プリンキピア

第4章離散確率変数

References参考文献

“Millennials: A Portrait of Generation Next,” PewResearchCenter. Available online at http://www.pewsocialtrends.org/files/2010/10/millennials-confident-connected-open-to-change.pdf (accessed May 15, 2013).
「ミレニアル世代：次世代の肖像」、ピュー・リサーチ・センター。http://www.pewsocialtrends.org/files/2010/10/millennials-confident-connected-open-to-change.pdf で閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。
“Millennials: Confident. Connected. Open to Change.” Executive Summary by PewResearch Social & Demographic Trends, 2013. Available online at http://www.pewsocialtrends.org/2010/02/24/millennials-confident-connected-open-to-change/ (accessed May 15, 2013).
「ミレニアル世代：自信があり、つながりをもち、変化に開かれている」。ピュー・リサーチ「社会・人口動態の傾向」による概要、2013年。http://www.pewsocialtrends.org/2010/02/24/millennials-confident-connected-open-to-change/ で閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。
“Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Available online at http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (accessed May 15, 2013).
英語のヒント
「HIV有病率、総計（15〜49歳人口の%）」、世界銀行、2013年。http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc で閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。
Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011. Los Angeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. Also available online at http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (accessed May 15, 2013).
ジョン・H・プライアー、リンダ・ディアンジェロ、ローラ・パルッキ・ブレイク、シルヴィア・ウルタド、セルジュ・トラン『米国の大学新入生：2011年秋の全国基準』。ロサンゼルス：UCLA高等教育研究所・大学共同研究プログラム、2011年。http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf でも閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。
“Summary of the National Risk and Vulnerability Assessment 2007/8: A profile of Afghanistan,” The European Union and ICON-Institute. Available online at http://ec.europa.eu/europeaid/where/asia/documents/afgh_brochure_summary_en.pdf (accessed May 15, 2013).
「2007/8年全国リスク・脆弱性評価の概要：アフガニスタンの現況」、欧州連合およびICON-Institute。http://ec.europa.eu/europeaid/where/asia/documents/afgh_brochure_summary_en.pdf で閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。
“The World FactBook,” Central Intelligence Agency. Available online at https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (accessed May 15, 2013).
『ワールド・ファクトブック』、中央情報局。https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html で閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。
“UNICEF reports on Female Literacy Centers in Afghanistan established to teach women and girls basic resading [sic] and writing skills,” UNICEF Television. Video available online at http://www.unicefusa.org/assets/video/afghan-female-literacy-centers.html (accessed May 15, 2013).
「女性と少女に基礎的な読み書きの技能を教えるために設立された、アフガニスタンの女性識字センターについてのUNICEF報告」（原題のreadingはresadingと表記）、UNICEF Television。動画は http://www.unicefusa.org/assets/video/afghan-female-literacy-centers.html で閲覧可能（2013年5月15日閲覧）。

Chapter Review章の復習

There are three characteristics of a geometric experiment:
幾何実験には三つの特徴がある。
  1. There are one or more Bernoulli trials with all failures except the last one, which is a success.
    1回以上のベルヌーイ試行があり、最後の成功した1回以外はすべて失敗する。
  2. In theory, the number of trials could go on forever. There must be at least one trial.
    理論上、試行はいつまでも続く可能性がある。少なくとも1回の試行が必要である。
  3. The probability, p, of a success and the probability, q, of a failure are the same for each trial.
    成功確率pと失敗確率qは、各試行で同じである。
In a geometric experiment, define the discrete random variable X as the number of independent trials until the first success. We say that X has a geometric distribution and write X ~ G(p) where p is the probability of success in a single trial.
幾何実験では、離散確率変数Xを最初の成功までの独立な試行回数と定義する。Xは幾何分布に従うといい、X ~ G(p)と書く。pは1回の試行で成功する確率である。
The mean of the geometric distribution X ~ G(p) is μ = 1p and the standard deviation is σ ( 1−p) p 2 = 1 p ( 1 p −1 ) .
幾何分布X ~ G(p)の平均はμ = 1p、標準偏差は σ ( 1−p) p 2 = 1 p ( 1 p −1 ) である。

