第4章離散確率変数

4.2 Mean or Expected Value and Standard Deviation4.2　平均（期待値）と標準偏差

The expected value is often referred to as the "long-term" average or mean. This means that over the long term of doing an experiment over and over, you would expect this average.

期待値は、しばしば「長期的な」平均と呼ばれる。つまり、長期にわたり実験を何度も繰り返すと、この平均が得られると予想されるということである。

You toss a coin and record the result. What is the probability that the result is heads? If you flip a coin two times, does probability tell you that these flips will result in one heads and one tail? You might toss a fair coin ten times and record nine heads. As you learned in Probability Topics, probability does not describe the short-term results of an experiment. It gives information about what can be expected in the long term. To demonstrate this, Karl Pearson once tossed a fair coin 24,000 times! He recorded the results of each toss, obtaining heads 12,012 times. In his experiment, Pearson illustrated the Law of Large Numbers.

硬貨を投げて結果を記録する。表が出る確率はいくらか。硬貨を2回投げたとき、確率は表と裏が1回ずつ出ることを保証するだろうか。公平な硬貨を10回投げ、9回表が出ることもある。「確率の話題」で学んだように、確率は実験の短期的な結果を記述するものではない。長期的に何が期待できるかを示すものである。これを実証するため、カール・ピアソンはかつて公平な硬貨を24,000回も投げた。各回の結果を記録したところ、表は12,012回だった。この実験で、ピアソンは大数の法則を示した。

The Law of Large Numbers states that, as the number of trials in a probability experiment increases, the difference between the theoretical probability of an event and the relative frequency approaches zero (the theoretical probability and the relative frequency get closer and closer together). When evaluating the long-term results of statistical experiments, we often want to know the “average” outcome. This “long-term average” is known as the mean or expected value of the experiment and is denoted by the Greek letter μ. In other words, after conducting many trials of an experiment, you would expect this average value.

大数の法則とは、確率実験の試行回数が増えるにつれて、ある事象の理論的確率と相対度数の差が0に近づく（理論的確率と相対度数が互いに近づいていく）という法則である。統計的実験の長期的な結果を評価するとき、「平均的な」結果を知りたいことが多い。この「長期的な平均」を実験の平均または期待値といい、ギリシャ文字μで表す。言い換えると、実験を何度も試行した後には、この平均値が得られると予想される。

The mean, μ, of a discrete probability function is the expected value.

離散確率関数の平均μは、期待値である。

μ = \sum (x ∙ P (x))

The standard deviation, σ, of the PDF is the square root of the variance.

PDFの標準偏差σは、分散の平方根である。

σ = \sqrt{\sum [{(x - μ)}^{2} ∙ Ρ (x)]}

When all outcomes in the probability distribution are equally likely, these formulas coincide with the mean and standard deviation of the set of possible outcomes.

英語のヒント

確率分布のすべての結果が同様に確からしいとき、これらの公式は、取りうる結果の集合の平均と標準偏差に一致する。

Example 4.3例題 4.3

A soccer team plays soccer zero, one, or two days a week. The probability that they play zero days is 0.2, the probability that they play one day is 0.5, and the probability that they play two days is 0.3. Find the long-term average or expected value, μ, of the number of days per week the soccer team plays soccer.

あるサッカーチームが、週に0日、1日、または2日サッカーをする。0日である確率は0.2、1日である確率は0.5、2日である確率は0.3である。このチームが1週間にサッカーをする日数の長期的な平均、すなわち期待値μを求めよ。

To do the problem, first let the random variable X = the number of days the soccer team plays soccer per week. X takes on the values 0, 1, 2. Construct a PDF table adding a column x*P(x). In this column, you will multiply each x value by its probability.

