children they have. The results are compiled and are used as theoretical probabilities. Let X = the number of children married people have.
英語のヒント
米国の既婚成人20,000人を無作為に調査し、子どもの人数を尋ねたとする。結果を集計し、理論的確率として用いる。X = 既婚者の子どもの人数とする。
x
P(x)
xP(x)
0
0.10
1
0.20
2
0.30
3
4
0.10
5
0.05
6 (or more)
6人（またはそれ以上）
0.05
Table 4.37表 4.37
  1. Find the probability that a married adult has three children.
    既婚成人に子どもが3人いる確率を求めよ。
  2. In words, what does the expected value in this example represent?
    この例の期待値は何を表すか、言葉で説明せよ。
  3. Find the expected value.
    期待値を求めよ。
  4. Is it more likely that a married adult will have two to three children or four to six children? How do you know?
    既婚成人の子どもが2〜3人である場合と4〜6人である場合では、どちらの可能性が高いか。なぜそう分かるか。
Exercise 45問題 45
Suppose that the PDF for the number of years it takes to earn a Bachelor of Science (B.S.) degree is given as in Table 4.38.
理学士（B.S.）の学位取得に要する年数のPDFが、表4.38のように与えられているとする。
x
P(x)
3
0.05
4
0.40
5
0.30
6
0.15
7
0.10
Table 4.38表 4.38
On average, how many years do you expect it to take for an individual to earn a B.S.?
平均して、理学士を取得するには何年かかると予想されるか。
Solution解き方
4.85 years
4.85年
Exercise 46問題 46
People visiting video game rental stores often rent more than one game at a time. The probability distribution for game rentals per customer at Game Stop is given in the following table. There is a five-game limit per customer at this store, so nobody ever rents more than five video games.
ビデオゲームのレンタル店を訪れる客は、1度に複数のゲームを借りることが多い。Game Stopの客1人当たりのレンタル数の確率分布を、次の表に示す。この店では客1人につき5本までなので、5本を超えて借りる客はいない。
x
P(x)
0
0.03
1
0.50
2
0.24
3
4
0.07
5
0.04
Table 4.39表 4.39
  1. Describe the random variable X in words.
    確率変数Xを言葉で説明せよ。
  2. Find the probability that a customer rents three video games.
    客がゲームを3本借りる確率を求めよ。
  3. Find the probability that a customer rents at least four video games.
    客がゲームを4本以上借りる確率を求めよ。
  4. Find the probability that a customer rents at most two video games.
    Another shop, Games Galore, also rents video games. The probability distribution for video game rentals per customer at this shop is given as follows. Games Galore also has a five-game limit per customer.
    客がゲームを2本以下借りる確率を求めよ。別の店Games Galoreもゲームを貸し出している。この店の客1人当たりのレンタル数の確率分布は、次のとおりである。Games Galoreでも、客1人につき5本までである。
    x
    P(x)
    0
    0.35
    1
    0.25
    2
    0.20
    3
    0.10
    4
    0.05
    5
    0.05
    Table 4.40表 4.40
  5. At which store is the expected number of video games rented per customer higher?
    客1人当たりのレンタル本数の期待値が高いのは、どちらの店か。
  6. If Game Stop estimates that they will have 300 customers next week, how many video games do they expect to rent next week? Answer in sentence form.
    Game Stopが来週の客数を300人と見込むとき、来週何本のゲームを貸し出すと予想されるか。文の形で答えよ。
  7. If Game Stop expects 300 customers next week, and Games Galore projects that they will have 420 customers, for which store is the expected number of video game rentals for next week higher? Explain.
    来週の客数をGame Stopは300人、Games Galoreは420人と見込んでいる場合、来週のレンタル総数の期待値が高いのはどちらの店か。説明せよ。
  8. Which of the two stores experiences more variation in the number of video game per customer? How do you know that?
    客1人当たりのレンタル本数のばらつきが大きいのは、どちらの店か。なぜそう分かるか。
Exercise 47問題 47
A “friend” offers you the following “deal.” For a $10 fee, you may pick an envelope from a box containing 100 seemingly identical envelopes. However, each envelope contains a coupon for a free gift.
英語のヒント
ある「友人」が次の「取引」を持ちかけてきた。10ドル払うと、見たところ同じ封筒100通が入った箱から1通選べる。ただし、それぞれの封筒には無料の品物と交換できるクーポンが入っている。
  • Ten of the coupons are for a free gift worth $6.
    10枚のクーポンは、6ドル相当の品物と交換できる。
  • Eighty of the coupons are for a free gift worth $8.
    80枚のクーポンは、8ドル相当の品物と交換できる。
  • Six of the coupons are for a free gift worth $12.