Formula Review公式の復習

X ~ G(p) means that the discrete random variable X has a geometric probability distribution with probability of success in a single trial p.
X ~ G(p)は、離散確率変数Xが、1回の試行での成功確率pの幾何確率分布に従うことを意味する。
X = the number of independent trials until the first success
X = 最初の成功までに行う独立な試行の回数
X takes on the values x = 1, 2, 3, ...
Xはx = 1, 2, 3, …の値を取る。
p = the probability of a success for any trial
p = 各試行で成功する確率
q = the probability of a failure for any trial p + q = 1
q = 1 – p
q = 各試行で失敗する確率。p + q = 1、q = 1 − p。
The mean is μ = 1 p .
平均はμ = 1 p である。
The standard deviation is σ = 1 – p p 2 = 1 p ( 1 p −1 ) .
標準偏差はσ = 1 – p p 2 = 1 p ( 1 p −1 ) である。
Exercises 80–85練習問題 80–85
Use the following information to answer the next six exercises: The Higher Education Research Institute at UCLA collected data from 203,967 incoming first-time, full-time first-year students from 270 four-year colleges and universities in the U.S. 71.3% of those students replied that, yes, they believe that same-sex couples should have the right to legal marital status. Suppose that you randomly select first-year students from the study until you find one who replies “yes.” You are interested in the number of first-year students you must ask.
次の情報を使って、続く6問に答えよ。UCLA高等教育研究所は、米国の4年制大学270校から、初めて入学した全日制の1年生203,967人のデータを集めた。71.3%の学生が、同性カップルには法律上の婚姻資格を得る権利があるべきだと回答した。この調査の1年生を、「はい」と答える人が見つかるまで無作為に選ぶとする。尋ねる必要のある1年生の人数に関心がある。
Exercise 80問題 80
In words, define the random variable X.
確率変数Xを言葉で定義せよ。
Solution解き方
X = the number of first-year students selected from the study until one replied "yes" that same-sex couples should have the right to legal marital status.
X = 同性カップルには法律上の婚姻資格を得る権利があるべきかという問いに「はい」と答える人が1人見つかるまでに、調査から選ぶ1年生の人数。
Exercise 81問題 81
X ~ _____(_____,_____)
Exercise 82問題 82
What values does the random variable X take on?
確率変数Xはどのような値を取るか。
Solution解き方
1,2,…
Exercise 83問題 83
Construct the probability distribution function (PDF). Stop at x = 6.
確率分布関数（PDF）を作成せよ。x = 6までとする。
x
P(x)
1
2
3
4
5
6
Table 4.44表 4.44
Exercise 84問題 84
On average (μ), how many first-year students would you expect to have to ask until you found one who replies "yes?"
「はい」と答える1年生が1人見つかるまでに、平均して（μ）何人に尋ねる必要があると予想されるか。
Solution解き方
1.4
Exercise 85問題 85
What is the probability that you will need to ask fewer than three first-year students?
尋ねる必要のある1年生が3人未満である確率はいくらか。