この問題を解くには、まず確率変数X = チームが1週間にサッカーをする日数とする。Xは0、1、2の値を取る。PDF表を作り、x*P(x)の列を追加する。この列では、各xの値にその確率を掛ける。

Expected Value Table This table is called an expected value table. The table helps you calculate the expected value or long-term average.期待値表　この表を期待値表と呼ぶ。期待値、すなわち長期的な平均の計算に役立つ。

Table 4.11表 4.11
x	P(x)	x*P(x)
0	0.2	(0)(0.2) = 0
1	0.5	(1)(0.5) = 0.5
2	0.3	(2)(0.3) = 0.6

Add the last column x*P(x) to find the long term average or expected value: (0)(0.2) + (1)(0.5) + (2)(0.3) = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1.

最後の列x*P(x)を足し合わせ、長期的な平均、すなわち期待値を求める。(0)(0.2) + (1)(0.5) + (2)(0.3) = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1。

The expected value is 1.1. The soccer team would, on the average, expect to play soccer 1.1 days per week. The number 1.1 is the long-term average or expected value if the soccer team plays soccer week after week after week. We say μ = 1.1.

期待値は1.1である。このチームは平均して週に1.1日サッカーをすると予想される。1.1という数は、チームが毎週サッカーをし続けた場合の長期的な平均、すなわち期待値である。μ = 1.1と表す。

Try Itやってみよう

A customer orders 1, 2, or 3 bottles of water. The probability of ordering 1 bottle is 0.6, the probability of ordering 2 bottles is 0.3, and the probability of ordering 3 bottles is 0.1. Find the long-term average or expected value, μ, of the number of bottles a customer will order.

客が水を1本、2本、または3本注文する。1本注文する確率は0.6、2本は0.3、3本は0.1である。客が注文する本数の長期的な平均、すなわち期待値μを求めよ。

Solution解答

Let random variable X = the number of bottles of water a customer orders. X can take values 1, 2, 3. Construct a PDF table.

確率変数X = 客が注文する水の本数とする。Xは1、2、3の値を取る。PDF表を作成する。

Table 4.12表 4.12
x	P(x)	$x * P (x)$
1	0.6	$(1) (0.6) = 0.6$
2	0.3	$(2) (0.3) = 0.6$
3	0.1	$(3) (0.1) = 0.3$

The total of

x * P (x)

is obtained as

0.6 + 0.6 + 0.3 = 1.5

. So, the long-term average or expected value is obtained as μ = 1.5.

x * P (x)

の合計は

0.6 + 0.6 + 0.3 = 1.5

となる。したがって、長期的な平均、すなわち期待値はμ = 1.5である。

Example 4.4例題 4.4

Find the expected value of the number of times a newborn baby's crying wakes its parents after midnight. The expected value is the expected number of times per week a newborn baby's crying wakes its parents after midnight. Calculate the standard deviation of the variable as well.

新生児の泣き声で親が深夜0時以降に目を覚ます回数の期待値を求めよ。この期待値は、新生児の泣き声で親が深夜0時以降に目を覚ます、1週間当たりの予想回数である。この変数の標準偏差も計算せよ。

You expect a newborn to wake its parents after midnight 2.1 times per week, on the average.新生児は、平均して週に2.1回、深夜0時以降に親を起こすと予想される。

Table 4.13表 4.13
x	P(x)	x*P(x)	(x – μ)² ⋅ P(x)
0	P(x = 0) = $\frac{2}{50}$	(0) $(\frac{2}{50})$ = 0	(0 – 2.1)² ⋅ 0.04 = 0.1764
1	P(x = 1) = $(\frac{11}{50})$	(1) $(\frac{11}{50})$ = $\frac{11}{50}$	(1 – 2.1)² ⋅ 0.22 = 0.2662
2	P(x = 2) = $\frac{23}{50}$	(2) $(\frac{23}{50})$ = $\frac{46}{50}$	(2 – 2.1)² ⋅ 0.46 = 0.0046
3	P(x = 3) = $\frac{9}{50}$	(3) $(\frac{9}{50})$ = $\frac{27}{50}$	(3 – 2.1)² ⋅ 0.18 = 0.1458
4	P(x = 4) = $\frac{4}{50}$	(4) $(\frac{4}{50})$ = $\frac{16}{50}$	(4 – 2.1)² ⋅ 0.08 = 0.2888
5	P(x = 5) = $\frac{1}{50}$	(5) $(\frac{1}{50})$ = $\frac{5}{50}$	(5 – 2.1)² ⋅ 0.02 = 0.1682