    6枚のクーポンは、12ドル相当の品物と交換できる。
  • Four of the coupons are for a free gift worth $40.
    4枚のクーポンは、40ドル相当の品物と交換できる。
Based upon the financial gain or loss over the long run, should you play the game?
長期的な金銭的利益または損失に基づくと、このゲームをするべきか。
  1. Yes, I expect to come out ahead in money.
    はい。金銭的に得をすると予想される。
  2. No, I expect to come out behind in money.
    いいえ。金銭的に損をすると予想される。
  3. It doesn’t matter. I expect to break even.
    英語のヒント
    どちらでもよい。収支が釣り合うと予想される。
Solution解き方
b
Exercise 48問題 48
Florida State University has 14 statistics classes scheduled for its summer term. One class has space available for 30 students, eight classes have space for 60 students, one class has space for 70 students, and four classes have space for 100 students.
フロリダ州立大学では、夏学期に統計学のクラスが14設けられている。定員30人のクラスが1、60人が8、70人が1、100人が4ある。
  1. What is the average class size assuming each class is filled to capacity?
    英語のヒント
    各クラスが定員いっぱいだとすると、1クラス当たりの平均人数はいくらか。
  2. Space is available for 980 students. Suppose that each class is filled to capacity and select a statistics student at random. Let the random variable X equal the size of the student’s class. Define the PDF for X.
    全部で980人を受け入れられる。各クラスが定員いっぱいだとし、統計学の受講生を1人無作為に選ぶ。確率変数Xを、その学生が所属するクラスの人数とする。XのPDFを定義せよ。
  3. Find the mean of X.
    Xの平均を求めよ。
  4. Find the standard deviation of X.
    Xの標準偏差を求めよ。
Exercise 49問題 49
In a lottery, there are 250 prizes of $5, 50 prizes of $25, and ten prizes of $100. Assuming that 10,000 tickets are to be issued and sold, what is a fair price to charge to break even?
ある宝くじには、5ドルの賞金が250本、25ドルが50本、100ドルが10本ある。10,000枚を発行して販売するとして、収支が釣り合う適正な販売価格はいくらか。
Solution解き方
Let X = the amount of money to be won on a ticket. The following table shows the PDF for X.
X = くじ券1枚で獲得する金額とする。次の表にXのPDFを示す。
x
P(x)
0
0.969
5
250 10,000 = 0.025
25
50 10,000 = 0.005
100
10 10,000 = 0.001
Table 4.41表 4.41
Calculate the expected value of X.
Xの期待値を計算する。
0(0.969) + 5(0.025) + 25(0.005) + 100(0.001) = 0.35
A fair price for a ticket is $0.35. Any price over $0.35 will enable the lottery to raise money.
くじ券の適正価格は0.35ドルである。0.35ドルを超える価格なら、くじによって資金を集められる。
Expected Value
期待値
expected arithmetic average when an experiment is repeated many times; also called the mean. Notations: μ. For a discrete random variable (RV) with probability distribution function P(x),the definition can also be written in the form μ = ∑ xP(x).
実験を何度も繰り返したときに予想される算術平均。平均とも呼ぶ。記号はμ。確率分布関数P(x)をもつ離散確率変数（RV）については、定義をμ = ∑ xP(x)とも書ける。
Mean
平均
a number that measures the central tendency; a common name for mean is ‘average.’ The term ‘mean’ is a shortened form of ‘arithmetic mean.’ By definition, the mean for a sample (detonated by x ¯ ) is x ¯ = Sum of all values in the sampleNumber of values in the sample and the mean for a population (denoted by μ) is μ = Sum of all values in the population Number of values in the population .
中心的な傾向を測る数値。meanは一般にaverageとも呼ばれる。meanはarithmetic mean（算術平均）の短縮形である。定義により、標本の平均（ x ¯ で表す）は x ¯ = 標本の全データの合計標本のデータ数で、母集団の平均（μで表す）はμ = 母集団の全データの合計 母集団のデータ数 である。
Mean of a Probability Distribution
確率分布の平均
the long-term average of many trials of a statistical experiment
統計的実験を何度も試行したときの長期的な平均。
Standard Deviation of a Probability Distribution
確率分布の標準偏差
a number that measures how far the outcomes of a statistical experiment are from the mean of the distribution σ=∑[x – μ2 ∙ Ρx]
統計的実験の結果が分布の平均からどの程度離れているかを測る数値。σ=∑[x – μ2 ∙ Ρx]
The Law of Large Numbers
大数の法則
As the number of trials in a probability experiment increases, the difference between the theoretical probability of an event and the relative frequency probability approaches zero.
確率実験の試行回数が増えるにつれ、ある事象の理論的確率と相対度数による確率との差は0に近づく。