HOMEWORK宿題

Exercises 86–93練習問題 86–93
Exercise 86問題 86
A consumer looking to buy a used red Miata car will call dealerships until she finds a dealership that carries the car. She estimates the probability that any independent dealership will have the car will be 28%. We are interested in the number of dealerships she must call.
中古の赤いミアータを買いたい消費者が、その車を扱う店が見つかるまで販売店に電話する。各独立の販売店がその車をもつ確率は28%と見積もっている。電話する必要のある販売店の数に関心がある。
  1. In words, define the random variable X.
    確率変数Xを言葉で定義せよ。
  2. List the values that X may take on.
    Xがとりうる値を列挙せよ。
  3. Give the distribution of X. X ~ _____(_____,_____)
    Xの分布を示せ。X ~ _____(_____,_____)
  4. On average, how many dealerships would we expect her to have to call until she finds one that has the car?
    その車をもつ店が見つかるまで、平均して何店に電話する必要があると予想されるか。
  5. Find the probability that she must call at most four dealerships.
    電話する必要のある販売店が4店以下である確率を求めよ。
  6. Find the probability that she must call three or four dealerships.
    3店または4店に電話する必要がある確率を求めよ。
Exercise 87問題 87
Suppose that the probability that an adult in America will watch the Super Bowl is 40%. Each person is considered independent. We are interested in the number of adults in America we must survey until we find one who will watch the Super Bowl.
米国の成人がスーパーボウルを見る確率は40%とする。各人は独立していると考える。見る人が1人見つかるまでに調査する米国の成人の人数に関心がある。
  1. In words, define the random variable X.
    確率変数Xを言葉で定義せよ。
  2. List the values that X may take on.
    Xがとりうる値を列挙せよ。
  3. Give the distribution of X. X ~ _____(_____,_____)
    Xの分布を示せ。X ~ _____(_____,_____)
  4. How many adults in America do you expect to survey until you find one who will watch the Super Bowl?
    スーパーボウルを見る人が1人見つかるまでに、米国の成人を何人調査すると予想されるか。
  5. Find the probability that you must ask seven people.
    7人に尋ねる必要がある確率を求めよ。
  6. Find the probability that you must ask three or four people.
    3人または4人に尋ねる必要がある確率を求めよ。
Solution解き方
  1. X = the number of adults in America who are surveyed until one says they will watch the Super Bowl.
    X = スーパーボウルを見ると答える人が1人見つかるまでに調査する、米国の成人の人数。
  2. X ~ G(0.40)
  3. 2.5
  4. 0.0187
  5. 0.2304
Exercise 88問題 88
It has been estimated that only about 30% of California residents have adequate earthquake supplies. Suppose we are interested in the number of California residents we must survey until we find a resident who does not have adequate earthquake supplies.
十分な地震用備蓄をもつカリフォルニア州民は約30%にすぎないと推定されている。十分な備蓄をもたない人が見つかるまでに調査する州民の人数に関心があるとする。
  1. In words, define the random variable X.
    確率変数Xを言葉で定義せよ。
  2. List the values that X may take on.
    Xがとりうる値を列挙せよ。
  3. Give the distribution of X. X ~ _____(_____,_____)
    Xの分布を示せ。X ~ _____(_____,_____)
  4. What is the probability that we must survey just one or two residents until we find a California resident who does not have adequate earthquake supplies?
    十分な地震用備蓄をもたないカリフォルニア州民を見つけるまでに、1人または2人だけ調査すればよい確率はいくらか。
  5. What is the probability that we must survey at least three California residents until we find a California resident who does not have adequate earthquake supplies?
    十分な地震用備蓄をもたないカリフォルニア州民を見つけるまでに、少なくとも3人調査する必要がある確率はいくらか。
  6. How many California residents do you expect to need to survey until you find a California resident who does not have adequate earthquake supplies?
    十分な地震用備蓄をもたないカリフォルニア州民を見つけるまでに、何人調査する必要があると予想されるか。