Add the values in the third column of the table to find the expected value of X:
μ = Expected Value =

\frac{105}{50}

= 2.1

表の第3列の値を足し合わせて、Xの期待値を求める。μ = 期待値 =

\frac{105}{50}

= 2.1

Use μ to complete the table. The fourth column of this table will provide the values you need to calculate the standard deviation. For each value x, multiply the square of its deviation by its probability. (Each deviation has the format x – μ).

μを使って表を完成させる。第4列には、標準偏差の計算に必要な値が並ぶ。各値xについて、偏差の2乗にその確率を掛ける（各偏差はx − μの形である）。

Add the values in the fourth column of the table:

表の第4列の値を足し合わせる。

0.1764 + 0.2662 + 0.0046 + 0.1458 + 0.2888 + 0.1682 = 1.05

The standard deviation of X is the square root of this sum: σ =

\sqrt{1.05}

≈ 1.0247

Xの標準偏差は、この合計の平方根である。σ =

\sqrt{1.05}

≈ 1.0247

Try Itやってみよう

A hospital researcher is interested in the number of times the average post-op patient will ring the nurse during a 12-hour shift. For a random sample of 50 patients, the following information was obtained. What is the expected value?

病院の研究者は、平均的な術後患者が12時間の勤務時間帯に看護師を呼ぶ回数に関心をもっている。患者50人の無作為標本から、次の情報が得られた。期待値はいくらか。

Table 4.14表 4.14
x	P(x)
0	P(x = 0) = $\frac{4}{50}$
1	P(x = 1) = $\frac{8}{50}$
2	P(x = 2) = $\frac{16}{50}$
3	P(x = 3) = $\frac{14}{50}$
4	P(x = 4) = $\frac{6}{50}$
5	P(x = 5) = $\frac{2}{50}$

Example 4.5例題 4.5

Suppose you play a game of chance in which five numbers are chosen from 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. A computer randomly selects five numbers from zero to nine with replacement. You pay $2 to play and could profit $100,000 if you match all five numbers in order (you get your $2 back plus $100,000). Over the long term, what is your expected profit of playing the game?

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9から五つの数を選ぶ運任せのゲームをするとする。コンピューターは0から9までの数を、重複を許して無作為に五つ選ぶ。参加費は2ドルで、五つの数が順番も含めてすべて一致すれば100,000ドルの利益を得られる（参加費の2ドルに加えて100,000ドルを受け取る）。長期的に、このゲームで得られる利益の期待値はいくらか。

To do this problem, set up an expected value table for the amount of money you can profit.

この問題を解くには、得られる利益の金額について期待値表を作成する。

Let X = the amount of money you profit. The values of x are not 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Since you are interested in your profit (or loss), the values of x are 100,000 dollars and −2 dollars.

X = 得られる利益の金額とする。xの値は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9ではない。関心があるのは利益（または損失）なので、xの値は100,000ドルと−2ドルである。

To win, you must get all five numbers correct, in order. The probability of choosing one correct number is

\frac{1}{10}

because there are ten numbers. You may choose a number more than once. The probability of choosing all five numbers correctly and in order is

勝つには、五つの数を順番も含めてすべて当てる必要がある。数は10個あるので、一つの数を当てる確率は

\frac{1}{10}

である。同じ数を複数回選んでもよい。五つすべてを正しい順番で当てる確率は、

(\frac{1}{10}) (\frac{1}{10}) (\frac{1}{10}) (\frac{1}{10}) (\frac{1}{10}) = (1) (10^{- 5}) = 0.00001.

Therefore, the probability of winning is 0.00001 and the probability of losing is

したがって、勝つ確率は0.00001で、負ける確率は、

1 - 0.00001 = 0.99999.

The expected value table is as follows:

期待値表は次のようになる。

Αdd the last column. –1.99998 + 1 = –0.99998最後の列を足し合わせる。−1.99998 + 1 = −0.99998

Table 4.15表 4.15
	x	P(x)	x*P(x)
Loss 損失	–2	0.99999	(–2)(0.99999) = –1.99998
Profit 利益	100,000	0.00001	(100000)(0.00001) = 1

Since –0.99998 is about –1, you would, on average, expect to lose approximately $1 for each game you play. However, each time you play, you either lose $2 or profit $100,000. The $1 is the average or expected LOSS per game after playing this game over and over.

−0.99998はほぼ−1なので、ゲーム1回につき平均して約1ドル失うと予想される。ただし、各回には2ドル失うか100,000ドルの利益を得るかのどちらかである。1ドルというのは、このゲームを何度も繰り返したときの1回当たりの平均損失、すなわち損失の期待値である。

Try Itやってみよう

You are playing a game of chance in which four cards are drawn from a standard deck of 52 cards. You guess the suit of each card before it is drawn. The cards are replaced in the deck on each draw. You pay $1 to play. If you guess the right suit every time, you get your money back and $256. What is your expected profit of playing the game over the long term?

英語のヒント

標準的な52枚のトランプから4枚を引く運任せのゲームをしている。各カードを引く前に、そのスートを予想する。引いたカードは、そのつど山札に戻す。参加費は1ドルである。毎回正しいスートを当てれば、参加費に加えて256ドルを受け取る。長期的に、このゲームで得られる利益の期待値はいくらか。

Example 4.6例題 4.6

Suppose you play a game with a biased coin. You play each game by tossing the coin once. P(heads) =

\frac{2}{3}

and P(tails) =

\frac{1}{3}

. If you toss a head, you pay $6. If you toss a tail, you win $10. If you play this game many times, will you come out ahead?

英語のヒント

偏りのある硬貨でゲームをするとする。1回のゲームにつき硬貨を1回投げる。P(表) =

\frac{2}{3}

、P(裏) =

\frac{1}{3}

である。表が出たら6ドル支払い、裏が出たら10ドルを得る。このゲームを何度も行うと、差し引きで得をするだろうか。

a. Define a random variable X.

a. 確率変数Xを定義せよ。

b. Complete the following expected value table.

b. 次の期待値表を完成させよ。

Table 4.16表 4.16
	x
WIN 勝ち	10	$\frac{1}{3}$
LOSE 負け			$\frac{–12}{3}$

c. What is the expected value, μ? Do you come out ahead?

c. 期待値μはいくらか。差し引きで得をするか。

Solution解き方

a. X = amount of profit

a. X = 利益の金額

Table 4.17表 4.17
	x	P(x)	xP(x)
WIN 勝ち	10	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{3}$
LOSE 負け	–6	$\frac{2}{3}$	$\frac{–12}{3}$

c. Add the last column of the table. The expected value μ =

\frac{– 2}{3}

. You lose, on average, about 67 cents each time you play the game so you do not come out ahead.

c. 表の最後の列を足し合わせる。期待値μ =

\frac{– 2}{3}

である。1回のゲームにつき平均して約67セント失うので、差し引きで得はしない。

Try Itやってみよう

Suppose you play a game with a spinner. You play each game by spinning the spinner once. P(red) =

\frac{2}{5}

, P(blue) =

\frac{2}{5}

, and P(green) =

\frac{1}{5}

. If you land on red, you pay $10. If you land on blue, you don't pay or win anything. If you land on green, you win $10. Complete the following expected value table.