  7. How many California residents do you expect to need to survey until you find a California resident who does have adequate earthquake supplies?
    十分な地震用備蓄をもつカリフォルニア州民を見つけるまでに、何人調査する必要があると予想されるか。
Exercise 89問題 89
In one of its Spring catalogs, L.L. Bean® advertised footwear on 29 of its 192 catalog pages. Suppose we randomly survey 20 pages. We are interested in the number of pages that advertise footwear. Each page may be picked more than once.
英語のヒント
L.L. Bean®のある春のカタログでは、192ページ中29ページに履物の広告があった。20ページを無作為に調べるとする。履物を広告するページ数に関心がある。同じページを複数回選んでもよい。
  1. In words, define the random variable X.
    確率変数Xを言葉で定義せよ。
  2. List the values that X may take on.
    Xがとりうる値を列挙せよ。
  3. Give the distribution of X. X ~ _____(_____,_____)
    Xの分布を示せ。X ~ _____(_____,_____)
  4. How many pages do you expect to advertise footwear on them?
    履物の広告があるページは何ページと予想されるか。
  5. Is it probable that all twenty will advertise footwear on them? Why or why not?
    20ページすべてに履物の広告がある可能性は高いか。理由も述べよ。
  6. What is the probability that fewer than ten will advertise footwear on them?
    履物の広告があるページが10ページ未満である確率はいくらか。
  7. Reminder: A page may be picked more than once. We are interested in the number of pages that we must randomly survey until we find one that has footwear advertised on it. Define the random variable X and give its distribution.
    確認：同じページを複数回選んでもよい。履物の広告があるページが見つかるまでに、無作為に調べる必要のあるページ数に関心がある。確率変数Xを定義し、その分布を示せ。
  8. What is the probability that you only need to survey at most three pages in order to find one that advertises footwear on it?
    履物の広告があるページを見つけるために、3ページ以下しか調べる必要がない確率はいくらか。
  9. How many pages do you expect to need to survey in order to find one that advertises footwear?
    履物の広告があるページを見つけるには、何ページ調べる必要があると予想されるか。
Solution解き方
  1. X = the number of pages that advertise footwear
    X = 履物を広告するページ数
  2. X takes on the values 0, 1, 2, ..., 20
    Xは0、1、2、…、20の値を取る。
  3. X ~ B(20, 29192)
  4. 3.02
  5. No
    いいえ
  6. 0.9997
  7. X = the number of pages we must survey until we find one that advertises footwear. X ~ G(29192)
    X = 履物の広告があるページを見つけるまでに調べる必要のあるページ数。X ~ G(29192)
  8. 0.3881
  9. 6.6207 pages
    6.6207ページ
Exercise 90問題 90
Suppose that you are performing the probability experiment of rolling one fair six-sided die. Let F be the event of rolling a four or a five. You are interested in how many times you need to roll the die in order to obtain the first four or five as the outcome.
公平な6面のサイコロを1個投げる確率実験をしているとする。Fを、4または5の目が出る事象とする。4または5の目が初めて出るまでに、何回投げる必要があるかに関心がある。
  • p = probability of success (event F occurs)
    p = 成功の確率（事象Fが起こる）
  • q = probability of failure (event F does not occur)
    q = 失敗の確率（事象Fが起こらない）
  1. Write the description of the random variable X.
    確率変数Xを言葉で記述せよ。
  2. What are the values that X can take on?
    Xはどのような値を取りうるか。
  3. Find the values of p and q.
    pとqの値を求めよ。
  4. Find the probability that the first occurrence of event F (rolling a four or five) is on the second trial.
    2回目の試行で初めて事象F（4または5の目）が起こる確率を求めよ。
Exercise 91問題 91
Emery has music practice three days a week. They practice for all of the three days 85% of the time, two days 8% of the time, one day 4% of the time, and no days 3% of the time. One week is selected at random. What values does X take on?