回転盤でゲームをするとする。1回のゲームにつき回転盤を1回回す。P(赤) =

\frac{2}{5}

、P(青) =

\frac{2}{5}

、P(緑) =

\frac{1}{5}

である。赤で止まれば10ドル支払い、青なら支払いも賞金もない。緑なら10ドルを得る。次の期待値表を完成させよ。

Table 4.18表 4.18
	x	P(x)
Red 赤			$– \frac{20}{5}$
Blue 青		$\frac{2}{5}$
Green 緑	10

Like data, probability distributions have standard deviations. To calculate the standard deviation (σ) of a probability distribution, find each deviation from its expected value, square it, multiply it by its probability, add the products, and take the square root. To understand how to do the calculation, look at the table for the number of days per week a men's soccer team plays soccer. To find the standard deviation, add the entries in the column labeled (x – μ)²P(x) and take the square root.

データと同様、確率分布にも標準偏差がある。確率分布の標準偏差σを計算するには、各値の期待値からの偏差を求めて2乗し、その確率を掛け、積を足し合わせて平方根を取る。計算方法を理解するため、男子サッカーチームが1週間にサッカーをする日数の表を見よう。標準偏差を求めるには、(x − μ)²P(x)という見出しの列の値を足し合わせ、平方根を取る。

Table 4.19表 4.19
x	P(x)	x*P(x)	(x – μ)²P(x)
0	0.2	(0)(0.2) = 0	(0 – 1.1)²(0.2) = 0.242
1	0.5	(1)(0.5) = 0.5	(1 – 1.1)²(0.5) = 0.005
2	0.3	(2)(0.3) = 0.6	(2 – 1.1)²(0.3) = 0.243

Add the last column in the table. 0.242 + 0.005 + 0.243 = 0.490. The standard deviation is the square root of 0.49, or σ =

\sqrt{0.49}

= 0.7

表の最後の列を足し合わせる。0.242 + 0.005 + 0.243 = 0.490。標準偏差は0.49の平方根、すなわちσ =

\sqrt{0.49}

= 0.7である。

Generally for probability distributions, we use a calculator or a computer to calculate μ and σ to reduce roundoff error. For some probability distributions, there are short-cut formulas for calculating μ and σ.

英語のヒント

一般に確率分布では、丸め誤差を減らすため、電卓やコンピューターでμとσを計算する。確率分布によっては、μとσを簡単に計算する公式がある。

Example 4.7例題 4.7

Toss a fair, six-sided die twice. Let X = the number of faces that show an even number. Construct a table like Table 4.18 and calculate the mean μ and standard deviation σ of X.

公平な6面のサイコロを2回投げる。X = 偶数の目が出る回数とする。表4.18のような表を作り、Xの平均μと標準偏差σを計算せよ。

Solution解き方

Tossing one fair six-sided die twice has the same sample space as tossing two fair six-sided dice. The sample space has 36 outcomes:

公平な6面のサイコロを1個2回投げる場合の標本空間は、公平な6面のサイコロを2個投げる場合と同じである。標本空間には36通りの結果がある。

Table 4.20表 4.20
(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)	(1, 5)	(1, 6)
(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)	(2, 5)	(2, 6)
(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)	(3, 5)	(3, 6)
(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)	(4, 5)	(4, 6)
(5, 1)	(5, 2)	(5, 3)	(5, 4)	(5, 5)	(5, 6)
(6, 1)	(6, 2)	(6, 3)	(6, 4)	(6, 5)	(6, 6)

Use the sample space to complete the following table:

標本空間を使って、次の表を完成させる。

Calculating μ and σ.μとσの計算。

Table 4.21表 4.21
x	P(x)	xP(x)	(x – μ)² $\cdot$ P(x)
0	$\frac{9}{36}$	0	(0 – 1)² ⋅ $\frac{9}{36}$ = $\frac{9}{36}$
1	$\frac{18}{36}$	$\frac{18}{36}$	(1 – 1)² ⋅ $\frac{18}{36}$ = 0
2	$\frac{9}{36}$	$\frac{18}{36}$	(2 – 1)² ⋅ $\frac{9}{36}$ = $\frac{9}{36}$

Add the values in the third column to find the expected value: μ =

\frac{36}{36}

= 1. Use this value to complete the fourth column.