エメリーには週3日の音楽の練習がある。3日とも練習する割合は85%、2日は8%、1日は4%、全く練習しない割合は3%である。1週間を無作為に選ぶ。Xはどのような値を取るか。
Solution解き方
0, 1, 2, and 3
0、1、2、3
Exercise 92問題 92
Medical researchers in a certain country have documented that the percentage of people ages 15 to 49 who are infected with a certain respiratory virus is 17.3%. Let X = the number of people you test until you find a person infected with the virus.
英語のヒント
ある国の医学研究者は、15〜49歳の人の17.3%が、ある呼吸器ウイルスに感染していると記録した。X = ウイルスに感染した人が1人見つかるまでに検査する人数とする。
  1. Sketch a graph of the distribution of the discrete random variable X.
    離散確率変数Xの分布のグラフを概略で描け。
  2. What is the probability that you must test 30 people to find one with the virus?
    感染者を1人見つけるために30人検査する必要がある確率はいくらか。
  3. What is the probability that you must ask ten people?
    10人に尋ねる必要がある確率はいくらか。
  4. Find the (i) mean and (ii) standard deviation of the distribution of X.
    Xの分布の(i)平均と(ii)標準偏差を求めよ。
Exercise 93問題 93
According to a recent Pew Research poll, 75% of millenials (people born between 1981 and 1995) have a profile on a social networking site. Let X = the number of millenials you ask until you find a person without a profile on a social networking site.
最近のピュー・リサーチの調査によると、ミレニアル世代（1981〜1995年生まれ）の75%がSNSにプロフィールをもっている。X = SNSにプロフィールをもたない人が1人見つかるまでに尋ねるミレニアル世代の人数とする。
  1. Describe the distribution of X.
    Xの分布を記述せよ。
  2. Find the (i) mean and (ii) standard deviation of X.
    Xの（i）平均と（ii）標準偏差を求めよ。
  3. What is the probability that you must ask ten people to find one person without a social networking site?
    SNSを利用していない人を1人見つけるために10人に尋ねる必要がある確率はいくらか。
  4. What is the probability that you must ask 20 people to find one person without a social networking site?
    SNSを利用していない人を1人見つけるために20人に尋ねる必要がある確率はいくらか。
  5. What is the probability that you must ask at most five people?
    尋ねる必要のある人数が5人以下である確率はいくらか。
Solution解き方
  1. X ~ G(0.25)
    1. Mean = μ = 1 p = 1 0.25 = 4
      平均 = μ = 1 p = 1 0.25 = 4
    2. Standard Deviation = σ = 1−p p 2 = 1−0.25 0.25 2 ≈ 3.4641
      標準偏差 = σ = 1−p p 2 = 1−0.25 0.25 2 ≈ 3.4641
  3. P(x = 10) = geometpdf(0.25, 10) = 0.0188
  4. P(x = 20) = geometpdf(0.25, 20) = 0.0011
  5. P(x ≤ 5) = geometcdf(0.25, 5) = 0.7627
Geometric Distribution
幾何分布
a discrete random variable (RV) that arises from the Bernoulli trials; the trials are repeated until the first success. The geometric variable X is defined as the number of trials until the first success. Notation: X ~ G(p). The mean is μ = 1 p and the standard deviation is σ = 1 p ( 1 p −1 ) . The probability of exactly x failures before the first success is given by the formula: P(X = x) = p(1 – p)x – 1.
ベルヌーイ試行から生じる離散確率変数（RV）。最初の成功まで試行を繰り返す。幾何確率変数Xを、最初の成功までの試行回数と定義する。表記はX ~ G(p)。平均はμ = 1 p 、標準偏差はσ = 1 p ( 1 p −1 ) である。最初の成功前にちょうどx回失敗する確率は、P(X = x) = p(1 − p)x – 1で与えられる。
Geometric Experiment
幾何実験
a statistical experiment with the following properties:
次の性質をもつ統計的実験。
  1. There are one or more Bernoulli trials with all failures except the last one, which is a success.
    1回以上のベルヌーイ試行があり、最後の成功した1回以外はすべて失敗する。
  2. In theory, the number of trials could go on forever. There must be at least one trial.
    理論上、試行はいつまでも続く可能性がある。少なくとも1回の試行が必要である。
  3. The probability, p, of a success and the probability, q, of a failure do not change from trial to trial.
    成功確率pと失敗確率qは、試行が変わっても変化しない。