第3列の値を足し合わせ、期待値μ =

\frac{36}{36}

= 1を求める。この値を使って第4列を完成させる。

Add the values in the fourth column and take the square root of the sum: σ =

\sqrt{\frac{18}{36}}

≈ 0.7071.

第4列の値を足し合わせ、合計の平方根を取る。σ =

\sqrt{\frac{18}{36}}

≈ 0.7071。

Try Itやってみよう

Two stacks of cards are placed on a table. Each stack has cards number 1 to 8. One card from each stack is picked up. Let X = number of cards showing an odd number. Construct a table like Table 4.11 and calculate the mean µ and standard deviation σ of X.

英語のヒント

机の上にカードの山が二つ置かれている。どちらの山にも1から8までの番号のカードがある。各山から1枚ずつ取る。X = 奇数が書かれたカードの枚数とする。表4.11のような表を作り、Xの平均μと標準偏差σを計算せよ。

Solution解答

The sample space has 64 outcomes:

標本空間には64通りの結果がある。

Table 4.22表 4.22
(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)	(1,7)	(1,8)
(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)	(2,7)	(2,8)
(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)	(3,7)	(3,8)
(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)	(4,7)	(4,8)
(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)	(5,7)	(5,8)
(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)	(6,7)	(6,8)
(7,1)	(7,2)	(7,3)	(7,4)	(7,5)	(7,6)	(7,7)	(7,8)
(8,1)	(8,2)	(8,3)	(8,4)	(8,5)	(8,6)	(8,7)	(8,8)

The sample space is used to complete the following table:

標本空間を使って、次の表を完成させる。

Table 4.23表 4.23
x	P(x)	xP*(x)	${(x - μ)}^{2} \cdot P (x)$
0	$\frac{16}{64}$	0	${(0 - 1)}^{2} \cdot \frac{16}{64} = \frac{16}{64}$
1	$\frac{32}{64}$	$\frac{32}{64}$	${(1 - 1)}^{2} \cdot \frac{32}{64} = 0$
2	$\frac{16}{64}$	$\frac{32}{64}$	${(2 - 1)}^{2} \cdot \frac{16}{64} = \frac{16}{64}$

The mean is calculated by adding the values in the third column of P(x), so

\frac{64}{64} = 1

平均はP(x)の第3列の値を足し合わせて計算するので、

\frac{64}{64} = 1

となる。

The square root of the sum of values obtained in the fourth column will give the standard deviation,

σ = \sqrt{\frac{32}{64}} = 0.7071

第4列で得られた値の合計の平方根が標準偏差であり、

σ = \sqrt{\frac{32}{64}} = 0.7071

となる。

Example 4.8例題 4.8

On May 11, 2013 at 9:30 PM, the probability that moderate seismic activity (one moderate earthquake) would occur in the next 48 hours in Iran was about 21.42%. Suppose you make a bet that a moderate earthquake will occur in Iran during this period. If you win the bet, you win $50. If you lose the bet, you pay $20. Let X = the amount of profit from a bet.

英語のヒント

2013年5月11日午後9時30分の時点で、今後48時間以内にイランで中程度の地震活動（中程度の地震1回）が起こる確率は約21.42%だった。この期間にイランで中程度の地震が起こると賭けるとする。賭けに勝てば50ドルを得て、負ければ20ドルを支払う。X = 賭けによる利益の金額とする。

P(win) = P(one moderate earthquake will occur) = 21.42%

P(勝ち) = P(中程度の地震が1回起こる) = 21.42%

P(loss) = P(one moderate earthquake will not occur) = 100% – 21.42%

P(負け) = P(中程度の地震が1回も起こらない) = 100% − 21.42%

If you bet many times, will you come out ahead? Explain your answer in a complete sentence using numbers. What is the standard deviation of X? Construct a table similar to Table 4.19 and Table 4.20 to help you answer these questions.

何度も賭けをすると、差し引きで得をするか。数値を使い、完全な文で説明せよ。Xの標準偏差はいくらか。表4.19と表4.20に似た表を作り、これらの問いに答えよ。

Solution解き方

Table 4.24表 4.24
	x	P(x)	x(Px)	(x – μ)²P(x)
win 勝ち	50	0.2142	10.71	[50 – (–5.006)]²(0.2142) = 648.0964
loss 負け	–20	0.7858	–15.716	[–20 – (–5.006)]²(0.7858) = 176.6636

Mean = Expected Value = 10.71 + (–15.716) = –5.006.

平均 = 期待値 = 10.71 + (−15.716) = −5.006。

If you make this bet many times under the same conditions, your long term outcome will be an average loss of $5.01 per bet.

同じ条件でこの賭けを何度も行うと、長期的には1回当たり平均5.01ドルの損失となる。

Standard Deviation = \sqrt{648.0964 + 176.6636} \approx 28.7186

標準偏差 = \sqrt{648.0964 + 176.6636} \approx 28.7186

Try Itやってみよう

On May 11, 2013 at 9:30 PM, the probability that moderate seismic activity (one moderate earthquake) would occur in the next 48 hours in Japan was about 1.08%. As in Example 4.8, you bet that a moderate earthquake will occur in Japan during this period. If you win the bet, you win $100. If you lose the bet, you pay $10. Let X = the amount of profit from a bet. Find the mean and standard deviation of X.

2013年5月11日午後9時30分の時点で、今後48時間以内に日本で中程度の地震活動（中程度の地震1回）が起こる確率は約1.08%だった。例4.8と同様、この期間に日本で中程度の地震が起こると賭ける。賭けに勝てば100ドルを得て、負ければ10ドルを支払う。X = 賭けによる利益の金額とする。Xの平均と標準偏差を求めよ。

Some of the more common discrete probability functions are binomial, geometric, hypergeometric, and Poisson. Most elementary courses do not cover the geometric, hypergeometric, and Poisson. Your instructor will let you know if they wish to cover these distributions.

よく使われる離散確率関数には、二項分布、幾何分布、超幾何分布、ポアソン分布がある。多くの入門科目では、幾何分布、超幾何分布、ポアソン分布は扱わない。これらの分布を扱う場合は、担当教員から指示がある。

A probability distribution function is a pattern. You try to fit a probability problem into a pattern or distribution in order to perform the necessary calculations. These distributions are tools to make solving probability problems easier. Each distribution has its own special characteristics. Learning the characteristics enables you to distinguish among the different distributions.

英語のヒント

確率分布関数は一つの型である。必要な計算を行うには、確率の問題をある型、つまり分布に当てはめる。これらの分布は、確率の問題を解きやすくする道具である。各分布には、それぞれ固有の特徴がある。その特徴を学ぶと、異なる分布を見分けられるようになる。

第4章離散確率変数

4.2 Mean or Expected Value and Standard Deviation4.2 平均（期待値）と標準偏差

Expected Value Table This table is called an expected value table. The table helps you calculate the expected value or long-term average.期待値表 この表を期待値表と呼ぶ。期待値、すなわち長期的な平均の計算に役立つ。

You expect a newborn to wake its parents after midnight 2.1 times per week, on the average.新生児は、平均して週に2.1回、深夜0時以降に親を起こすと予想される。

Αdd the last column. –1.99998 + 1 = –0.99998最後の列を足し合わせる。−1.99998 + 1 = −0.99998

Calculating μ and σ.μとσの計算。

4.2 Mean or Expected Value and Standard Deviation4.2　平均（期待値）と標準偏差

Expected Value Table This table is called an expected value table. The table helps you calculate the expected value or long-term average.期待値表　この表を期待値表と呼ぶ。期待値、すなわち長期的な平均の計算に役立つ。